海南省海口市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份海南省海口市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．0.3
解：A．＝﹣3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．0.3是分数，是有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．m8÷m2＝m4（m≠0）D．（﹣m3n）3＝﹣m9n3
解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
B．（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项不合题意；
C．m8÷m2＝m6（m≠0），故此选项不合题意；
D．（﹣m3n）3＝﹣m9n3，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O′C′D′≌△OCD的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
解：由作法得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，
根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．
故选：B．
4．（3分）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条角平分线交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
5．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．算术平方根最小的实数是0
B．平方根等于它本身的数是1
C．两个全等三角形的面积相等
D．三边之比为3：4：5的三角形为直角三角形
解：A、算术平方根最小的实数是0，是真命题，不符合题意；
B、平方根等于它本身的数是0，故本选项命题是假命题，符合题意；
C、两个全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；
D、三边之比为3：4：5的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如果二次三项式x2﹣8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±4B．16C．4D．﹣16
解：m＝±＝±4．
故选：A．
7．（3分）若，则m，n的取值分别为（ ）
A．m＝4，n＝2B．m＝4，n＝0C．m＝5，n＝2D．m＝5，n＝0
解：由题意得，
∴m＝4，n＝2，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝12cm，AC＝9cm，则△ACD的周长是（ ）
A．24cmB．21cmC．18cmD．15cm
解：∵DE垂直平分BC交AB于点D，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝12+9＝21（cm），
故选：B．
9．（3分）把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是（ ）
A．1B．C．D．2
解：＝，
∴OA＝，
则点A对应的数是，
故选：B．
10．（3分）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PBB．PO平分∠APB
C．OA＝OBD．AB垂直平分OP
解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠POA＝∠POB，OP＝OP
∴△OPA≌△OPB（AAS），
∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB
∴A、B、C项正确
设PO与AB相交于E
∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OE＝OE
∴△AOE≌△BOE
∴∠AEO＝∠BEO＝90°
∴OP垂直AB
而不能得到AB平分OP
故D不成立
故选：D．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
12．（3分）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
按照前面的规律，则（a+b）7的展开式中含有a4b3的项的系数为（ ）
A．15B．20C．21D．35
解：由题知，
（a+b）7的展开式中的a4b3项为按a的降幂从左往右排的第4项．
从第4行开始，每行从左往右的第4个数依次为：1，4，10，20，…，
因为1＝1，
4＝1+3，
10＝1+3+6，
20＝1+3+6+10，
35＝1+3+6+10+15，
所以（a+b）7的展开式中含有a4b3的项的系数为35．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）的平方根是 ．
解：∵，
∴的平方根是．
故答案为：．
14．（3分）已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 b＜a． （请用字母表示，并用“＜”连接）．
解：a＝255＝（25）11＝3211，
b＝522＝（52）11＝2511，
∵2511＜3211，
∴522＜255，
故答案为：b＜a．
15．（3分）如图，△ABC为等边三角形，点A，D，E在一条直线上，已知∠DAB＝60°，请添加一个条件使得△ABD≌△ACE，这个条件可以是 AD＝AE（答案不唯一） ．
解：添加一个条件使得△ABD≌△ACE，这个条件可以是AD＝AE（答案不唯一），理由如下：、
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故答案为：AD＝AE（答案不唯一）．
16．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．
解：
法一：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2，
法二：设BE＝x，连接GF，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠GCF＝90°，
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAF＝90°，GA＝FA，
∴△GAF为等腰直角三角形，
∵∠EAF＝45°，
∴AE垂直平分GF，
∴∠AEB+∠CGF＝90°，
∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CGF，
∴△BAE∽△CGF，
∴，
∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，
∴，
∴x＝2，
即BE＝2，
故答案为：2．
三、解答题（共72分）
17．（17分）计算．
（1）；
（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x；
（3）先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中，．
解：（1）原式＝1+2+2﹣9
＝﹣4；
（2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y；
（3）原式＝（a2﹣2ab﹣b2）﹣（a2﹣b2）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2
＝﹣2ab．
当a＝﹣，b＝﹣时，原式＝﹣2×（﹣）×（﹣）＝﹣．
18．（10分）把下列多项式分解因式．
（1）（x+y）2+2（x+y）+1；
（2）4x2（a﹣b）+9y2（b﹣a）．
解：（1）（x+y）2+2（x+y）+1＝（x+y+1）2；
（2）4x2（a﹣b）+9y2（b﹣a）
＝4x2（a﹣b）﹣9y2（a﹣b）
＝（a﹣b）（4x2﹣9y2）
＝（a﹣b）（2x+3y）（2x﹣3y）．
19．（9分）如图，∠CAE是△ABC的一个外角．
（1）尺规作图，过A作BC边的平行线AD（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AD平分∠CAE．求证：AB＝AC．
（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
20．（9分）某校为了检查体育锻炼的效果，抽取部分学生进行模拟测试，并将模拟成绩分为40分，50分，60分，70分四个等级（满分70分），相关人员依据测试结果绘制如下两幅尚不完整的统计图：
请根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）本次参与模拟测试的学生人数为 20 人；
（2）在图2中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“60分”所在扇形的圆心角度数为 144 °．
解：（1）本次参与模拟测试的学生人数为：3÷15%＝20（人）；
故答案为：20；
（2）“60分”等级的人数为：20﹣3﹣4﹣5＝8（人），补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中“60分”所对的扇形的圆心角为：360°×（1﹣25%﹣15%﹣）＝144°；
故答案为：144．
21．（12分）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m，12m，13m时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程．
（2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为AB＝15m，BC＝14m，AC＝13m，请帮助他们求出该实验基地的面积．
解：（1）∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴这个三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：×5×12＝30（m2）；
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
设BD＝x m，则CD＝（14﹣x）m，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
由勾股定理得：AD＝＝12（m），
∴S△ABC＝×14×12＝84（m2），
∴该实验基地的面积为84m2．
22．（15分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 1＜AD＜5 ；
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，求出线段DF的长．
例4如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED．
证明∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证），
BD＝CD（已知），
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．
解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝GC＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．