2025年山东省济南市高新区中考数学一模试卷

这是一份2025年山东省济南市高新区中考数学一模试卷，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）有理数﹣2025的相反数是（ ）
A．2025B．C．﹣2025D．
2．（4分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈禅卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）“中原2号”等4颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于2024年12月17日2时50分发射升空，“中原2号”轨道高度为522000m．其中数据522000用科学记数法表示为（ ）
A．0.522×106B．5.22×105C．5.22×104D．52.2×104
4．（4分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，求∠4等于多少（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．2a3÷a2＝aC．（﹣a2）2＝a4D．a4+a2＝a6
6．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝14B．（x﹣3）2＝5C．（x+3）2＝14D．（x+3）2＝5
7．（4分）某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（ ）
A．抽一次不可能抽到一等奖
B．抽10次也可能没有抽到一等奖
C．抽10次奖必有一次抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
8．（4分）某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）
在上述四个方案中最短的道路系统是方案（ ）
A．一B．二C．三D．四
9．（4分）如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，BE，若BE⊥CD，（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m≠时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若m＞，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．当m＞0时，函数有最小值﹣﹣m+1
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ．
13．（4分）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm cm．
14．（4分）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω），测得数据如下：
那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝ A．
15．（4分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边CD上，过点E作EF∥BC，分别交AC，F，M，N分别是AG，BE的中点 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（7分）计算：．
17．（7分）求不等式组的非负整数解．
18．（7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，使得BE＝DF，连接EF
19．（8分）如图1是某种云梯车，如图2是其示意图，当云梯OD升起时，液压杆AB与底盘OC的夹角为∠2．已知液压杆AB＝3m，某一工作时刻，∠2＝53°．（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
（1）求此时液压杆顶端B到底盘OC的距离；
（2）求此时AO的长．（精确到小数点后一位）
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
21．（9分）为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告．
【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷．
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．
【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数；
【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表
（3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？
（4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告
22．（10分）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需120元
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件50元出售，乙商品以每件100元出售，为满足市场需求，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．
（1）求a，b的值；
（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．
（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D？若存在，请求出点B的横坐标t的值，请说明理由．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若AB＝2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．
2025年山东省济南市高新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）有理数﹣2025的相反数是（ ）
A．2025B．C．﹣2025D．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2025的相反数是2025．
故选：A．
2．（4分）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈禅卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：如图，这是“月壤砖”的示意图．
故选：C．
3．（4分）“中原2号”等4颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于2024年12月17日2时50分发射升空，“中原2号”轨道高度为522000m．其中数据522000用科学记数法表示为（ ）
A．0.522×106B．5.22×105C．5.22×104D．52.2×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：522000＝5.22×105．
故选：B．
4．（4分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【分析】先根据同位角相等，两直线平行判断出l1∥l2，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴l7∥l2，
∴∠4＝180°﹣∠4＝180°﹣125°＝55°．
故选：B．
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．2a3÷a2＝aC．（﹣a2）2＝a4D．a4+a2＝a6
【分析】根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可．
【解答】解：A、a3•a3＝a8，故此选项不符合题意；
B、2a3÷a4＝2a，故此选项不符合题意；
C、（﹣a2）8＝a4，故此选项符合题意；
D、a4与a7不是同类项，不能合并；
故选：C．
6．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝14B．（x﹣3）2＝5C．（x+3）2＝14D．（x+3）2＝5
【分析】常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可．
【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝4，
则x2﹣6x+8＝5+9，即（x﹣7）2＝14，
故选：A．
7．（4分）某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（ ）
A．抽一次不可能抽到一等奖
B．抽10次也可能没有抽到一等奖
C．抽10次奖必有一次抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【分析】根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【解答】解：A、“抽到一等奖的概率为，故A错误；
B、“抽到一等奖的概率为”，故B正确；
C、“抽到一等奖的概率为”，故C错误；
D、“抽到一等奖的概率为”，故D错误；
故选：B．
8．（4分）某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）
在上述四个方案中最短的道路系统是方案（ ）
A．一B．二C．三D．四
【分析】设正方形的边长为a，计算出各种情况时正方形的面积，然后进行比较从而解得．
【解答】解：设正方形边长为a，则方案①需用线3aa，方案③需用线4a+a，
如图所示：
∵AD＝a，
∴AG＝，AE＝aa，
∴EF＝a﹣2GE＝a﹣a，
∴方案④需用线a×3+（a﹣+1）a．
∴方案④最省钱．
故选：D．
9．（4分）如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，BE，若BE⊥CD，（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据点E是CD中点，CE＝BC，由菱形的性质得∠EBC＝30°，∠C＝60°，求出BE的长，再根据菱形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵点E是CD中点，
∴CE＝BC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝90°，
∴BE＝，
在Rt△AEB中，
∵AE2＝AB2+BE2，
∴7＝，
∴AB＝5，
∵AB＝CD＝BC，
∴BE＝，
∴菱形的面积＝CD•BE＝2×．
故选：B．
10．（4分）关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m≠时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若m＞，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．当m＞0时，函数有最小值﹣﹣m+1
【分析】A、分别把x＝1和x＝﹣1代入解析式求出y的值即；B、当m取特殊值0时，函数是一次函数；C、当m＞时，对称轴＜1，即可判断x＜1时，y随x的增大而即可能减小也可能增大；D、m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值．
【解答】解：A．当x＝1时，当x＝﹣1时，
故图象过（4，0）和（﹣1，
故A错误，不符合题意；
B．当m＝7时，该函数与x轴只有一个交点，
故B错误，不符合题意；
C．m＞，则y＝（mx+m﹣5）（x﹣1）＝m（x+，
则该函数的对称轴为直线x＝（1+＜8，
故x＜1时，y随x的增大而即可能减小也可能增大，
故C错误，不符合题意；
D．若m＞0时，
当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣8）＝，
故D正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣1≠0，
解得x≠6．
故答案为：x≠1．
12．（4分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ．
【分析】击中阴影区域的概率等于阴影区域面积与正方形总面积之比．
【解答】解：设小正方形的面积为a，
∵飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，
∴飞镖游戏板的面积为9a，阴影区域的面积为5a，
∴随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为．
故答案为：．
13．（4分）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm 2π cm．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据弧长公式求出的长，计算即可．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴的长＝＝，
则弧三角形的周长＝×6＝2π（cm），
故答案为：2π．
14．（4分）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω），测得数据如下：
那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝ 4 A．
【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．
【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝
1＝，
解得U＝220，
∴I＝，
把R＝55代入I＝得：
I＝＝3，
故答案为：4．
15．（4分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边CD上，过点E作EF∥BC，分别交AC，F，M，N分别是AG，BE的中点 ．
【分析】连接FM，FC，易求△AFG为等腰直角三角形，△FMC是直角三角形，即可得MN＝FC，利用勾股定理求解FC的长即可求解．
【解答】解：连接FM，FC，
∵四边形ABCD是正方形，EF∥BC，
∴∠BAC＝45°，四边形BCEF为矩形，
∴△AFG为等腰直角三角形，BE＝CF，
∵M是AG的中点，
∴AM＝MG，
则FM⊥AG，
即△FMC是直角三角形，
∵N是BE的中点，四边形BCEF是矩形，
∴点N在CF上，且是CF的中点，
∴MN＝FC，
∵DE＝4，BC＝DC＝6，
∴CE＝4，
∴BE＝FC＝＝＝7，
∴MN＝FC＝．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（7分）计算：．
【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂，特殊的锐角三角函数值，负整数指数幂，立方根的相关知识进行化简，再根据实数的加减运算法则进行运算．
【解答】解：原式＝
＝．
17．（7分）求不等式组的非负整数解．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，7，3．
18．（7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，使得BE＝DF，连接EF
【分析】通过证明△AOE≌△COF，即可求证．
【解答】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
19．（8分）如图1是某种云梯车，如图2是其示意图，当云梯OD升起时，液压杆AB与底盘OC的夹角为∠2．已知液压杆AB＝3m，某一工作时刻，∠2＝53°．（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
（1）求此时液压杆顶端B到底盘OC的距离；
（2）求此时AO的长．（精确到小数点后一位）
【分析】（1）过B点作BH⊥OC于H点，如图，在Rt△ABH中利用正弦的定义求出BH的长即可；
（2）先在Rt△ABH中利用余弦的定义求出AH＝1.8m，再在Rt△OBH中利用正切的定义求出OH＝4m，然后计算OH﹣AH即可．
【解答】解：（1）过B点作BH⊥OC于H点，如图，
在Rt△ABH中，∵sin∠2＝，
∴BH＝3×sin53°＝3×0.80＝2.2（m），
答：此时液压杆顶端B到底盘OC的距离为2.4m；
（2）在Rt△ABH中，∵cs∠5＝，
∴AH＝3×cs53°＝3×6.60＝1.8（m），
在Rt△OBH中，∵tan∠8＝，
∴OH＝＝＝4（m），
∴OA＝OH﹣AH＝4﹣3.8＝2.3（m）．
答：此时OA的长为2.2m．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
【分析】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝5（cm），
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵AD＝3cm，
∴AC＝＝＝5（cm），
∵DE⊥AC，
∴DE＝＝＝（cm），
∴AE＝＝＝（cm）．
21．（9分）为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告．
【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷．
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．
【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数；
【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表
（3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？
（4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，找一组人数和占比都知道进行计算即可得到调查抽取的人数，进而再求出选择领域D的人数即可；
（2）先求出领域E在扇形统计图中的比例，再乘以360°即可得解；
（3）先求出B、D各自的比例，再乘以总人数即可得解；
（4）根据①②的功能厅的座位数结合B和D的人数选择即可得解．
【解答】解：（1）由条形统计图可知选择领域A的有4人，
由扇形统计图可知选择领域A的占本次调查所抽取的学生人数的10%，
∴本次调查所抽取的学生人数为：＝40（人），
选择领域D的有：40﹣5﹣6﹣10﹣8＝12（人），补全条形统计图如图所示，
（2）＝72°，
故扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数为72°；
（3）选择聆听B：＝90（人），
选择聆听D：＝180（人）；
（4）由（3）知选择聆听B的有90人，可在2号多功能厅，
选择聆听D的有180人，可在4号多功能厅，
故答案为：①B；②D．
22．（10分）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需120元
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件50元出售，乙商品以每件100元出售，为满足市场需求，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润．
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品每件的进价分别是x元，
，
解得，
即甲、乙两种商品每件的进价分别是40元；
（2）设购买甲种商品a件，获利为w元，
 w＝（50﹣40）a+（100﹣80）（100﹣a）＝﹣10a+2000，
∵a≥3（100﹣a），
解得a≥80，
∴当a＝80时，w取得最大值，
即获利最大的进货方案是购买甲种商品80件，乙种商品20件．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上
【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，求得反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到＝，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，3）代入y＝﹣x+5得，
∴a＝1，
∴B（7，4），
将B（1，2）代入y＝得，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
令y＝﹣x+5＝3得，x＝5，
∴N（5，3），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，8），4），
∴＝，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，
∴，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k4x+b1，
将M（0，3），4）代入y＝k1x+b2得，，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵•|xB﹣xC|＝，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣5时，t+3＝﹣1，
当t＝4时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（4，9）或（﹣4；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，
∴E（﹣3，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣3＝﹣（﹣4）+b2，
∴b7＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或，
∴D（﹣6，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+6，
解方程组得，，
∴P（﹣，），
∴，
，
∴m＝．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．
（1）求a，b的值；
（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．
（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D？若存在，请求出点B的横坐标t的值，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由题意得B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），利用待定系数法可得OA的解析式为y＝x，则D（t，t），E（t+1，t+1），
（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，则M（t，0），N（t+1，3），利用S△OBD+S△ACE＝BD•OM+AN•CE即可求得答案；
（ii）分两种情况：①当2＜t＜3时，②当t＞3时，分别画出图象，利用S四边形DCEB＝（BD+CE）•DH，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），
∴，
解得：；
（2）由（1）得：y＝﹣x2+4x，
∴当x＝t时，y＝﹣t2+3t，
当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）6+4（t+1），即y＝﹣t7+2t+3，
∴B（t，﹣t6+4t），C（t+18+2t+3），
设OA的解析式为y＝kx，将A（7，得：3＝3k，
∴k＝2，
∴OA的解析式为y＝x，
∴D（t，t），t+1），
（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，
则M（t，0），4），
∴S△OBD+S△ACE＝BD•OM+（﹣t2+4t﹣t）•t+（﹣t2+7t+3﹣t﹣1）•（4﹣t﹣1）＝（﹣t3+3t7）+（t6﹣3t2+3）＝﹣t7+t4+t6﹣t7+2＝2；
（ii）①当6＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，
则H（t+1，t）7+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+5t+3）＝t2﹣t﹣4，DH＝t+1﹣t＝1，
∴S四边形DCEB＝（BD+CE）•DH，
即＝（﹣t6+3t+t2﹣t﹣5）×1，
解得：t＝；
②当t＞3时，如图，
则BD＝t﹣（﹣t2+8t）＝t2﹣3t，CE＝t6﹣t﹣2，
∴S四边形DBCE＝（BD+CE）•DH，
即＝（t2﹣8t+t2﹣t﹣2）×4，
解得：t1＝+7（舍去），t2＝﹣+5（舍去）；
综上所述，t的值为．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若AB＝2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）由条件可以得出AM＝DM，∠A＝∠ADF＝90°，∠AME＝∠DMF，可以证明△AEM≌△DFM，就可以得出结论．
（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME＝MG，进而得出∠EGM＝45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF＝90°，从而得出结论．
（3）①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．
②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出，从而求出tan∠MEG＝，就可以求出∠MEG＝60°，就可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
证明：在矩形ABCD中，∠EAM＝∠FDM＝90°．
∵AM＝DM，
∴△AEM≌△DFM．
∴AE＝DF．
（2）答：△GEF是等腰直角三角形．
证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝6．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME＝MG．
∴∠EGM＝45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME＝MF．
∵MG⊥EF，
∴GE＝GF．
∴∠EGF＝2∠EGM＝90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3 ）①当C，如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG＝90°．
∴∠AME+∠DMC＝90°，
∴∠AEM＝∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴，
∴，
∴AE＝
∴＜AE≤．
②△GEF是等边三角形．
证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图3，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH．
又∵∠A＝∠GHM＝90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴．在Rt△GME中，
∴tan∠MEG＝＝．
∴∠MEG＝60°．
由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME＝MF．
∵MG⊥EF，
∴GE＝GF．
∴△GEF是等边三角形．
R（Ω）
100
200
220
400
I（A）
2.2
1.1
1
0.55
“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷请选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）．
A．数字孪生□
B．人工智能□
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D．工业机器人□
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8：00﹣9：30
E
A
10：00﹣11：30
C
①
13：00﹣14：30
②
设备检修暂停使用
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A．
C
B
B
C
A
B
D
B
D
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I（A）
2.2
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1
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