湖南省长沙市望城区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市望城区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝3，不能构成三角形；
B、3+4＞5，能构成三角形；
C、4+5＜10，不能构成三角形；
D、2+6＜9，不能构成三角形．
故选：B．
2．（3分）计算：（﹣2m4）3＝（ ）
A．﹣6m7B．﹣8m7C．﹣2m12D．﹣8m12
解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12，
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC≌△ADC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
解：∵∠B＝90°，∠BAC＝55°，
∴∠ACB＝90°﹣55°＝35°，
∵△ABC≌△ADC，
∴∠ACD＝∠ACB＝35°，
∴∠BCD＝2∠ACB＝70°，
故选：C．
4．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠﹣1C．x＝1D．x＝﹣1
接：由题意，得
x﹣1≠0，
解得x≠1，
故选：A．
5．（3分）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A．B．
C．D．
解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线l于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
6．（3分）多项式9a2x2﹣18a4x3各项的公因式是（ ）
A．9axB．9a2x2C．a2x2D．9a4x3
解：∵系数的最大公约数是9，相同字母的最低指数次幂是a2x2，
∴公因式是9a2x2．
故选：B．
7．（3分）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9B．3.4×10﹣11C．3.4×10﹣10D．34×10﹣11
解：0.00000000034＝3.4×10﹣10．
故选：C．
8．（3分）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x﹣10）（x+8）B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4）D．（x+2）（x﹣4）
解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3]
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：D．
9．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
10．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
解：原分式方程可化为：﹣2＝，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x＝，
∵分式方程解是非负数，
∴≥0，且≠1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：32+（﹣2024）0＝ 10 ．
解：32+（﹣2024）0＝9+1＝10．
故答案为：10．
12．（3分）如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 30° ．
解：设边数为n，根据题意，
n＝72÷6＝12，
正多边形的边数为12，
由12边形外角和是360°可得：
∴α＝360°÷12＝30°．
故答案为：30°．
13．（3分）若点M（2024，﹣2025）与点N关于x轴对称，则点N的坐标为 （2024，2025） ．
解：∵点M与点N关于x轴对称，M（2024，﹣2025），
∴N（2024，2025），
故答案为：（2024，2025）．
14．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 4 块．
解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第4块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足三角形全等的条件，是符合题意的，
故答案为：4．
15．（3分）如果关于x的多项式4x2+6x+（2m﹣1）2是完全平方式，那么m＝ 或 ．
解：4x2+6x+（2m﹣1）2＝（2x）2±2×2x（2m﹣1）+（2m﹣1）2，
∴6x＝±2×2x（2m﹣1），
解得m＝或m＝，
故答案为：或．
16．（3分）记．若a+b+c＝abc，则A＝Aab+Abc+Aca＝ 4 ．
解：根据题意，可知a、b、c均不为0，
∵，
∴A＝Aab+Abc+Aca
＝
＝++
∵a+b+c＝abc，
∴A＝++
＝
＝
＝
＝
＝4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：a5•a﹣（﹣3a3）2．
解：原式＝a6﹣9a6＝﹣8a6．
18．（6分）计算：．
解：
＝
＝﹣x．
19．（6分）如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
解：∵∠ANC＝∠B+∠BAN，
∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°，
∵AN是∠BAC角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAN＝60°，
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝70°．
20．（8分）计算：
（1）；
（2）（﹣xy2）3•（﹣3x2y）2．
解：（1）原式＝（﹣）2024×32024×（﹣）
＝（﹣×3）2024×（﹣）
＝（﹣1）2024×（﹣）
＝﹣；
（2）原式＝﹣x3y6•9x4y2＝﹣9x7y8．
21．（8分）因式分解：
（1）﹣3x2+6xy﹣3y2
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）
解：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2
＝﹣3（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3（x﹣y）2；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF＝EB；
（2）解：AB＝AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE．
23．（9分）甲、乙两个工程队共同参与一项修路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两个队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能够完成总工程的．
（1）甲队半个月完成总工程的多少？
（2）甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少？
（3）甲、乙两个工程队哪个队的施工速度快？
解：（1）∵甲队单独施工一个月完成总工程的，
∴甲队半个月完成总工程的；
（2）设乙队单独施工一个月能够完成总工程的．则半个月能够完成总工的，
∴甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的（+）；
（3）根据题意可列分式方程为：，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解．
∴乙队一个月可完成总的工程量，乙队的施工速度快．
24．（10分）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图
形的割补加以说明．
（1）【方法理解】
已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（10﹣x）．
①当0＜x＜5时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 5﹣x .如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（10﹣x）、25、（5﹣x）2满足的等量关系是 x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25 ，从而可得x（10﹣x）＜25；
②当5＜x＜10时，类似上述过程进行割补，同理可得x（10﹣x）＜25；
③当x＝5时，该长方形即为正方形，此时x（10﹣x）＝25．
综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25；
（2）【方法迁移】
当﹣4＜x＜10时，仿照上述割补过程，求代数式（10﹣x）（4+x）的最大值．
解：（1）【方法理解】
①∵10﹣x﹣5＝5﹣x，
∴长方形B的一边长是x，相邻一边长5﹣x，
由图可知，大正方形面积＝长方形面积+小正方形面积，
即x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25，
故答案为：5﹣x，x（10﹣x）+（5﹣x）2＝25；
（2）【方法迁移】
当﹣4＜x＜3时，如图，阴影部分是边长为（3﹣x）的正方形，
∴（10﹣x）（4+x）+（3﹣x）2＝72＝49，
∴（10﹣x）（4+x）＜49；
当3＜x＜10时，如图，阴影部分是边长为（x﹣3）的正方形，
∴（10﹣x）（4+x）+（x﹣3）2＝72＝49，
∴（10﹣x）（4+x）＜49；
当x＝3时，该长方形为边长是7的正方形，
∴边长是（10﹣x）和（4+x）的长方形的最大面积是49，
∴（10﹣x）（4+x）的最大值为49．
25．（10分）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OE为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点F是线段BC上一点，角顶点B沿线段OF折叠，点B落在点B′处，且点B′在长方形内．【任务】
（1）在图1中，若∠AOE＝35°，求∠A′OB的度数；
（2）在操作2中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF的度数；
（3）在操作2中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）由折叠性质可知：∠AOE＝∠A′OE，
∵∠AOE＝35°，
∴∠AOA′＝∠AOE+∠A′OE＝2∠AOE＝70°，
∴∠A′OB＝180°﹣∠AOA′＝180°﹣70°＝110°；
（2）由折叠性质可知：，，
∵∠AOA′+∠BOB′＝180°，
∴
＝
＝90°，
即∠EOF＝90°；
（3）∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
或．
理由：由折叠性质可知：，，
①当点B′在点A′的左侧时，如图3，
∠AOA′+∠BOB′﹣∠A′OB′＝180°，
∴，
∴；
②当点B′在点A′的右侧时，如图4，
∠AOA′+∠BOB′+∠A′OB′＝180°，
∴，
∴，
综上所述，∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
或．