吉林省长春市朝阳实验学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市朝阳实验学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择（每题8分）
1. 若，则下列分式化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
2. 若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】分析：直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a，b的符号，进而得出答案．
详解：∵点A（a+1，b-2）在第二象限，
∴a+1＜0，b-2＞0，
解得：a＜-1，b＞2，
则-a＞1，1-b＜-1，
故点B（-a，1-b）在第四象限．
故选D．
点睛：此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
3. 函数中的自变量的取值范围是（ ）
A. ≠B. ≥1C. >D. ≥
【答案】D
【解析】
【分析】由被开方数为非负数可行关于x的不等式，解不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，2x-1≥0，
解得：x≥，
故选D.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据正比例函数的增减性，判定k的大小是解题的关键；根据正比例函数的增减性，判定，即可判断一次函数的大致图象．
【详解】解：正比例函数的函数值y随x的增大而减小，
，
∴一次函数的图象过二、三、四象限，
故选：A．
5. 已知点（-4，），（2，）都在直线上，则，大小关系是（ ）
A. ＞B. ＝C. ＜D. 不能比较
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【详解】解：∵k=-＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵-4＜2，
∴＞．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
6. A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，先把逆流速度和顺流速度表达出来，再根据共用去9小时，列出方程解答即可．
【详解】根据题意，得，
故选A．
7. 把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）
A. 1-(1-x)=1B. 1+(1-x)=1C. 1-(1-x)=x-2D. 1+(1-x)=x-2
【答案】D
【解析】
【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2-x，首先要化成x-2；②、等式右边的常数项不要漏乘．
【详解】解：
两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2
故选：D
【点睛】本题考查解分式方程．
8. 在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米）与行驶时间（秒）的函数图象，根据图象信息，计算的值分别为（ ）
A. 39，26B. 39，26.4C. 38，26D. 38，26.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象可得：速度和为：米/秒，由题意得：，可解得：，
因此慢车速度为：米/秒，快车速度为：米/秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，可进一步求秒．
【详解】速度和为：米/秒，
由题意得：，解得：，
因此慢车速度为：米/秒，快车速度为：米/秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒．
故选B．
【点睛】考核知识点：从函数图象获取信息.理解题意，从图象获取信息是关键.
二、填空（每题3分）
9. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，根据任何非零底数的零次幂的结果为1，求解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
10. 某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：米米．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
11. 函数的自变量取值范围是_________．
【答案】x≠2．
【解析】
【详解】试题分析：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2．故答案为x≠2．
考点：函数自变量的取值范围．
12. 已知＋＝4，则＝________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可求得b+a=4ab，然后代入原式即可求出答案．
【详解】∵＋＝4，
∴=4，
∴，
∴原式=
=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解决本题的关键是运用分式的加减运算．
13. 如图，已知一条直线经过点C(﹣1，0)点D(0，﹣2)，将这条直线向右平移与x轴、y轴分别交于点B、点A，若DB＝DC，则直线AB的函数解析式为_____．
【答案】y＝﹣2x+2
【解析】
【分析】先求出直线CD的解析式，再根据平移的性质求直线AB的解析式．
【详解】设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∵点C(﹣1，0)点D(0，﹣2)在直线CD上，
∴，解得
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵DB＝DC，
∴B(1，0)，
设AB的解析式为y＝﹣2(x﹣a)﹣2，
代入B(1，0)得，﹣2(1﹣a)﹣2＝0，解得a＝2，
∴AB的解析式为y＝﹣2(x﹣2)﹣2＝﹣2x+2，
∴直线AB的函数解析式为：y＝﹣2x+2．
故答案为y＝﹣2x+2．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14. 已知与成正比例，且当时，，则y与x的函数关系式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫比例系数，正比例函数上的点都满足解析式，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题的关键．由与成正比例可设，代入，，进行计算求出的值，整理即可得到答案．
【详解】解：与成正比例，
设，
当时，，
，
解得：，
，
整理得：，
与之间的函数关系式为：，
故答案为：．
三、解答题（共9题）
15. 先化简，再求值： 其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，先分别化简各个分式，再通分括号内的，然后根据分式加减法则进行运算，得出，再把代入，即可作答．
【详解】解：
则当时，原式
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1） （2）无解
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【小问1详解】
解：
方程两边同时乘以，得：
，
经检验，当时，，
所以，是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：
方程两边同时乘以，得：
，
经检验，当时，，
所以，是原分式方程的增根，
所以，原分式方程无解．
17. 关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a值．
【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【解析】
【分析】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
18. 列方程解下列实际问题
某校为美化校园，计划对面积为1800的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
【答案】甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100平方米、50平方米．
【解析】
【分析】设乙工程队每天能完成绿化面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化面积是平方米，根据时间工作总量工作效率结合“在独立完成面积为400平方米区域绿化时，甲队比乙队少用4天”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙工程队每天能完成绿化面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化面积是平方米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100平方米、50平方米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据时间工作总量工作效率结合二者独立完成400平方米区域绿化时所用时间之间的关系列出关于的分式方程是解题的关键．
19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形；
（2）在图②中，画的高线；
（3）在图③中，在边上找一点E，连结，使得平分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质、中线的定义、高线的定义，解题的关键是能综合运用这些知识点．
（1）根据等腰三角形的定义，作图即可；
（2）根据高线定义，作图即可；
（3）根据长方形的性质结合三角形中线的性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图，或都是满足条件的等腰直角三角形．
；
【小问2详解】
解：如图所示,即为所求；
；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，即；
【小问3详解】
解：如图所示, 取中点，连接，则即为所求．
．
20. 如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．
（1）写出点P2的坐标；
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．

【答案】P2（3，3）；y=2x﹣3；在.
【解析】
【详解】分析：（1）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），把点P1、P2的坐标代入，利用待定系数法求得系数的值；（2）根据平移的规律得到点P3的坐标为（6，9），代入直线方程进行验证即可．
本题解析：（1）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），
∵点P1（2，1），P2（3，3）在直线l上，
∴， 解得．
∴直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x﹣3．
（2）点P3在直线l上．
由题意知点P3的坐标为（6，9），
∵2×6﹣3=9，
∴点P3在直线l上．
21. 甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是_________千米/时，轿车的速度是__________千米/时；
（2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式；
（3）求货车出发多长时间，两车相距120千米？
【答案】（1）60，90
（2）
（3）货车出发小时或6小时时两车相距120千米
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出货车的速度以及轿车的速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式；
（3）根据（1）中的结果和图象，利用分类讨论的方法，可以得到货车出发多长时间两车相距120千米．
【小问1详解】
解：由图象可得，
货车的速度为：（千米时），
，
轿车的速度为：（千米时），
故答案为：60，90；
【小问2详解】
当时，设轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是，
点在该函数图象上，
，
解得，
即当时，轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是；
当时，；
当时，设轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是，
点，在该函数图象上，
，解得，
即当时，轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是，
由上可得，轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数表达式是；
【小问3详解】
设货车出发小时时两车相距120千米，
两车相遇之前：，
解得，
，
时符合题意；
两车相遇之后且轿车维修好之前：，
解得，
，
不符合题意，
，
解得，
当时，，此时轿车刚刚维修好，符合题意；
轿车维修好之后：由上可知，当货车行驶6小时时，两车相距120千米，又因为轿车速度大于货车速度，故两车越来越近，距离不可能是120千米；
由上可得，货车出发小时或6小时时两车相距120千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：
由图观察易知关于直线l对称点的坐标为，请在图中分别标明、关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标：__________、________；
（2）归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为__________（不必证明）；
（3）运用与拓广：
已知两点、，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点距离之和最小，并求出Q点坐标．
【答案】（1）（3，5）；（5，－2）
（2）（b，a） （3）
【解析】
【分析】（1）和（2）题均为求解某点关于直线l的对称点，因为直线l是第一、三象限的角平分线，所以只需将该点横纵坐标互换即可得到对称点；
（3）题是典型的将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，只需根据对称性作两点之间线段最短，即可解决问题．
【小问1详解】
解：B(5，3)、C(−2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，如图：
由图可知，B′（3，5），C′（5，−2）；
【小问2详解】
坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、 三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为(b，a)；
【小问3详解】
在图中标出点D(1，−3)关于直线l的对称点D' (-3，1)，连接D' E交直线l于一点，该点就是所求的点Q，如图：
∵点D(1，−3)关于直线l的对称点D' (−3，1)，
∴QD'=QD，
∴QD+QE=QD'+QE=D'E，
根据“ 两点之间线段最短”可知：QD+QE的最小值为线段D' E的长，
设直线D' E的解析式为y= kx+b(k≠0)，
把D' (−3，1)，E(−1，−4)两点的坐标代入到y=kx＋b中，
得
解得
∴直线的解析式为
∵直线l是第一、三象限的角平分线，
∴直线l解析式为：y=x，
联立
解得
∴ Q点坐标为：
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题．平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线的解析式为：y= x；第二、四象限的角平分线的解析式为：y=－x．求解将军饮马之类问题即某点与两点之间距离之和最短问题时，应依据两点之间线段最短的原则．
23. 如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为秒，连结，当点P运动到点D时，．
（1）_________；
（2）当_________秒时，平分矩形的面积；
（3）连结，当的面积为6时，求的值；
（4）如图2，作点A关于直线PE的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出的值．
【答案】（1）4 （2）8
（3）或7
（4）或7或
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）当时满足平分矩形面积，进而根据路程求解即可；
（3）分类讨论，当点P在上和上，再根据面积建立关于t的你方程求解即可；
（4）根据对称的性质，可知，所以可以以E为圆心，为半径画圆，与矩形的边的交点即为对应，有几个点则会有几种情况，然后分类讨论，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：由题可知，
在中，，，
∴，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：如图，当点P在上时，且，时，
平分矩形的面积，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8；
【小问3详解】
解：分以下两种情况讨论：
①如图，当点P再上时，
此时，
∴，
∴，
即；
②如图，当点P在上时，
此时此时，
∴，
∴；
综上，t的值为或7；
【小问4详解】
解：分以下三种情况讨论：
①如图，当点A落在边上且靠近点D时，
∵点A关于对称点为，
∴，，
过E作于点F，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得；
②如图，当点A落在边上且靠近点C时，
同理，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得；
③如图，当点A落在边上时，
此时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得；
综上，t的值为或7或．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．