四川省泸州市龙马潭区五校联考2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸州市龙马潭区五校联考2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列说法正确的是，对于实数定义新运算等内容，欢迎下载使用。
数 学
考试时间：120分钟；分值：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题3分，共36分）
1．下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定
D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．55°
5．已知⊙O的直径是16cm，点O到同一平面内直线的距离为9cm，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
6．如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ）
A．3B．C．6D．
7．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
8．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4B．C．3D．
9．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
12．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，系列结论：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）若点，点，点在该函数图象上，则；
（5）若，则，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共12分）
13．因式分解： ．
14．若，是方程的两个实数根，则 ．
15．如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是 ．
16．如图，⊙O的半径是2，弦AB=，点C为是优弧AB上一个动点，BD⊥BC交直线AC于点D，则△ABD的面积的最大值为 ．
三、解答题（每题6分，共18分）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，已知，，，求证：．

四、解答题（每题7分，共14分）
20．为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________；
(2)扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度；
(3)已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双．
(1)若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
(2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？
(3)每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？
五、解答题（每题8分，共16分）
22．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围．
（2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
23．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为，已知＝，
(1)求，之间的距离； (保留根号)
(2)如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．参考数据：，
六、解答题（每题12分，共24分）
24．如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．
（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．
25．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
13．/ 14． 15． 16．3
17．解：
18．解：，
，
把代入得，原式．
19．证明：，
，
，
在和中，

≌（SAS），
．
20．（1）解：(名)，
，
，
故答案为：40，18，10；
（2）解：，
故答案为：162；
（3）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．（1）解： （双）
答：商场平均每天可售出双鞋子．
（2）设每双降价元．
解得：
让顾客尽可能得实惠，
答：每双鞋子降价元．
（3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
当元时，最大元．
答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
22．（1）由题意得：方程的根的判别式，
解得；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得：，
则，
，
，
，
当时，，
即，
因式分解得：，
解得或（不符题意，舍去），
故存在这样的实数k，k的值为．
23．（1）解：如图作于．
则，在中，
，
，
在中，，
，
，
．
（2）结论：这辆汽车超速．
理由：，
汽车速度，
，
这辆汽车超速．
24．（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC===
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2==2
25．（1）解：将点代入中，
得，
解这个方程组得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：过点M作轴于点E，如图：

设面积为S，
根据题意得：，．
∵，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设直线解析式为，
把代入，得：
，
解得，，
∴直线解析式为，
设，
又，
①当是对角线，则的中点重合，
∴，
解得（与C重合，舍去）或，
∴；
②当为对角线，则的中点重合，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
③当为对角线，则的中点重合，
∴，
解得或，
∴或，
综上所述，Q的坐标为或或或．类别
A类
B类
C类
D类
阅读时长t（小时）
频数
8
m
n
4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
D
A
C
A
B
B
B
题号
11
12








答案
A
A