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黑龙江省哈尔滨市萧红中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版+原卷）
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这是一份黑龙江省哈尔滨市萧红中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版+原卷），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
5. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 计算：下列步骤出现错误的是（ ）
① ②
③ ④
A. ①B. ②C. ③D. ④
7. 下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④
8. 在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是，如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 计算：__________.
10. 分解因式：x2－9＝______．
11. 等腰三角形的底角为，那么它的顶角的度数为___________．
12. 如图，中，，，过点作的垂线交于，，则的长为________．
13. 若，，则＝_______．
14. 已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，则a2+b2＝______．
15. 已知是完全平方式，则______．
16. 如图，在中，，，平分交于点，点，分别是和上的动点，设，若，则的最小值是________．
三、解答题（17－18题各6分，19－23题各3分，24－25题各10分，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称；
（2）求的面积．
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长
21. 小刚同学动手剪了如图①所示正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________．
（2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号纸片________张，3号纸片________张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式分解因式，其结果是________；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式________．
22. 数学课上,李老师出示了如下的题目：如图1，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由，
（1）小敏与同桌小聪探究解答的思路如下：
①特殊情况，探索结论，
当点为的中点时，如图2，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．(填>，<或=)
②特例启发，解答题目，
解：题目中，与的大小关系是：______．(填>，<或=)
理由如下：如图3，过点作，交于点，(请你补充完成解答过程)
（2）拓展结论，设计新题，
同学小敏解答后，提出了新的问题：在等边中，点在直线上，点在直线上，且，已知的边长为，求的长?(请直接写出结果)
23. 阅读下列材料，回答问题．
（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得________．
利用上面结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
（2）利用（1）中的结论，分解因式：
①________；
②________；
③________．
24. 已知：在平面直角坐标系中，点，点．
（1）如图1，连接，于点，，求出的长度．（面积法）
（2）如图2，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为秒，设的面积为（平方单位），试用含的式子表示．
（3）当，且点在线段的延长线上时，在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
25. 已知，中，．
图1 图2 图3
（1）填表：
（2）如图1，，点在线段上，点在线段的延长线上，，求证：；
（3）如图2，，点在线段上，作，且，若，，求的长；
（4）如图3，点在的延长线上，连接，点为上一点，连接交于点，，当时，若，，求的长．
萧红中学2023－2024学年度上学期八年级数学学科期中考试
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”，由此问题可求解．
【详解】解：选项A、B、D不能找到某条直线进行折叠使得直线两旁部分能够完全重合；而选项C可以找到这样的一条直线，故该选项是轴对称图形；
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】点关于轴对称点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得．
【详解】解： A、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
4. 下列能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差的结构特点判断即可．
【详解】解：A、，不符合平方差结构特点，不符合题意；
B、（x＋2）（2＋x），不符合平方差结构特点，不符合题意；
C、，符合平方差结构特点，符合题意；
D、（x﹣2）（x＋1），不符合平方差结构特点，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【详解】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选B．
【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
6. 计算：下列步骤出现错误的是（ ）
① ②
③ ④
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】通过对算式适当变形，符合平方差公式的特点，即可解答题目．
【详解】
①②③步骤正确，不符合题意；④步骤错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
7. 下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的判定定理可进行求解．
【详解】解：①有两个角等于的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形，可根据三角形内角和为求得每个内角的度数为；④三边都相等的三角形是等边三角形；综上所述：是等边三角形的有①②③④；
故选D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
8. 在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是，如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得方程：，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得，
解得：；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了新定义，解一元一次方程，关键是正确理解题意，列出方程．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 计算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】依据积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方法则，关键是掌握积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
10. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案：（x+3）（x-3）.
11. 等腰三角形的底角为，那么它的顶角的度数为___________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：因为等腰三角形的底角为，
所以它的顶角的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
12. 如图，中，，，过点作的垂线交于，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据角度之间的关系，找到边长之间的关系，即可得到结果．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质，解题的关键是根据角度之间的关系找到边长之间的关系．
13. 若，，则＝_______．
【答案】30
【解析】
【详解】试题解析：2m+n=2m•2n=5×6=30．
故答案为30．
14. 已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，则a2+b2＝______．
【答案】34
【解析】
【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．
【详解】∵a﹣b＝8，
∴（a﹣b）2= a2+b2-2ab=64
∴a2+b2=64+2ab=64-30=34．
故答案为：34．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．
15. 已知完全平方式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵完全平方式，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16. 如图，在中，，，平分交于点，点，分别是和上的动点，设，若，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂线段最短可知，当时，，，共线时，的值最小，最小值为，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，如图所示：
，平分，
，，
，
，
根据垂线段最短可知，当时，，，共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，，
，
，
的最小值为，
即的最小值是，
故答案：．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明垂直平分线段，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（17－18题各6分，19－23题各3分，24－25题各10分，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】对于（1），单项式乘以多项式法则计算；
对于（2），根据多项式除以单项式法则计算．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法和除法运算，掌握运算法则时解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析图；
（2）．
【解析】
【分析】（）分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接可得；
（）利用割补法求解可得．
【小问1详解】
如图，则关于轴对称的点为，，，
连接，，，
∴即为所求；
【小问2详解】
，
，
．
【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】,0.5
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减法化简，最后代入字母的值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，涉及完全平方公式与平方差公式，正确掌握整式的运算法则是解题的关键．
20. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长
【答案】（1）见解析；（2）EC=4，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC和余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；
（2）由题意根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
又，
，
，，
，
又，
，
；
（2），
，
又，
，
在中，，
，
.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和余角的性质以及对顶角的性质等知识点，解题的关键根据相关的性质定理通过等量代换进行分析．
21. 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________．
（2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号纸片________张，3号纸片________张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式分解因式，其结果是________；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式________．
【答案】（1）
（2）2；3 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用面积相等即可求解．
（2）根据题意，，进而可求解．
（3）根据小纸片与大纸片面积相等即可求解．
（4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积与大纸片的面积相等即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
故答案为：．
【小问2详解】
由题意得：，
则需要2号纸片2张，3号纸片3张，
故答案为：2；3．
【小问3详解】
，
故答案为：．
【小问4详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据式子会画出图形是解题的关键．
22. 数学课上,李老师出示了如下的题目：如图1，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由，
（1）小敏与同桌小聪探究解答的思路如下：
①特殊情况，探索结论，
当点为的中点时，如图2，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．(填>，<或=)
②特例启发，解答题目，
解：题目中，与的大小关系是：______．(填>，<或=)
理由如下：如图3，过点作，交于点，(请你补充完成解答过程)
（2）拓展结论，设计新题，
同学小敏解答后，提出了新的问题：在等边中，点在直线上，点在直线上，且，已知的边长为，求的长?(请直接写出结果)
【答案】（1）①AE=DB；②=；理由见解析；（2）2或4．
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出=求出DB=BE，进而得出AE=DB即可；
②根据题意结合平行线性质利用全等三角形的判定证得△BDE≌△FEC，求出AE=EF进而得到AE=DB即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，一种是点在线段上另一种是点在线段的反向延长线上进行分析即可.
【详解】解：（1）①∵为等边三角形，点为的中点，
∴, ,
∵,
∴,得出,即有,
∴,
∴AE=DB.
②AE=DB，理由如下：
作EF//BC，交AB于E，AC于F，
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACF=60°，∠1=∠2，
∴∠4=∠5=120°，
∵EC=ED，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
在△BDE和△FEC中，，
∴△BDE≌△FEC，
∴DB=EF，
∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE=DB．
(2)第一种情况：
假设点在线段上，并作EF//BC，交AB于E，AC于F，如图所示：
根据②可知AE=DB，
∵在等边中，的边长为，
∴AE=DB=1,
∴;
第二种情况：
假设点在线段的反向延长线上，如图所示：
根据②的结论可知AE=DB，
∵在等边中，的边长为，
∴；
综上所述CD的长为2或4．
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质和判定和等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解题的关键是构造全等的三角形进行分析.
23. 阅读下列材料，回答问题．
（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得________．
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
（2）利用（1）中的结论，分解因式：
①________；
②________；
③________．
【答案】（1）
（2）①；②；③
【解析】
【分析】（1）根据题材即可得出结论；
（2）利用题材做给方法因式分解即可．
【小问1详解】
解：
．
因此，可以得
故答案为：．
【小问2详解】
解：①．
故答案为：；
②．
故答案为： ；
③．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，明确题意，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24. 已知：平面直角坐标系中，点，点．
（1）如图1，连接，于点，，求出的长度．（面积法）
（2）如图2，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为秒，设的面积为（平方单位），试用含的式子表示．
（3）当，且点在线段的延长线上时，在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）点坐标：或或或
【解析】
【分析】（1）由图先求出，然后根据三角形面积可进行求解；
（2）由题意可分当和当时，进而分类求解即可；
（3）由（2）可知：或，则有，即，然后根据题意可分当时，当时和当时，进而分类求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得：，是等腰直角三角形，则由题意可分：
①当时，则如图所示：
∴，
过点P作于点C，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②当时，此时点P在射线上，此时，
同理①可得此时；
综上所述：或；
【小问3详解】
解：在轴上存在一点，使得为等腰三角形，理由如下：
由（2）可知：或
当，且点在线段的延长线上时，
∴，即，
∴，
①当时，则有或，
∴此时点或；
②当时，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当为等腰三角形时，则点坐标：或或或．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、图形与坐标及函数表达式，熟练掌握等腰直角三角形的性质、图形与坐标及函数表达式是解题的关键．
25. 已知，中，．
图1 图2 图3
（1）填表：
（2）如图1，，点在线段上，点在线段的延长线上，，求证：；
（3）如图2，，点在线段上，作，且，若，，求的长；
（4）如图3，点在的延长线上，连接，点为上一点，连接交于点，，当时，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形性质依次填表；
（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形性质得出是等腰三角形，根据已知分别算出，，，进而根据等腰三角形的判定得出结论；
（3）延长至点，使，连接，证，进而得到，从而得出结果；
（4）在上截取，连接．设，在中，，在中，，根据求出值，得出是等边三角形，再证，进而证出，，，从而求出结果．
【小问1详解】
【小问2详解】，，
，在中，，
，
．
【小问3详解】
延长至点，使，连接，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
【小问4详解】
在上截取，连接．
设，在中，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
1. 下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
5. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 计算：下列步骤出现错误的是（ ）
① ②
③ ④
A. ①B. ②C. ③D. ④
7. 下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④
8. 在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是，如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 计算：__________.
10. 分解因式：x2－9＝______．
11. 等腰三角形的底角为，那么它的顶角的度数为___________．
12. 如图，中，，，过点作的垂线交于，，则的长为________．
13. 若，，则＝_______．
14. 已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，则a2+b2＝______．
15. 已知是完全平方式，则______．
16. 如图，在中，，，平分交于点，点，分别是和上的动点，设，若，则的最小值是________．
三、解答题（17－18题各6分，19－23题各3分，24－25题各10分，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称；
（2）求的面积．
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长
21. 小刚同学动手剪了如图①所示正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________．
（2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号纸片________张，3号纸片________张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式分解因式，其结果是________；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式________．
22. 数学课上,李老师出示了如下的题目：如图1，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由，
（1）小敏与同桌小聪探究解答的思路如下：
①特殊情况，探索结论，
当点为的中点时，如图2，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．(填>，<或=)
②特例启发，解答题目，
解：题目中，与的大小关系是：______．(填>，<或=)
理由如下：如图3，过点作，交于点，(请你补充完成解答过程)
（2）拓展结论，设计新题，
同学小敏解答后，提出了新的问题：在等边中，点在直线上，点在直线上，且，已知的边长为，求的长?(请直接写出结果)
23. 阅读下列材料，回答问题．
（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得________．
利用上面结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
（2）利用（1）中的结论，分解因式：
①________；
②________；
③________．
24. 已知：在平面直角坐标系中，点，点．
（1）如图1，连接，于点，，求出的长度．（面积法）
（2）如图2，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为秒，设的面积为（平方单位），试用含的式子表示．
（3）当，且点在线段的延长线上时，在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
25. 已知，中，．
图1 图2 图3
（1）填表：
（2）如图1，，点在线段上，点在线段的延长线上，，求证：；
（3）如图2，，点在线段上，作，且，若，，求的长；
（4）如图3，点在的延长线上，连接，点为上一点，连接交于点，，当时，若，，求的长．
萧红中学2023－2024学年度上学期八年级数学学科期中考试
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”，由此问题可求解．
【详解】解：选项A、B、D不能找到某条直线进行折叠使得直线两旁部分能够完全重合；而选项C可以找到这样的一条直线，故该选项是轴对称图形；
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】点关于轴对称点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得．
【详解】解： A、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
4. 下列能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差的结构特点判断即可．
【详解】解：A、，不符合平方差结构特点，不符合题意；
B、（x＋2）（2＋x），不符合平方差结构特点，不符合题意；
C、，符合平方差结构特点，符合题意；
D、（x﹣2）（x＋1），不符合平方差结构特点，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【详解】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选B．
【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
6. 计算：下列步骤出现错误的是（ ）
① ②
③ ④
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】通过对算式适当变形，符合平方差公式的特点，即可解答题目．
【详解】
①②③步骤正确，不符合题意；④步骤错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
7. 下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的判定定理可进行求解．
【详解】解：①有两个角等于的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形，可根据三角形内角和为求得每个内角的度数为；④三边都相等的三角形是等边三角形；综上所述：是等边三角形的有①②③④；
故选D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
8. 在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是，如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得方程：，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得，
解得：；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了新定义，解一元一次方程，关键是正确理解题意，列出方程．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 计算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】依据积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方法则，关键是掌握积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
10. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案：（x+3）（x-3）.
11. 等腰三角形的底角为，那么它的顶角的度数为___________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：因为等腰三角形的底角为，
所以它的顶角的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
12. 如图，中，，，过点作的垂线交于，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据角度之间的关系，找到边长之间的关系，即可得到结果．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质，解题的关键是根据角度之间的关系找到边长之间的关系．
13. 若，，则＝_______．
【答案】30
【解析】
【详解】试题解析：2m+n=2m•2n=5×6=30．
故答案为30．
14. 已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，则a2+b2＝______．
【答案】34
【解析】
【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．
【详解】∵a﹣b＝8，
∴（a﹣b）2= a2+b2-2ab=64
∴a2+b2=64+2ab=64-30=34．
故答案为：34．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．
15. 已知完全平方式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵完全平方式，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16. 如图，在中，，，平分交于点，点，分别是和上的动点，设，若，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂线段最短可知，当时，，，共线时，的值最小，最小值为，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，如图所示：
，平分，
，，
，
，
根据垂线段最短可知，当时，，，共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，，
，
，
的最小值为，
即的最小值是，
故答案：．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明垂直平分线段，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（17－18题各6分，19－23题各3分，24－25题各10分，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】对于（1），单项式乘以多项式法则计算；
对于（2），根据多项式除以单项式法则计算．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法和除法运算，掌握运算法则时解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析图；
（2）．
【解析】
【分析】（）分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接可得；
（）利用割补法求解可得．
【小问1详解】
如图，则关于轴对称的点为，，，
连接，，，
∴即为所求；
【小问2详解】
，
，
．
【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】,0.5
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减法化简，最后代入字母的值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，涉及完全平方公式与平方差公式，正确掌握整式的运算法则是解题的关键．
20. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长
【答案】（1）见解析；（2）EC=4，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC和余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；
（2）由题意根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
又，
，
，，
，
又，
，
；
（2），
，
又，
，
在中，，
，
.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和余角的性质以及对顶角的性质等知识点，解题的关键根据相关的性质定理通过等量代换进行分析．
21. 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________．
（2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号纸片________张，3号纸片________张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式分解因式，其结果是________；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式________．
【答案】（1）
（2）2；3 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用面积相等即可求解．
（2）根据题意，，进而可求解．
（3）根据小纸片与大纸片面积相等即可求解．
（4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积与大纸片的面积相等即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
故答案为：．
【小问2详解】
由题意得：，
则需要2号纸片2张，3号纸片3张，
故答案为：2；3．
【小问3详解】
，
故答案为：．
【小问4详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据式子会画出图形是解题的关键．
22. 数学课上,李老师出示了如下的题目：如图1，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由，
（1）小敏与同桌小聪探究解答的思路如下：
①特殊情况，探索结论，
当点为的中点时，如图2，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．(填>，<或=)
②特例启发，解答题目，
解：题目中，与的大小关系是：______．(填>，<或=)
理由如下：如图3，过点作，交于点，(请你补充完成解答过程)
（2）拓展结论，设计新题，
同学小敏解答后，提出了新的问题：在等边中，点在直线上，点在直线上，且，已知的边长为，求的长?(请直接写出结果)
【答案】（1）①AE=DB；②=；理由见解析；（2）2或4．
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出=求出DB=BE，进而得出AE=DB即可；
②根据题意结合平行线性质利用全等三角形的判定证得△BDE≌△FEC，求出AE=EF进而得到AE=DB即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，一种是点在线段上另一种是点在线段的反向延长线上进行分析即可.
【详解】解：（1）①∵为等边三角形，点为的中点，
∴, ,
∵,
∴,得出,即有,
∴,
∴AE=DB.
②AE=DB，理由如下：
作EF//BC，交AB于E，AC于F，
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACF=60°，∠1=∠2，
∴∠4=∠5=120°，
∵EC=ED，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
在△BDE和△FEC中，，
∴△BDE≌△FEC，
∴DB=EF，
∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE=DB．
(2)第一种情况：
假设点在线段上，并作EF//BC，交AB于E，AC于F，如图所示：
根据②可知AE=DB，
∵在等边中，的边长为，
∴AE=DB=1,
∴;
第二种情况：
假设点在线段的反向延长线上，如图所示：
根据②的结论可知AE=DB，
∵在等边中，的边长为，
∴；
综上所述CD的长为2或4．
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质和判定和等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解题的关键是构造全等的三角形进行分析.
23. 阅读下列材料，回答问题．
（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得________．
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
（2）利用（1）中的结论，分解因式：
①________；
②________；
③________．
【答案】（1）
（2）①；②；③
【解析】
【分析】（1）根据题材即可得出结论；
（2）利用题材做给方法因式分解即可．
【小问1详解】
解：
．
因此，可以得
故答案为：．
【小问2详解】
解：①．
故答案为：；
②．
故答案为： ；
③．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，明确题意，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24. 已知：平面直角坐标系中，点，点．
（1）如图1，连接，于点，，求出的长度．（面积法）
（2）如图2，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为秒，设的面积为（平方单位），试用含的式子表示．
（3）当，且点在线段的延长线上时，在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）点坐标：或或或
【解析】
【分析】（1）由图先求出，然后根据三角形面积可进行求解；
（2）由题意可分当和当时，进而分类求解即可；
（3）由（2）可知：或，则有，即，然后根据题意可分当时，当时和当时，进而分类求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得：，是等腰直角三角形，则由题意可分：
①当时，则如图所示：
∴，
过点P作于点C，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②当时，此时点P在射线上，此时，
同理①可得此时；
综上所述：或；
【小问3详解】
解：在轴上存在一点，使得为等腰三角形，理由如下：
由（2）可知：或
当，且点在线段的延长线上时，
∴，即，
∴，
①当时，则有或，
∴此时点或；
②当时，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当为等腰三角形时，则点坐标：或或或．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、图形与坐标及函数表达式，熟练掌握等腰直角三角形的性质、图形与坐标及函数表达式是解题的关键．
25. 已知，中，．
图1 图2 图3
（1）填表：
（2）如图1，，点在线段上，点在线段的延长线上，，求证：；
（3）如图2，，点在线段上，作，且，若，，求的长；
（4）如图3，点在的延长线上，连接，点为上一点，连接交于点，，当时，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形性质依次填表；
（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形性质得出是等腰三角形，根据已知分别算出，，，进而根据等腰三角形的判定得出结论；
（3）延长至点，使，连接，证，进而得到，从而得出结果；
（4）在上截取，连接．设，在中，，在中，，根据求出值，得出是等边三角形，再证，进而证出，，，从而求出结果．
【小问1详解】
【小问2详解】，，
，在中，，
，
．
【小问3详解】
延长至点，使，连接，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
【小问4详解】
在上截取，连接．
设，在中，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
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