吉林省第二实验中学2024-2025学年下学期八年级第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省第二实验中学2024-2025学年下学期八年级第一次月考 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1. 下列根式中，不能与合并的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A.，本选项不合题意；
B，本选项不合题意；
C.，本选项合题意；
D.，本选项不合题意；
故选C．
2. 下列计算正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法计算法则，加法计算法则依次判断.
【详解】A. ，故该项正确；
B. ，故该项错误；
C. 与不是同类项，不能相加，故该项错误；
D. 与不是同类项，不能相加，故该项错误；
故选：A.
【点睛】此题考查二次根式的计算，正确掌握二次根式的乘法计算法则，加法计算法则是解题的关键.
3. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x﹣2＝0B. x2﹣4x﹣1＝0C. x2﹣2x﹣3D. xy+1＝0
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式和已知得出22﹣4c＝0，求出方程的解即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴∆＝22﹣4c＝0，
解得：c＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元一次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与∆=b2−4ac有如下关系：①当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆＜0时，方程无实数根．结论反过来也成立．
5. 已知是方程的一个根，则另一个根为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，由题意可得，求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：设方程的另一个根为，
∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
∴方程的另一个根为，
故选：B．
6. a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d为（ ）
A. 1cmB. 2cmC. 4cmD. 9cm
【答案】C
【解析】
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得，又由a=3cm，b=2cm，c=6cm，即可求得d的值．
【详解】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，
∴，
∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，
∴，
∴d=4 (cm)．
故选：C．
【点睛】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
7. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A. 9米B. 9.6米C. 10米D. 10.2米
【答案】C
【解析】
【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得，从而求出AE的长，继而求出AB的长.
【详解】解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，
∴CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，
由题意可得：，
∴AE=8(米)，
∴AB=AE+BE=8+2=10(米).
故选:C.
【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于做辅助线
8. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，
∴△=，解得：，
又∵m为正整数，
∴m=1或2或3，
（1）当m=1时，原方程为x2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；
（2）当m=2时，原方程为x2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；
（3）当m=3时，原方程为x2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；
∴ m=2或m=3符合题意，
∴m的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.
故选B.
【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程中，若方程有两个实数根，则△=”是解答本题的关键.
二、填空题：（每小题3分，共18分）
9. 若最简二次根式与同类二次根式，则m =_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再解出m即可．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．
10. 已知是一元二次方程的一个根，则有__________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把代入一元二次方程计算即可．
【详解】解：把代入方程得．
故答案为：0．
11. 已知：，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，比例式的正确利用是解题关键．根据，设，，代入式子化简即可．
【详解】解：，
设，，
．
故答案为：．
12. 已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是_____．
【答案】14，16
【解析】
【分析】设较小的正偶数为x，可表示出较大的正偶数，再根据两个连续正偶数的积为224，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出这两个连续的正偶数．
本题考查了一元二次方程的应用之数字问题，正确解方程是解题的关键．
【详解】解：设较小的正偶数为x，则较大的正偶数为，
根据题意得
，
解得：，
∵
∴，
∴．
故答案为：14，16．
13. 如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：观察图象可知，
．
故答案为：．
14. 如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
【答案】2
【解析】
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
三、解答题：（共58分）
15. 用适当的方法解下列方程.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）方程没有实数根 （4）
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法、因式分解法、公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
（1）利用直接开平方法求出解即可；
（2）利用因式分解法求出解即可；
（3）先判断方程根的情况，可得到此方程没有实数根；
（4）利用公式法求出解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
此方程没有实数根；
【小问4详解】
解：，
，
，
，
．
16. 已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
【答案】（1）k≤3；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
17. 如图，在中，，平分线交于点D，，交于点E，
（1）求证：；
（2）若，求线段长．
【答案】（1）见解析 （2）线段长为5
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论；
（2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答．
【小问1详解】
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴线段长为5．
18. 某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．求鸡场的垂直于墙的边长为多少米？
【答案】鸡场的垂直于墙的边长为10米．
【解析】
【分析】先设鸡场的垂直于墙的边长为x米，表示出平行于墙的一边的长度，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意．
【详解】解：设鸡场的垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的一边的长度为米，
根据题意得：，
，
解得：，，
当时，，
当时，（舍去），
答：鸡场的垂直于墙的边长为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是根据题意设出未知数，找出等量关系列方程，还要注意x的取值范围．
19. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为
（2）该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
【小问2详解】
设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
20. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：
（1）问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
（2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．
【答案】（1）
（2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系；
（2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系；
（3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：结论：，
理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，如图所示，
∵四边形与四边形是正方形，与交于点，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的边长为6．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．