黑龙江省哈尔滨市萧红中学2024-2025学年八年级下学期3月考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市萧红中学2024-2025学年八年级下学期3月考试 数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 有下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A. 3x（x﹣4）=0B. x2+y﹣3=0C. +x=2D. x3﹣3x+8=0
【答案】A
【解析】
【详解】A选项是一元二次方程，去括号后为3x2－12x=0；
B选项不是一元二次方程，因为方程中含有两个未知数；
C选项不是一元二次方程，因为不是整式方程；
D选项不是一元二次方程，因为未知数的最高次数为3.
故选A
点睛：一元二次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）.
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A. 5，8，12B. 30，40，50C. 9，40，41D. 6，8，10
【答案】A
【解析】
【分析】该题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：（1）三个数必须是正整数．（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．（3）记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．
【详解】解：A，，不是勾股数，此选项符合题意；
B，，是勾股数，此选项不符合题意；
C，，是勾股数，此选项不符合题意；
D，，勾股数，此选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可．
【详解】解：A． 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；
B． 被开方数含分母，故B错误；
C． 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；
D． 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：C．
5. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴

∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键．
6. 如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）

A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答．
【详解】根据题意的作图可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．
7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. 3cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
【答案】D
【解析】
【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【详解】当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)；
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm），
即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm，
所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm，不超过6cm．
所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．
8. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （ ）
A. 三角形是锐角三角形B. 三角形是钝角三角形
C. 边长c所对的角是D. 边长a所对的角是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
根据根的判别式的意义得到，整理得，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴
∴，
所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是．
故选：D．
9. 下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角相等，邻角互补．
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考基础题．根据平行四边形的判定方法，一一判断即可．
【详解】解：A. 平行四边形对角相等，正确；根据四边形的内角和为360度结合对角相等，可得邻角互补，正确，故本选项不符合题意；
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题错误错误，故本选项符合题意；
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形正确，由题意可以证明两组对边分别平行，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，根据平行四边形的判定方法，可得结论，故本选项不符合题意．
故选：B
10. 如图，已知是边长为的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中；四边形是平行四边形；；．其中正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逐项判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】连接，作于，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，故正确，
∵，，，
∴，故正确，
∴，故正确，
如图，过作于点，则，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，，
∴，
∴，故错误，
综上正确，共个，
故选：．
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
11. 要使有意义，x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义即是被开方数大于或等于0．根据二次根式有意义的条件即可得解．
【详解】解：有意义，
，
解得：，
故答案为：．
12. 把多项式分解因式的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数2，然后在运用平方差公式即可.
【详解】解：
=
=
=
故答案为.
【点睛】本题考查了分解因式，分解因式的一般步骤是：有公因式的先提取公因式，然后在考虑公式法.
13. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式化简及计算．根据题意先将两个二次根式依次化简，再进行减法运算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在数轴上点表示的实数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点的位置可得答案，解题时注意点在数轴的正半轴上．
【详解】解：∵半径,
∴点表示的数为，
故答案为：．
15. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
16. 如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为8cm，底面半径为cm，那么最短的路线长是______________．

【答案】10cm
【解析】
【分析】将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线．
【详解】展开之后如图，此时AB的长度即为最短路线长，

此时 ,BC=8，
∴ ，
故答案为：10cm．
【点睛】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
17. 如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的周长，
故答案为：．
18. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______米．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题．
【详解】解：根据上图，进行如下标注：
由题知，，，，，，
，
梯子长度不变，
，
，
，
故答案为：．
19. 已知，中，若 ，高 ，则的度数为____________
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了用勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理的内容，根据题意进行分类讨论是解题的关键．根据题意画出符合条件的图形，分别考虑当高在内部和外部的两种情况，先用勾股定理求出边长进而求出内角，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
如图：当高在内部时，取中点E，连接，
∵，，
∴，
，
，
在中，
是等边三角形，
，
，
；
如图：当在外部时，
同理，，，
；
故答案为：或
20. 如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为_____
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到．
【详解】解：作交于点H
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：3．
三、解答题
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把12化成，化成，48化成，在把4，，16开方出来，最后合并．
（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数部分与部分．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，最简二次根式．解决问题的关键是深刻理解最简二次根式的概念，熟练分解出能开得尽方的因式（因数），分母有理化因式（因数），合并同类二次根式．（1）先把各个根式化简，再合并最简同类二次根式．（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数与无理数．
22. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）利用公式法求解可得．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）找到的格点的，使得，且，连接，则即为所求；
（2）根据平移画出，连接，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，，即为所求；

．
【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24. 已知 的对角线相交于点 O ，E ，F 分别是 的中点，连接．
（1）如图 1 ，求证：；
（2）如图 2 ，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中的所有与面积相等的钝角等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据平行四边形的性质和三角形全等的证明方法求解即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，再三角形中线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
，F 分别是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理，与面积相等的钝角等腰三角形还有
综上所述，所有与面积相等的钝角等腰三角形有．
25. 小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，
（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【解析】
【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
(2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时AC1=20，AB1=15，
此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
26. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程；
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
（2）基本运用
如图 2 ，点P为等边外一点，，求长．
（3）能力提升
如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ．
【答案】（1），见解析；（2）2；（3）
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解；
（2）由旋转性质可得，，，可求，由勾股定理可求解；
（3）将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G，先求出，，由旋转得，，则，均为等边三角形，可得，，，则，故，当点共线时，取得最小值，即为，可求，，则，在中由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
（2）如图，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）解：将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G，
在中，，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，均为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
当点共线时，取得最小值，即为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形进行边之间的转化．
27. 在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点，点，点 B 在 x 轴负半轴，连接．
（1）如图 1 ，求点 B 坐标；
（2）如图 2 ，点 P 从点 B 出发，以每秒个单位长度的速度向终点A 运动，设运动时间为 t，的面积为 S ，求 S 与 t 的关系式；
（3）如图 3 ，在（2）的条件下，D 在上， ，E 在上，连接， 过点 E 作 y 轴的垂线交于点 F ，连接，若，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形、函数表达式等知识，
（1）根据勾股定理求出，即可求出结论；
（2）作于点H，先求出，得出，即可求出结论；
（3）过点O作，交于点H，过点O作，垂足分别为点M、N，先证明，得出，再证明，得出，求出所在直线表达式进而求出点坐标，再求出点坐标，即可求出结论．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：作于点H，
，
，
，
，
由题意得，
，
的面积为；
【小问3详解】
解：过点O作，交于点H，过点O作，垂足分别为点M、N，
设，
，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所在直线为二四象限夹角的平分线，
所在直线表达式为，
设所在直线表达式为，
由题意得：，
解得：，
所在直线表达式为，
，
解得：，
，
，
当时，，
解得：，
，
．