广东省江门市江海区礼乐中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份广东省江门市江海区礼乐中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．1B．﹣3C．3D．﹣4
2．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x+2＝0D．kx2﹣x﹣k＝0
4．（3分）已知一元二次方程2x2﹣kx+1＝0有一个根为x＝1，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
5．（3分）把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x+2）2+1
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8
7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
8．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+5上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
9．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16D．23（1﹣2x）＝16
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论 ①a+b+c＜0②a﹣b+c＜0③b+2a＜0④abc＞0（5）b2＜4ac，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）若x1、x2是方程x2﹣x﹣12＝0的两个根，则x1+x2的值是 ．
12．（3分）方程（x+5）2﹣16＝0的解是 ．
13．（3分）二次函数y＝﹣（x+a）2﹣2的最大值是 ．
14．（3分）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组共有x名同学，根据题意列出的方程是 ．
15．（3分）抛物线y＝x2+2x+m与x轴只有一个交点，则m的值是 ．
16．（3分）已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣1＜x＜4时，则y的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.）
17．（4分）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
18．（4分）一元二次方程x2+kx﹣15＝0的一个根是﹣3，求另一个根及k的值．
19．（6分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），利用图象的特点填空：
（1）该二次的数图象的对称轴为直线 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 ；
（3）不等式ax+bx+c＞0的解集为 ．
20．（6分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
21．（8分）如图，矩形绿地的长为12m，宽为9m，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，求绿地的长、宽增加的长度．
22．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
23．（10分）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点258m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
24．（12分）某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．
（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；
（2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年广东省江门市江海区礼乐中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．1B．﹣3C．3D．﹣4
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中bx叫一次项，系数是b，可直接得到答案．
【解答】解：一次项是：未知数次数是1的项，故一次项是﹣3x，系数是：﹣3，
故选：B．
2．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【答案】B
【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）
故选：B．
3．（3分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x﹣1＝0C．x2﹣2x+2＝0D．kx2﹣x﹣k＝0
【答案】C
【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其小于零的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x2﹣2x+1＝0有两个相等的实数根；
B、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根；
C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（﹣k）＝1+4k2＞0，
∴一元二次方程kx2﹣x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．（3分）已知一元二次方程2x2﹣kx+1＝0有一个根为x＝1，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得关于k的一次方程2x2﹣kx+1＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程2x2﹣kx+1＝0得2﹣k+1＝0，
解得k＝3．
故选：A．
5．（3分）把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x+2）2+1
【答案】D
【分析】根据二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，即可求得结果．
【解答】解：把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，得到y＝3（x+2）2，
再向上平移1个单位，得到y＝3（x+2）2+1，
故答案选：D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8
【答案】A
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x+9＝8，
∴（x﹣3）2＝8，
故选：A．
7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
【答案】B
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0△＞0，即k≠0△=4+4k＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
8．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+5上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+5的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+5的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
9．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．23﹣23（1﹣x）2＝16D．23（1﹣2x）＝16
【答案】B
【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论 ①a+b+c＜0②a﹣b+c＜0③b+2a＜0④abc＞0（5）b2＜4ac，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x＝﹣1，x＝1对应y值的正负判断即可．
【解答】解：∵把x＝1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a+b+c＞0，∴①错误；
∵把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a﹣b+c＜0，∴②正确；
∵从图象可知：−b2a＜1，
即2a+b＜0，∴③正确；
∵从图象可知：a＜0，c＞0，−b2a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，∴④错误；
∵图象和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，∴⑤错误；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）若x1、x2是方程x2﹣x﹣12＝0的两个根，则x1+x2的值是 1 ．
【答案】1．
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣12＝0的两个根，
∴x1+x2=−ba=−−11=1．
故答案为：1．
12．（3分）方程（x+5）2﹣16＝0的解是 x1＝﹣1，x2＝﹣9 ．
【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣9．
【分析】先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（x+5）2﹣16＝0，
（x+5）2＝16，
∴x+5＝±4，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣9．
13．（3分）二次函数y＝﹣（x+a）2﹣2的最大值是 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】根据二次函数的性质和已知得出最大值即可．
【解答】解：∵y＝﹣（x+a）2﹣2，
∵﹣1＜0，
∴函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴函数的最大值是﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（3分）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组共有x名同学，根据题意列出的方程是 x（x﹣1）＝132 ．
【答案】x（x﹣1）＝132．
【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了132件，故根据等量关系可得到方程．
【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，
那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，
所以，x（x﹣1）＝132．
故答案为：x（x﹣1）＝132．
15．（3分）抛物线y＝x2+2x+m与x轴只有一个交点，则m的值是 1 ．
【答案】1．
【分析】由抛物线y＝x2+2x+m与x轴只有一个交点，推出Δ＝0，构建方程求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+m与x轴只有一个交点，
∴Δ＝0，
∴4﹣4m＝0，
m＝1．
故答案为：1．
16．（3分）已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣1＜x＜4时，则y的取值范围为 ﹣7≤y＜9 ．
【答案】﹣7≤y＜9．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣7），
将x＝﹣1代入y＝x2﹣6x+2得y＝1+6+2＝9，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣7≤y＜9，
故答案为：﹣7≤y＜9．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.）
17．（4分）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【答案】见试题解答内容
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
x﹣1＝0，3x﹣2＝0，
x1＝1，x2=23．
18．（4分）一元二次方程x2+kx﹣15＝0的一个根是﹣3，求另一个根及k的值．
【答案】另一个根是5，k的值为﹣2．
【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得﹣3a＝﹣15，解可求a，再把x＝﹣3代入方程易求k．
【解答】解：设它的另一个根是a，则
﹣3a＝﹣15，
解得a＝5，
把x＝﹣3代入方程，得
9﹣3k﹣15＝0，
解得k＝﹣2．
答：另一个根是5，k的值为﹣2．
19．（6分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），利用图象的特点填空：
（1）该二次的数图象的对称轴为直线 x＝1 ；
（2）方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 x1＝0，x2＝2 ；
（3）不等式ax+bx+c＞0的解集为 x＜﹣1或x＞3 ．
【答案】（1）x＝1；
（2）x1＝0，x2＝2；
（3）x＜﹣1或x＞3．
【分析】（1）根据二次函数上对称的两点求解即可；
（2）根据图象性质，当ax2+bx+c＝﹣3即y＝﹣3，由此得到其中一个解为x＝0，再根据抛物线的对称性，解得另一个解即可；
（3）不等式ax+bx+c＞0的解集即抛物线位于x轴的上方，根据图象解题即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴该二次的数图象的对称轴为直线x=−1+32=1；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点C（0，﹣3），
对称轴为x＝1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，﹣3），
∵当y＝﹣3时，即ax2+bx+c＝﹣3，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3的解为x1＝0，x2＝2；
（3）根据图象可得，
∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴不等式ax+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3．
20．（6分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
【答案】（1）m＝﹣3，（2）y=13x2−3．
【分析】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m中求解m即可；
（2）先求得点B坐标，再将B、C坐标代入y＝ax2+b（a≠0）中求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+m过顶点C，C（0，﹣3），
∴m＝﹣3；
（2）由m＝﹣3得直线解析式为y＝x﹣3，
当y＝0时，x＝3，则B（3，0），
将B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+b（a≠0）中，得9a+b=0b=−3，解得a=13b=−3，
∴抛物线的解析式为y=13x2−3．
21．（8分）如图，矩形绿地的长为12m，宽为9m，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，求绿地的长、宽增加的长度．
【答案】3m．
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为x m，由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度各为x m，
由题意得：（12+x）（9+x）＝12×9+72，
整理得：x2+21x﹣72＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣24（不符合题意，舍去），
答：绿地长、宽增加的长度各为3m．
22．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出Δ＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k，x1•x2＝k2，代入x1+x2+x1x2﹣1＝0，即可求出k值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0，
解得：k＜14，
即实数k的取值范围是k＜14；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k，x1•x2＝k2，
∵x1+x2+x1x2﹣1＝0，
∴1﹣2k+k2﹣1＝0，
解得：k＝0或2，
∵由（1）知：k＜14，
∴k＝2舍去，
即k＝0．
23．（10分）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点258m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为：
y=a(x−4.5)2+258，
把（0，2）代入解析式得，
2=a(0−4.5)2+258，
解得：a=−118
∴y关于x的函数表达式为：y=−118(x−4.5)2+258；
（2）该生在此项考试中得不到满分，理由：
当y＝0，则，−118(x−4.5)2+258=0，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（舍去），
∵12＜12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
24．（12分）某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．
（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；
（2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x+180；
（2）w＝﹣x2+200x﹣3600，当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元；
（3）40≤x≤80．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可；
（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围．将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案；
（3）构建不等式求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，150）；（80，100）分别代入得：
150=30k+b100=80k+b，
解得：k=−1b=180，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）由题意得：
w＝（x﹣20）（﹣x+180）
＝﹣x2+200x﹣3600，
∴w＝﹣x2+200x﹣3600（30≤x≤80）；
∵w＝﹣x2+200x﹣3600
＝﹣（x﹣100）2+6400，
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝100，
∴当x＜100时，w随x的增大而增大，
∴当x＝80时，w有最大值，此时w＝6000，
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元；
（3）由题意：（x﹣20）（﹣x+180）≥2800，
整理得x2﹣200x+6400≤0，
∴（x﹣40）（x﹣160）≤0，
∴40≤x≤160．
又∵30≤x≤80，
∴40≤x≤80．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）98；
（3）Q（1−5，−5）或（1+5，5）．
【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；
（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D坐标及CD的长，从而得出过M的直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，根据x+m＝﹣x2﹣2x+3的Δ＝0求得m的值，进而求得M的坐标，进一步求得CD上的高MQ的值，进一步得出结果；
（3）分两种情形：当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，设P（t，t+3），根据CP＝CB求得t的值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在AC的延长线上时，同样方法得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
抛物线的对称轴是直线：x=−3+12=−1，
∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，
∴D（﹣1，2），
∵C（0，3），
∴CD=2，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，
当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，
x2+3x+（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，
32﹣4（m﹣3）＝0得，
m﹣3=94，
∴x2+3x+94=0，
∴x1＝x2=−32，
∴y＝﹣（−32）2﹣2×(−32)+3=154，
y＝x+3=−32+3=32，
∴ME=154−32=94，
∴MQ＝ME•sin∠MEQ＝ME•sin45°=94×22=928，
∴S△MCD最大=12×2×928=98；
（3）如图2，
当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
∵点B和点Q关于CQ对称，
∴CP＝CB，
设P（t，t+3），
由CP2＝CB2得，
2t2＝10，
∴t1=−5，t2=5（舍去），
∴P（−5，3−5），
∵PQ∥BC，
∴CRQR=BRPR=1，
∴CR＝QR，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∵1+（−5）﹣0＝1−5，0+（3−5）﹣3=−5，
∴Q（1−5，−5）；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（5，3+5），
同理可得：Q（1+5，5），
综上所述：Q（1−5，−5）或（1+5，5）．
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