湖南省长沙市望城区2024-2025学年七年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市望城区2024-2025学年七年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（ ）
A．收入10元B．收入20元C．支出20元D．支出10元
解：若收入30元记作+30元，则﹣10元表示支出10元．
故选：D．
2．（3分）在0，|﹣2|，﹣，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．|﹣2|C．D．1
解：∵|﹣2|＝2，
∴﹣＜0＜1＜2，
∴＜0＜1＜|﹣2|，
∴最小的数是：．
故选：C．
3．（3分）有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．a＜0＜bB．|a|＞|b|C．a+b＜0D．ab＞0
解：由数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
则a＜0＜b，故选项A正确，不合题意；
|a|＞|b|，故选项B正确，不合题意；
a+b＜0，故选项C正确，不合题意；
ab＜0，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列代数式的书写格式符合要求的是（ ）
A．a3B．2÷aC．D．ab2
解：选项A正确的书写格式是3a，故此选项不符合题意；
选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意；
选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意；
选项D正确，故此选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）下列整式中，不是同类项的是（ ）
A．m2n与﹣2m2nB．1与﹣2
C．3x2y和﹣5yx2D．0.6a与8ab
解：A、符合同类项的定义，是同类项；
B、符合同类项的定义，是同类项；
C、符合同类项的定义，是同类项；
D、所含字母不相同，不是同类项；
故选：D．
6．（3分）我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则x的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．2D．5
解：根据题意，得﹣2+3＝x+4，
解方程，得x＝﹣3．
故选：B．
7．（3分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、B、C中的图形能围成正方体，故A、B、C不符合题意；
D、图形围成几何体时，有两个面重合，不能围成正方体，故D符合题意．
故选：D．
8．（3分）如果a﹣3b＝﹣2，那么代数式7﹣（a﹣3b）的值是（ ）
A．0B．5C．7D．9
解：当a﹣3b＝﹣2时，原式＝﹣（a﹣3b）+7＝﹣（﹣2）+7＝9．
故选：D．
9．（3分）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，
根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，
解得α＝35°．
故选：B．
10．（3分）曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（ ）
A．4B．5C．6D．7
解：∵根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖，
根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖，
∴ma+b＝3（m+10）+（b+1），
∴a＝3+，
∵a，m为正整数，
∴m＝31或1，
当m＝31时，
∴a＝4，
当m＝1时，a＝34，没有这个选项，舍弃．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则|c﹣a|+|b+a|﹣|b+c|化简结果为 2a+2b ．
解：由图知，c＜b＜0＜a，|b|＜|a|，
∴|c﹣a|+|b+a|﹣|b+c|
＝a﹣c+a+b+b+c
＝2a+2b．
故答案为：2a+2b．
12．（3分）手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为+16，买文具支付8元则记为 ﹣8 ．
解：收到16元记为+16，
支付8元则记为﹣8．
故答案为：﹣8．
13．（3分）当x＝1时，2ax3﹣3bx+8的值为9，则9b﹣6a+2的值为 ﹣1 ．
解：∵当x＝1时，2ax3﹣3bx+8的值为9，
∴2a﹣3b+8＝9，即：2a﹣3b＝1，
∴9b﹣6a+2＝﹣3（﹣2a﹣3b）+2＝﹣3×1+2＝﹣1，
∴9b﹣6a+2的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（3分）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是 ﹣19a8 ．
解：∵﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，
∴符号的排列规律为：奇数个数的符号为“﹣”，偶数个数的符合为“+”，
系数的排列规律为：3，5，7，9，⋯，2n+1，
指数的排列规律为：0，1，2，3，⋯，n﹣1，
∴9个单项式中奇数个数的符号为“﹣”，系数为2n+1＝2×9+1＝19，指数为n﹣1＝9﹣1＝8，
故第9个单项式是：﹣19a8．
故答案为：﹣19a8．
15．（3分）如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，得到一个新的几何体，若这个几何体的面数为a，棱数为b，则a÷b＝ ．
解：根据题意可知，几何体的面数为：a＝1+6＝7，棱数为：b＝12，
∴．
故答案为：．
16．（3分）甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙购买某种商品若干件．商品买来后，乙比甲少拿了4件，丙比甲多拿了13件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补，已知丙付给甲60元，那么丙应付给乙 140 元．
解：设甲拿了a件商品，则乙为（a﹣4）件商品，丙为（a+13）件商品．
则共有商品件数为：a+a﹣4+a+13＝3a+9．
则平均每人商品件数为（3a+9）÷3＝a+3．
因此，丙付给甲a+3﹣a＝3件商品的钱数为60元．
所以，一件商品钱数为20元．
因为，丙付给乙a+3﹣（a﹣4）＝7件商品．
所以，丙付给乙20×7＝140元．
故本题答案：140．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
解：原式＝﹣1﹣×（﹣8÷4）
＝﹣1﹣×（﹣2）
＝﹣1+0.4
＝﹣0.6．
18．（6分）解方程：．
解：，
去分母，得2x﹣6＝3x+2，
移项、合并同类项，得x＝﹣8．
19．（6分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．
（1）结合数轴可知：|a| ＞ |b|；（用“＞”“＜”或“＝”填空）
（2）结合数轴，比较﹣a，﹣b，0，a，b的大小，并用“＜”连接起来．
（1）解：根据图示可得a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴|a|＞|b|，
故答案为：＞；
（2）解：如图所示，
∴a＜﹣b＜0＜b＜﹣a．
20．（8分）小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A+B的值”时．小红误将A+B看成A﹣B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）．
（1）试求A+B的正确结果；
（2）当x＝﹣4时，求A+B的值．
解：（1）∵A﹣B＝﹣7x2+10x+12，且B＝4x2﹣5x﹣6，
∴A＝（﹣7x2+10x+12）+（4x2﹣5x﹣6）
＝﹣7x2+10x+12+4x2﹣5x﹣6
＝（﹣7x2+4x2）+（10x﹣5x）+12﹣6
＝﹣3x2+5x+6；
∴A+B＝﹣3x2+5x+6+4x2﹣5x﹣6
＝x2；
（2）当x＝﹣4时，A+B＝（﹣4）2＝16．
21．（8分）如图，点O在直线AB上，射线OD在直线AB上方，且∠DOC＝90°，射线OE平分∠BOC．
（1）若∠DOE＝150°，求∠AOC的度数；
（2）若∠DOE＝α，求∠AOD．（请用含α的代数式表示）．
解：（1）∵∠DOC＝90°，∠DOE＝150°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，
又∵射线OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝2×60°＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOC的度数为60°；
（2）∵∠DOC＝90°，∠DOE＝α，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝α﹣90°，
又∵射线OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
∴∠AOD＝∠DOC﹣∠AOC＝90°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣270°．
22．（9分）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某厂家只生产A、B两种款式的环保购物袋，其中每天生产A种购物袋x个，两种购物袋的成本和售价如下表：
（1）若该厂家每天生产A种购物袋5000个，B种购物袋3000个，求每天生产环保购物袋的总成本；
（2）若该厂家每天共生产环保购物袋6500个，求每天生产环保购物袋的总成本（用含x的式子表示）；
成本（元/个）
售价（元/个）
A
2
2.3
B
3
3.5
（3）若该厂家每天生产B种购物袋的数量是A种购物袋数量的，则所生产的环保购物袋全部销售完后，每天共可获利多少元？（用含x的式子表示）
解：（1）由题意可得：5000×2+3000×3＝19000（元），
答：每天生产环保购物袋的总成本为19000元；
（2）由题意可得：2x+3（6500﹣x）＝19500﹣x（元），
答：每天生产环保购物袋的总成本为（19500﹣x）元；
（3）根据题意，得每天生产B种购物袋x个，
∵（2.3﹣2）x+（3.5﹣3）×x＝0.7x（元），
∴每天共可获利0.7x元．
23．（9分）综合与实践：进位制的认识与探究
题目背景
在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点．
阅读材料．
进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0～9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：a0＝1（a≠0）．例如：
十进制数（3721）10可以表示为3×103+7×102+2×101+1×100，
即；
二进制数（101）2可以表示为1×22+0×21+1×20，
即．
解决问题．
（1）理解应用：将二进制数（1011）2表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制
数．
（2）拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果．
（3）创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（10010）2+（102）8（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法．
解：（1）＝8+0+2+1＝（11）10＝11；
（2）①二进制如下：
∴从下往上读取余数，得到（1011001）2．
②八进制如下：
∵89÷8＝11⋯⋯1；
11÷8＝1⋯⋯3；
1÷8＝0⋯⋯1．
∴从下往上读取余数，得到（131）8．
（3）解法1（分步计算）：
∵＝（18）10＝18；，
∴（10010）2+（102）8＝（18）10+（66）10＝（84）10＝84．
方法：运用转化与化同的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．
分解法2（整体计算）：
原式＝（1×24+0×23+0×22+1×21）+（1×82+0×81+2×80）＝（16+0+0+2+0）+（64+0+2）＝（18）10+（66）10（或18+66）＝（84）10（或84）．
方法：运用转化与化同的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．
24．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．
解：（1）∵3x+m＝0，
∴x＝﹣，
∵4x﹣2＝x+10，
∴x＝4，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，
∴4﹣＝1，
∴m＝9，
故答案为：9．
（2）∵“美好方程”的两个解之和为1，
∴另一个方程的解为1﹣n，
∵两个解的差为8，
∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8，
∴n＝或n＝﹣，
故答案为：或﹣．
（3）∵x+1＝0，
∴x＝﹣2024，
∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，
∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025，
∵关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1可化为（y+1）+3＝2（y+1）+k，
∴y+1＝x＝2025，
∴y＝2024．
故答案为：y＝2024．
25．（10分）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？
（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 4或16 ；
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式＝3，若存在，求线段
PD的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+8+2t＝24
解得：t＝2；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t﹣8+2t＝24
解得：t＝4．
（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；
当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．
（3）方法一：
存在关系式＝3．
设运动时间为t秒，
1）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，
当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即＝3；
2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC，
当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即＝3；
点P在线段BC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC，
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即＝3；
3）当t＝时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2，AP+3PC＝4PC，
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即＝3；
4）当＜t时，0＜PC＜4，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC，
PC＝时，有BD＝AP+3PC，即＝3．
∵P在C点左侧或右侧，
∴PD的长有2种可能，即5或3.5．
方法二：
设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，
则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，
∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，
AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x，
PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|，
PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x），
∵＝3，
∴BD﹣AP＝3PC，
∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|，
即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|，
①当C点在P点右侧时，
18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x，
∴x+8t＝15，
∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5；
②当C点在P点左侧时，
18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x，
∴x+8t＝，
∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣＝3.5；
∴PD的长有2种可能，即5或3.5．