吉林省长春市经济技术开发区洋浦学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市经济技术开发区洋浦学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了 若分式的值为0，则x的值为， 下列不能表示是的函数的是等内容，欢迎下载使用。
A. 3B. 3或C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解．
【详解】解：依据题意得：，
，
解得：，
，
，
，
故选：C．
2. “神威·太湖之光”超级计算机是世界首台峰值运算能力超过每秒10亿亿次、拥有千万核的超级计算机，它计算1亿次需要的时间约为秒．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
3. 下列不能表示是的函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了函数的三种表示方法，结合图象理解函数概念根据函数的概念进行辨别即可．
【详解】解：∵选项A中的图象，描述了对于自变量x取值范围内的每一个值，都有多个的y值与其对应，
则A选项不能表示是的函数的，
∴选项B，C，D能表示是的函数，不符合题意，
故选：A．
4. 分式中，x和y都扩大到原来的5倍，分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大到原来的5倍C. 扩大到原来的10倍D. 缩小到原来的
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，把握分子与分母的代数式的次数，分子与分母同次，不变，分子次数比分母次数高变大，分子的次数比分母点，变小是解题的关键．
根据分式的基本性质可把，都扩大到原来的2倍代入原式得进行求解．
【详解】解：把，都扩大到原来的5倍代入原式得，
∴分式的值缩小到原来的．
故选：D．
5. 在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质可得，进而可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，
∴，
∴一次函数中，，，
∴一次函数过第一、三、四象限，
故选：B．
6. 在平面直角坐标系中，把直线向下平移5个单位长度，所得直线的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．
【详解】解：将函数的图象向下平移5个单位长度，所得的函数的解析式是，
故选：B．
7. 如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接交于点O，连接，，由四边形是菱形，可得，，可知垂直平分，所以，可得，即，由四边形是菱形，，可得，由四边形是菱形且周长为16，可得，结合，可得是等边三角形，由E是的中点，可得，所以，由，可得，在中，由直角三角形的性质，可求出，由勾股定理可得，可求出，所以的最小值为．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点O，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．的最小值为．
故选：D．
8. 正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键.
根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解.
【详解】解：对于直线，当时，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
当时，，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，即，即，
当时，，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，即，即，
以此类推，可得点的坐标是；
点的坐标是；
故选：A.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 函数自变量的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
10. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据一次函数图象经过的象限，求参数的范围，根据图象经过第一、二、四象限，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案：．
11. 若关于x的分式方程 有增根，则m的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】解：
方程两边都乘，得，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得：，
当时，，
解得：．
故答案为：．
12. 点，都在直线上，则_____（填“”或“” ）
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质求解即可，当时，随的增大而减小．
【详解】解：∵一次函数中，
∴随的增大而减小
∵，点，都在直线上，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．在中，，．若点A的坐标为，则第二象限的点B的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，作轴于点C，轴于点D，通过证明，得出，即可得出结果．
【详解】解：作轴于点C，轴于点D．
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
故答案为：．
14. 如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接．
下列四个结论：
①四边形是菱形；②；③；若， 则．
其中正确的结论是_______________．（填序号）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】利用矩形的性质和线段垂直平分线证明，进而可得出四边形是菱形，无法证明或是平分线，即不可得出，由菱形的面积公式可得出，由菱形和矩形的性质即可证明，则过点E作交于点H，利用勾股定理即可求得，则为等边三角形，即可判定．
【详解】解： 根据作图可得是线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形，故①正确．
∵无法证明或是平分线，
∴无法确定，故②错误．
由菱形的面积可得，故③错误．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴
过点E作交于点H，如图，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴
则．故正确．
综上：①④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减计算
【详解】解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1） （2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为一般方程是解题的关键，最后记得要检验．
（1）先将分式方程化为一般方程，再利用去分母、去括号、移项合并同类项、将系数化为1的步骤即可得出答案，最后检验是不是原方程的根；
（2）先将分式方程化为一般方程，再利用去分母、去括号、移项合并同类项、将系数化为1的步骤即可得出答案，最后检验是不是原方程的根．
【小问1详解】
解：
去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
将系数化为1，得
经检验是原方程的解；
小问2详解】
解：
去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
经检验是增根，原方程无解．
17. 先化简：，再从，0，2，3中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式=，当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
，，
，，
∴当时，原式．
当时，原式．
18. 已知一次函数经过点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．（1）用待定系数法即可求出一次函数即可；
（2）求出一次函数的图象与轴交于，与轴交于，再根据三角形面积公式列式计算即可．
【小问1详解】
解：把，代入得：
，
解得，
一次函数的表达式为；
【小问2详解】
在中，令得，令得，
如图：
一次函数的图象与轴交于，与轴交于，
，
一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为3．
19. 2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里充电费用为x元，则燃油车平均每公里的加油费为 元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
20. 如图，在中，过点D作于点E，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形面积为20，且，则的长度是______．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据含一个角为直角是平行四边形证明四边形是矩形．
（2）根据矩形面积为20求出，结合，根据勾股定理求出，得出答案即可．
本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练矩形的判定方法．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
，．
又，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形．
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
．
，
又，
．
又，
．
21. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，仪用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，点在格点上，作出四边形的对称中心点；
（2）在图②中，点在网格线上，以为邻边作出；
（3）在图③中，点在格点上，点在线段上，且，作出的平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）连接、交于点，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得解；
（2）连接交点右侧第条纵网格线于点，连接并延长交点所在的横网格线于点，连接、，则四边形即为所作；
（3）取格点，连接、，连接并延长交于，连接，即为所作．
【小问1详解】
解：如图，连接、交于点，点即为所求，
，
∵点、、、均在格点上，
∴由图可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的对称中心点为对角线、的交点；
【小问2详解】
解：如图，连接交点右侧第条纵网格线于点，连接并延长交点所在的横网格线于点，连接、，则四边形即为所作，
，
由图可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问3详解】
解：如图，取格点，连接、，连接并延长交于，连接，即为所作，
，
由图可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了作图—设计与应用作图、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22. 阅读下面的解题过程：
（1）感知：已知，求的值．
解：由知，所以，即
所以：
所以的值为__________．
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
（2）应用：求，求的值；
（3）拓展：若，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路．
（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；
（2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；
（3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵，且，
∴，即
∴
∴；
【小问2详解】
解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
∴．
【小问3详解】
解：∵，且
∴
∴
∵
∴．
23. 如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒．
（1）直线与之间的距离是 _____．
（2）当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式
（3）当时，求的值．
（4）当平分平行四边形面积时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
（4）或或
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点，合理利用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据平行四边形的面积为，列式运算即可；
（2）过点作于，则，根据梯形的面积公式即可求解；
（3）过点作于，利用勾股定理求出，当时，可得四边形为矩形，则，，分类讨论点在往返运动时的代数式，通过求解即可；
（4）分三种情况根据梯形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：设直线与之间的距离是，
∵，平行四边形的面积为，
∴，
∴，即直线与之间的距离是，
【小问2详解】
过点作于，如图所示：
∵直线与之间的距离是，
∴，
∵动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，
∴当点从点向点运动时（点不与点、重合），，，
∴四边形的面积
∴；
【小问3详解】
过点作于，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
当时，由题意得：，
∴，解得；
当时，由题意得：，
∴，解得；
当时，由题意得：，
∴，解得，不符合题意．
∴当PQ⊥BC时，t的值为或；
【小问4详解】
∵平行四边形的面积为，
∴当平分平行四边形的面积时，，
当时，由题意得：，，
∴，
解得；
当时，由题意得：，，
∴，
解得；
当时，由题意得：，，
∴，
解得．
综上所述，当平分平行四边形的面积时或或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为，，以为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B．
（1）点B的坐标为__________；
（2）求用含k的代数式表示b；
（3）当一次函数的图象将分成面积相等的两部分时，求k的值．
（4）直接写出一次函数的图象与的边只有两个公共点时k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合的思想进行解题．
（1）利用平行四边形的性质，和平移思想，求出点坐标即可；
（2）将点坐标代入解析式，进行求解即可；
（3）根据一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分，得到一次函数过原点，进行求解即可；
（4）求出一次函数图象经过点的值，和一次函数经过点的值，再根据一次函数的性质，求出k的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴可由平移得到，
∵点，点，，
∴，
即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：将代入，得：，
∴；
【小问3详解】
解：一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B，
∴当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，图象必过点，
由（2）知：，
∴，
∴；
小问4详解】
当直线经过点时，得，
解得：，
当直线经过点时，得，
解得：，
∵一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点，
∴或．