2018年山东省济南市高新区中考一模数学试卷

这是一份2018年山东省济南市高新区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −3 的相反数是
A. −3B. 3C. −13D. 13

2. 随着高铁的发展，预计2020年济南西客站客流量将达到 2150 万人．数字 2150 用科学记数法表示为
A. 0.215×104B. 2.15×103C. 2.15×104D. 21.5×102

3. 下列图形中，中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 下列计算正确的是
A. a6÷a3=a3B. a23=a8
C. a−b2=a2−b2D. a2+a2=a4

5. 如图，直线 AB∥CD，AF 交 CD 于点 E，∠CEF=140∘，则 ∠A 等于
A. 35∘B. 40∘C. 45∘D. 50∘

6. 化简 2x2−1÷1x−1 的结果是
A. 2x+1B. 2xC. 2x−1D. 2x+1

7. 为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买 2 个排球和 3 个实心球共需 95 元，若购买 5 个排球和 7 个实心球共需 230 元，若设每个排球 x 元，每个实心球 y 元，则根据题意列二元一次方程组得
A. 3x+2y=95,5x+7y=230B. 2x+3y=95,5x+7y=230C. 3x+2y=95,7x+5y=230D. 2x+3y=95,7x+5y=230

8. 如图，直径为 10 的 ⊙A 上经过点 C0,5 和点 O0,0，B 是 y 轴右侧 ⊙A 优弧上一点，则 ∠OBC 的余弦值为
A. 12B. 34C. 32D. 45

9. 如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为 −4,5，D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一点，当 △ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是
A. 0,43B. 0,53C. 0,2D. 0,103

10. 一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=a−bx，其中 ab<0，a，b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是
A. B.
C. D.

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长 AD 于点 F，已知 S△AEF=4，则下列结论中不正确的是
A. AFFD=12B. S△BCE=36
C. S△ABE=12D. △AFE∽△ACD

12. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，与 y 轴的交点 B 在 0,−2 和 0,−1 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1，（1）abc>0；（2）4a+2b+c>0；（3）4ac−b2<16a；（4）13A. （2）（3）（4）（5）B. （1）（3）（4）（5）
C. （1）（3）（4）D. （1）（2）（5）

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 因式分解：xy2−4x= ．

14. 关于 x 的一元二次方程 k−1x2+6x+k2−k=0 的一个根是 0，则 k 的值是 ．

15. 在一个不透明的袋子中，装有大小，形状，质地都相同，但颜色不同的红球 3 个，黄球 2 个，白球若干个，从袋子中随机摸出一个小球是黄球的概率是 14，则袋子中白色小球有 个．

16. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分 ∠ABC，交 AD 于点 E，AD=2AB，以点 B 为圆心，BE 为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是 ．

17. 如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数 y=−12x 的图象经过点 C，与 AB 交与点 D，则 △COD 的面积的值等于 ．

18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l:y=33x−33 与 x 轴交于点 B1，以 OB1 为边长作等边三角形 A1OB1，过点 A1 作 A1B2 平行于 x 轴，交直线 l 于点 B2，以 A1B2 为边长作等边三角形 A2A1B2，过点 A2 作 A2B3 平行于 x 轴，交直线 l 于点 B3，以 A2B3 为边长作等边三角形 A3A2B3，⋯，则点 A2018 的横坐标是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：8−∣−2∣+13−1−2cs45∘．

20. 解不等式组：x−3x−1<7,x−2x≤2x−33, 并把解集在数轴上表示出来．

21. 如图，矩形 ABCD 中，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F．求证：四边形 BEDF 是平行四边形．

22. 济南在创建全国文明城市的进程中，高新区为美化城市环境，计划种植树木 30000 棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多 20%．结果提前 10 天完成任务，求原计划每天植树多少棵．

23. 济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以下信息，回答下列问题：
（1）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 ．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全枝征集的作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．

24. 某款篮球架的示意图如图所示，已知底座 BC=0.60 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角 ∠ACB=75∘，支架 AF 的长为 2 米，篮板顶端 F 点到篮框点 D 的距离 FD=1.35 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角 ∠FHE=60∘，求篮框 D 到地面的距离（精确到 0.1 米）．（参考数据：cs75∘≈0.26，sin75∘≈0.97，tan75∘≈3.73，3≈1.73，2≈1.41）

25. 如图，已知矩形 OABC 中，OA=2，AB=4，双曲线 y=kxk>0 与矩形两边 AB 、 BC 分别交于 E 、 F．
（1）若 E 是 AB 的中点，求 F 点的坐标；
（2）若将 △BEF 沿直线 EF 对折，B 点落在 x 轴上的 D 点，作 EG⊥OC，垂足为 G，证明 △EGD∽△DCF，并求 k 的值．

26. 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，点 D 在射线 BC 上（与 B，C 两点不重合），以 AD 为边作正方形 ADEF，使点 E 与点 B 在直线 AD 的异侧，射线 BA 与直线 CF 相交于点 G．
（1）若点 D 在线段 BC 上，如图（1），判断：线段 BC 与线段 CG 的数量关系： ，位置关系： ．
（2）如图（2），
①若点 D 在线段 BC 的延长线上，（1）中判断线段 BC 与线段 CG 的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；
②当 G 为 CF 中点，连接 GE，若 AB=2，求线段 GE 的长．

27. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a<0，a，b，c 为常数）与 x 轴交于 A，C 两点，与 y 轴交于 B 点，A−6,0，C1,0，B0,163．
（1）求该抛物线的函数关系式与直线 AB 的函数关系式；
（2）已知点 Mm,0 是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l，分别与直线 AB 和抛物线交于 D，E 两点，当 m 为何值时，△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形?
（3）在（2）问条件下，当 △BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰二角形时，动点 M 相应位置记为点 Mʹ，将 OMʹ 绕原点 O 顺时针旋转得到 ON（旋转角在 0∘ 到 90∘ 之间）；
i：探究：线段 OB 上是否存在定点 P（P 不与 O，B 重合），无论 ON 如何旋转，NPNB 始终保持不变，若存在，试求出 P 点坐标：若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，NA+34NB 的最小值．
答案
第一部分
1. B【解析】−3 的相反数是 3．
2. B
3. D【解析】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
4. A【解析】A、 a6÷a3=a3，故A选项正确；
B、 a23=a6，故B选项错误；
C、 a−b2=a2−2ab+b2，故C选项错误；
D、 a2+a2=2a2，故D选项错误．
5. B
【解析】∵∠CEF=140∘，
∴∠FED=180∘−∠CEF=180∘−140∘=40∘，
∵ 直线 AB∥CD，
∴∠A=∠FED=40∘．
6. A【解析】原式=2x+1x−1⋅x−1=2x+1.
7. B【解析】设每个排球 x 元，每个实心球 y 元，
则根据题意列二元一次方程组得：2x+3y=95,5x+7y=230.
8. C【解析】如图，延长 CA 交 ⊙A 与点 D，连接 OD，
∵ 同弧所对的圆周角相等，
∴∠OBC=∠ODC，
∵CD 是 ⊙A 的直径，
∴∠COD=90∘，
∴cs∠ODC=ODCD=102−5210=5310=32，
∴cs∠OBC=32，即 ∠OBC 的余弦值为 32．
9. B
10. C
【解析】A．由一次函数图象过一、三象限，得 a>0，交 y 轴负半轴，则 b<0，满足 ab<0，
∴a−b>0，
∴ 反比例函数 y=a−bx 的图象过一、三象限，
∴ 此选项不正确；
B．由一次函数图象过二、四象限，得 a<0，交 y 轴正半轴，则 b>0，满足 ab<0，
∴a−b<0，
∴ 反比例函数 y=a−bx 的图象过二、四象限，
∴ 此选项不正确；
C．由一次函数图象过一、三象限，得 a>0，交 y 轴负半轴，则 b<0，满足 ab<0，
∴a−b>0，
∴ 反比例函数 y=a−bx 的图象过一、三象限，
∴ 此选项正确；
D．由一次函数图象过二、四象限，得 a<0，交 y 轴负半轴，则 b<0，满足 ab>0，与已知相矛盾，
∴ 此选项不正确．
11. D【解析】∵ 在平行四边形 ABCD 中，AO=12AC，
∵ 点 E 是 OA 的中点，
∴AE=13CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴AFBC=AECE=13，
∵AD=BC，
∴AF=13AD，
∴AFFD=12；故选项A正确，不合题意；
∵S△AEF=4，S△AEFS△BCE=AFBC2=19，
∴S△BCE=36；故选项B正确，不合题意；
∵EFBE=AECE=13，
∴S△AEFS△ABE=13，
∴S△ABE=12，故选项C正确，不合题意；
∵BF 不平行于 CD，
∴△AEF 与 △ADC 只有一个角相等，
∴△AEF 和 △ACD 不一定相似，故选项D错误，符合题意．
12. C【解析】① ∵ 函数开口方向向上，
∴a>0；
∵ 对称轴在 y 轴右侧，
∴ab 异号，
∵ 抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴，
∴c<0，故①正确；
② ∵ 图象与 x 轴交于点 A−1,0，对称轴为直线 x=1，
∴ 图象与 x 轴的另一个交点为 3,0，
∴ 当 x=2 时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故②错误；
③ ∵ 图象与 x 轴交于点 A−1,0，
∴ 当 x=−1 时，y=−12a+b×−1+c=0，
∴a−b+c=0，即 a=b−c，c=b−a，
∵ 对称轴为直线 x=1，
∴−b2a=1，即 b=−2a，
∴c=b−a=−2a−a=−3a，
∴4ac−b2=4⋅a⋅−3a−−2a2=−16a2<0，
∵16a>0，
∴4ac−b2<16a，故③正确；
④ ∵ 图象与 y 轴的交点 B 在 0,−2 和 0,−1 之间，
∴−2 ∴−2<−3a<−1，
∴13 ⑤ ∵a>0，
∴b−c>0，即 b>c；故⑤错误．
第二部分
13. xy+2y−2
【解析】xy2−4x=xy2−4=xy+2y−2.
14. 0
【解析】由于关于 x 的一元二次方程 k−1x2+6x+k2−k=0 的一个根是 0，
把 x=0 代入方程，得 k2−k=0，解得，k1=1，k2=0，
当 k=1 时，由于二次项系数 k−1=0，
方程 k−1x2+6x+k2−k=0 不是关于 x 的二次方程，故 k≠1．
∴k 的值是 0．
15. 3
【解析】设白球 x 个，由题意可得，23+2+x=14，解得：x=3．
16. 32−π4
【解析】∵ 矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45∘，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=45∘，
∴AB=AE=1，BE=2，
∵ 点 E 是 AD 的中点，
∴AE=ED=1，
∴ 图中阴影部分的面积 =S矩形ABCD−S△ABE−S扇形EBF=1×2−12×1×1−45π×22360=32−π4．
17. 10
【解析】作 DE∥AO，CF⊥AO，
设 CF=4x，
∵ 四边形 OABC 为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO=S△DEO，
同理 S△BCD=S△CDE，
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO=2S△DEO+S△CDE=2S△CDO，
∵tan∠AOC=43，
∴OF=3x，
∴OC=5x，
∴OA=OC=5x，
∵S菱形ABCO=AO⋅CF=20x2，
∵C−3x,4x，
∴12×3x×4x=6，
∴x2=1，
∴S菱形ABCO=20，
∴△COD 的面积 =10．
18. 22018−12
【解析】由直线 l:y=33x−33 与 x 轴交于点 B1，
可得 B11,0，D0,−33，
∴OB1=1，∠OB1D=30∘，
如图所示，过 A1 作 A1A⊥OB1 于 A，
则 OA=12OB1=12，即 A1 的横坐标为 12=21−12，
由题可得 ∠A1B2B1=∠OB1D=30∘，∠B2A1B1=∠A1B1O=60∘，
∴∠A1B1B2=90∘，
∴A1B2=2A1B1=2，
过 A2 作 A2B⊥A1B2 于 B，
则 A1B=12A1B2=1，即 A2 的横坐标为 12+1=32=22−12，
过 A3 作 A3C⊥A2B3 于 C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=12A2B3=2，
即 A3 的横坐标为 12+1+2=72=23−12，
同理可得，A4 的横坐标为 12+1+2+4=152=24−12，
由此可得，An 的横坐标为 2n−12，
∴ 点 A2018 的横坐标是 22018−12．
第三部分
19. 原式=22−2+3−2×22=22+1−2=2+1.
20.
x−3x−1<7, ⋯⋯①x−2x≤2x−33, ⋯⋯②
由 ① 得，
x>−2.
由 ② 得，
x≥35.
故此不等式组的解集为：
x≥35.
在数轴上表示为：
21. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，
∴∠A=90∘，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在 △BOE 和 △DOF 中，
∠OBE=∠ODF,OB=OD,∠BOE=∠DOF,
∴△BOE≌△DOFASA，
∴EO=FO，
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形．
22. 设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为 1+20%，
由题意得，
30000x−300001+20%x=10,
解得：
x=500,
经检验，x=500 是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树 500 棵．
23. （1） 抽样调查
【解析】杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查．
（2） 所调查的 4 个班征集到的作品数为：6÷90360=24 件，
C班有 24−4+6+4=10 件，
补全条形图如图所示，
150∘
【解析】扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 360∘×1024=150∘．
（3） ∵ 平均每个班 244=6 件，
∴ 估计全校共征集作品 6×30=180 件．
（4） 画树状图得：
∵ 共有 20 种等可能的结果，两名学生性别相同的有 8 种情况，
∴ 恰好选取的两名学生性别相同的概率为 820=25．
24. 延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AG⊥FM 于 G，
在 Rt△ABC 中，tan∠ACB=ABBC，
则 AB=BC⋅tan75∘=0.6×3.73=2.24m，
故 GM=AB=2.24 m，
在 Rt△AGF 中，
∵∠FAG=∠FHD=60∘，sin∠FAG=GFAF，
∴sin60∘=FG2=32，
∴FG≈1.72 m，
∴DM=FG+GM−DF≈2.6m，
答：篮框 D 到地面的距离是 2.6 m．
25. （1） ∵ 点 E 是 AB 的中点，OA=2，AB=4，
∴ 点 E 的坐标为 2,2，
将点 E 的坐标代入 y=kx，可得 k=4，
即反比例函数解析式为 y=4x，
∵ 点 F 的横坐标为 4，
∴ 点 F 的纵坐标 =44=1，
故点 F 的坐标为 4,1．
（2） 由折叠的性质可得 BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90∘，
∵∠CDF+∠EDG=90∘，∠GED+∠EDG=90∘，
∴∠CDF=∠GED，
∵∠EGD=∠DCF=90∘，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点 E 坐标为 k2,2，点 F 坐标为 4,k4，
则 CF=k4，BF=DF=2−k4，ED=BE=AB−AE=4−k2，
在 Rt△CDF 中，CD=DF2−CF2=2−k42−k42=4−k，
∵CDGE=DFED，即 4−k2=2−k44−k2，
∴4−k=1，
解得 k=3．
26. （1） BC=CG；BC⊥CG
【解析】BC=CG，BC⊥CG，
∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45∘，
∵ 四边形 ADEF 是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90∘，
∵∠BAD=90∘−∠DAC，∠CAF=90∘﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在 △BAD 和 △CAF 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45∘，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90∘，
∴BC⊥CG，
同理 △ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即 BC=CG．
（2） ①仍然成立．
∵ 四边形 ADEF 是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90∘，
∵∠BAD=90∘−∠DAC，∠CAF=90∘−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在 △BAD 和 △CAF 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45∘，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90∘，
∴BC⊥CG，
同理 △ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即 BC=CG，
②与①同理，可得 BD=CF，BC=CG，BC⊥CG，
∵AB=2，G 为 CF 中点，
∴BC=CG=FG=CD=2，
如图，过点 A 作 AM⊥BD 于 M，
∴AM=1，MD=3，
∴AD=10，
过点 E 作 EN⊥FG 于 N，
在 △AMD 与 △FNE 中，
∠FEN=∠ADM,∠ENF=∠AMD=90∘,EF=AD,
∴△AMD≌△FNE，
∴FN=AM=1，
∴FG=2FN，
∴NE 为 FG 的垂直平分线，
即 GE=FE=AD=10．
27. （1） 设抛物线解析式为 y=ax+6xx−1a≠0，
将 B0,163 代入，得 163=ax+6x−1，
解得 a=−89，
∴ 该抛物线解析式为 y=−89x+6x−1 或 y=−89x2−409x+163．
设直线 AB 的解析式为 y=kx+nk≠0．
将点 A−6,0，B0,163 代入，得 0=−6k+n,163=n,
解得 k=89,n=163,
则直线 AB 的解析式为：y=89x+163．
（2） ∵ 点 Mm,0，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D，E 两点，
∴Dm,89m+163，当 DE 为底时，
如图 1，作 BG⊥DE 于 G，则 EG=GD=12ED，GM=OB=163，
∵DM+DG=GM=OB，
∴89m+163+12−89m2−409m+163−89m−163=163，
解得：m1=−4，m2=0（不合题意，舍去），
∴ 当 m=−4 时，△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形．
（3） i：存在，如图．
∵ON=OMʹ=4，OB=163，
∵∠NOP=∠BON，
∴ 当 △NOP∽△BON 时，OPON=NPNB=ONOB=34，
∴NPNB 不变，即 OP=34ON=34×4=3，
∴P0,3；
ii：∵N 在以 O 为圆心，4 为半径的半圆上，
由i知，NPNB=ONOB=34，
∴NP=34NB，
∴NA+34NB 的最小值 =NA+NP，
∴ 此时 N，A，P 三点共线，
∴NA+34NB 的最小值 =32+62=35．