2025年山东省淄博七中高考数学适应性试卷（二）

这是一份2025年山东省淄博七中高考数学适应性试卷（二），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若集合，集合，则
A．，B．C．，2，3，D．，3，
2．（5分）若复数满足是虚数单位），则等于
A．B．C．D．
3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
4．（5分）双曲线的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
5．（5分）利民工厂的某产品，年产量在至之间，年生产的总成本（万元）与年产量之间的关系近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为
A．160B．180C．200D．240
6．（5分）已知等比数列的各项均为正数，且，则
A．6B．9C．27D．81
7．（5分）四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为
A．5B．6C．8D．9
8．（5分）已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题中，真命题的是
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，满足，若，，则，
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120
（多选）10．（6分）若函数有极值，则的可能取值为
A．8B．9C．10D．11
（多选）11．（6分）已知直线及圆，则
A．直线过定点
B．直线截圆所得弦长最小值为2
C．存在，使得直线与圆相切
D．存在，使得圆关于直线对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知数列的前项和为，满足，，则 ．
13．（5分）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
14．（5分）如图，直线在平面内，点在平面外，直线与的夹角为，直线与平面所成的角为交．若平面与平面所成角的大小为，且，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知数列的首项且满足．
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，，记，求数列的前项和．
16．如图所示，在三棱柱中，△为边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的正弦值．
17．将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示．
表1
（1）已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在，，，，，的消费者分别有1，2，3轮次的抽奖机会．
已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望．
表2
表3
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
18．已知函数，曲线在点，（1）处的切线与轴平行．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意，，恒成立，求实数的取值范围．
19．设，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，△的面积为，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）如图，，，是椭圆上不重合的三点，原点是△的重心．
当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
求点到直线的距离的最大值．
2025年山东省淄博七中高考数学适应性试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若集合，集合，则
A．，B．C．，2，3，D．，3，
【答案】
【分析】先求出集合，，再利用集合的基本运算求解．
【解答】解：集合，集合，
所以，3，．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）若复数满足是虚数单位），则等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模长公式可求出结果．
【解答】解：由，得，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件，推得，再结合的取值范围，即可求解．
【解答】解：设与的夹角为，，，
向量在向量上的投影向量与向量方向相反，
，解得，
．
故选：．
【点评】本题主要考查投影向量的应用，属于基础题．
4．（5分）双曲线的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，进而由中位线定理得，在结合双曲线的定义得，，，最后在中，结合勾股定理得，进而得答案．
【解答】解：如图，设双曲线的左焦点为，连接，
因为过点的直线与圆相切于点，，
所以，，
所以，
因为线段的中点为，为线段的中点，
所以，
所以，由双曲线的定义得，
所以，所以，
所以，在中，，即，
所以，离心率为．
故选：．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
5．（5分）利民工厂的某产品，年产量在至之间，年生产的总成本（万元）与年产量之间的关系近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为
A．160B．180C．200D．240
【答案】
【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．
【解答】解：（1）依题意，每吨平均成本为（万元），
则
当且仅当，即时取等号，又，
所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低．
故选：．
【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．
6．（5分）已知等比数列的各项均为正数，且，则
A．6B．9C．27D．81
【答案】
【分析】利用对数的运算性质及等差数列的性质求解即可求得答案．
【解答】解：由题意可得，
故选：．
【点评】本题考查等比数列的性质，对数运算法则，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
7．（5分）四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为
A．5B．6C．8D．9
【答案】
【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出△的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可．
【解答】解：设平面的法向量为，
则，，则，
则点到平面的距离为，
又，，
则点到直线的距离为，
则，
故三棱锥的体积为．
故选：．
【点评】本题考查了平面法向量的定义及求法，用向量求点的平面距离的公式，三棱锥的体积公式，是中档题．
8．（5分）已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先化简的解析式，作出的图象，结合余弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：因为，
当时，，，当时，，，
作出函数在区间 上的图象如图所示，
结合图象可得，当时，方程在上有且仅有2个不等的实根，，
且，所以的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角函数图象的变换及三角函数对称性的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题中，真命题的是
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，满足，若，，则，
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120
【答案】
【分析】对于，利用中位数的概念即可判断；对于，利用二项分布的方差公式，结合数学期望与方差的性质求解即可判断；对选项，利用分层抽样样本方差的计算公式计算即可判断．
【解答】解：对于选项，中位数就是第50百分位数，选项正确．
对于选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得．
又因为、为常数），那么．
已知，即，解得，选项正确．
对于选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质、为常数），可得．
因为，所以．
再根据方差的性质、为常数），可得．
因为，所以，选项错误．
对于选项，设男生样本为，，，，平均数为，方差为；女生样本为，，，，平均数为，方差为．
总体样本平均数．
，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查概率的求解，属于中档题．
（多选）10．（6分）若函数有极值，则的可能取值为
A．8B．9C．10D．11
【答案】
【分析】将问题转化为导函数有零点，利用二次函数的性质分析求解即可．
【解答】解：函数，
则，
因为函数有极值，
所以有零点，
所以△，解得，
结合选项可知，的可能取值为8，9．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的应用，函数零点的理解与应用，二次函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知直线及圆，则
A．直线过定点
B．直线截圆所得弦长最小值为2
C．存在，使得直线与圆相切
D．存在，使得圆关于直线对称
【答案】
【分析】利用直线系方程求解直线经过定点，判断；求解直线截圆所得弦长最小值，判断；利用圆的圆心到直线的距离等于半径，求解，判断；通过直线经过圆的圆心，判断即可．
【解答】解：直线，可得，可得直线经过定点，所以正确；
圆，圆的圆心，半径为，圆的圆心到定点的距离为：，
所以直线截圆所得弦长最小值为：，所以正确；
因为圆的圆心到定点的距离为：（半径），所以直线与圆的的位置关系是相交，不存在，使得直线与圆相切，所以不正确；
当直线经过圆的圆心时，存在，使得圆关于直线对称，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线与圆的位置关系的判断，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知数列的前项和为，满足，，则 ．
【答案】．
【分析】先将代入题干表达式，两边同时乘以，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算出数列的通项公式即可计算出数列的通项公式，从而计算出的值．
【解答】解：由题意，当时，，
由，
可得，
两边同时乘以，
可得，
化简整理，得，
，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数列根据递推公式推导出通项公式，并计算某项的值．考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列的判别，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
13．（5分）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】．
【分析】直接利用二项式的展开式，组合数的应用求出结果．
【解答】解：的展开式的通项公式为：，1，2，3，4，，
所以的展开式中的系数为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）如图，直线在平面内，点在平面外，直线与的夹角为，直线与平面所成的角为交．若平面与平面所成角的大小为，且，则的值为 ．
【答案】．
【分析】过点作，且交于点，过点作，且交于，在三角形中，可得，中可得，进一步计算即可．
【解答】解：过点作，且交于点，
过点作，且交于，
则直线与平面所成的角为，
所以，
不妨设，易得，
则，
又平面与平面所成角为，
，则，则，
中，，
代入，
可求得，
故答案为：．
【点评】本题考查线面角的求法及直线与直线所成的角的求法，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知数列的首项且满足．
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，，记，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）先将递推公式两边同时乘以，再两边同时加2，进一步推导即可发现数列是首项为3，公比为3的等比数列，从而证得结论成立；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再根据数列的递推公式的特点运用累乘法推导出通项公式，即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】（1）证明：依题意，由两边同时乘以，
可得，即，
两边同时加2，
可得，
，
数列是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）解：由（1），可得，
则，，
又由，可得，
则，，，，
当时，，
当时，也满足上式，
，，
，
，①
，②
①②，可得
，
．
【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16．如图所示，在三棱柱中，△为边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的正弦值．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）过作于，连，就是直线与平面所成的角，根据线面角定义求解即可．
【解答】证明：（1）取中点，连，，则平面，
，又，，平面，
又，平面．
解：（2），，，
平面平面，
平面平面，
平面平面，
过作于，平面，
连，就是直线与平面所成的角，
，，，，，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，是中档题．
17．将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示．
表1
（1）已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在，，，，，的消费者分别有1，2，3轮次的抽奖机会．
已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望．
表2
表3
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）；（2）1413.12元．
【分析】（1）先计算出样本的平均值，再根据线性回归方程的系数的计算公式求出回归方程的系数；
（2）先确定奖励金额的取值，再分别求出对应的概率，由此求出期望，再计算返利总金额的数学期望．
【解答】解：（1）由题意可得，
则，
，
则，，
故关于的线性回归方程为；
（2）设表示参加一轮次抽奖所获得的奖励金额，则的可能取值为0，20，30，
因为抽取一张卡片，抽到“幸运顾客”卡片的过两年为，
所以，
，，
所以元，
则元．
【点评】本题考查了线性回归方程以及数学期望的求解，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
18．已知函数，曲线在点，（1）处的切线与轴平行．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意，，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求得，得到（1），根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）知，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与，即可求解．
【解答】解：（1）因为函数，可得，
所以（1），即曲线在点，（1）处的切线的斜率为，
因为曲线在点，（1）处的切线与轴平行，所以，解得，
故实数的值为．
（2）由（1）知，
因为，所以由，即．
设，
则在，上恒成立，
所以函数在，上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
19．设，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，△的面积为，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）如图，，，是椭圆上不重合的三点，原点是△的重心．
当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
求点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
．
【分析】（1）根据已知可得，，再结合求出椭圆方程．
（2）设出，，三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到的纵坐标为0，从而解出横坐标，进而解出结果．
讨论直线有无斜率两种情况，有斜率时设出直线的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点到直线的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，，
因为椭圆的离心率为，
所以，
又，
因为△的面积为，
解得，
所以，
则椭圆的方程为；
（2）设，，，，
因为直线垂直于轴，
所以，，
因为原点是△的重心，
所以，
解得，，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
则到直线的距离为；
当直线斜率不存在时，点到直线的距离为；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，，，，，，，
联立，消去并整理得，
此时△，
解得，
由韦达定理得，
因为原点是△的重心，
所以，
解得，
即，
所以，
整理得，
则点到直线的距离
．
故当与轴垂直时点到直线的距离最大为．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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20
30
40
50
50
65
70
95
120
消费金额
，
，
，
，
，
，
人数
6
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25
35
8
4
“幸运顾客”卡片数
3
2
其他情况
奖励金额（单位：元）
30
20
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
D
B
C
A
C
A
题号
9
10
11
答案
AB
AB
ABD
10
20
30
40
50
50
65
70
95
120
消费金额
，
，
，
，
，
，
人数
6
22
25
35
8
4
“幸运顾客”卡片数
3
2
其他情况
奖励金额（单位：元）
30
20
0