2024-2025学年江苏省马坝高级中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省马坝高级中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.AB+BO+OM等于( )
A. BCB. ABC. ACD. AM
2.在四边形ABCD中，AB⋅BC=0，BC=AD，则四边形ABCD是( )
A. 直角梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
3.若tanβ=3，tan(α−β)=−2，则tanα等于( )
A. 17B. −17C. 1D. −1
4.已知向量a=(2,3),b=(x,4)，若a⊥(a−b)，则实数x=( )
A. −12B. 12C. −83D. 83
5.已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与BA同方向的单位向量为( )
A. 35,−45B. (3,−4)C. −35,45D. (−3,4)
6.已知csα=13，则sinπ2−2α=( )
A. 79B. −79C. 78D. −78
7.已知csα−csβ=12，sinα−sinβ= 33，则cs(β−α)=( )
A. 124B. −524C. 1724D. −1724
8.设sin(π6+θ)= 23，则sin(2θ−π6)=( )
A. −79B. −59C. 59D. 79
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的有( )
A. a=b的充要条件是|a|=|b|且a→/\!/b→
B. 若a→/\!/b→，b→/\!/c→，则a→/\!/c→
C. 若a→/\!/b→，则存在实数λ，使得a=λb
D. |a|−|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
10.下列化简正确的是
A. cs82°sin52°−sin82°cs52°=12B. sin15°sin30°sin75°=14
C. tan48°+tan72°1−tan48°tan72°=− 3D. cs215°−sin215°= 32
11.武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=150°，OA=2OC=2OD=2，点F在弧AB上，且∠BOF=120°，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有( )
A. OD⋅DA= 3−1
B. OF=λOA+mOB，则λ+m= 3+1
C. OF在DF方向上的投影向量为57DF
D. EF⋅EB的最大值是−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(m,4)，b=(3,−2)，且a // b，则实数m= ．
13.在△ABC中，若(a+b+c)(b+c−a)=3bc,则A= ．
14.已知OA=(k,2)，OB=(1,2k)，OC=(1−k,−1)，且相异三点A、B、C共线，则实数k= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题17分)
已知a=4,b=2，且a与b的夹角为120∘，求：
(1)求a⋅b；
(2)求2a−b；
(3)若向量2a−λb与λa−3b平行，求实数λ的值．
16.(本小题15分)
如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，
(1)求证：AF⊥DE；
(2)求DE⋅EC的值．
17.(本小题15分)
已知α∈(0,π2)．
(1)若sinα= 55，求sin(α+π6)的值；
(2)若cs(α+π6)= 55，求sinα的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=cs2x+2 3sinxcsx−sin2x
(1)求该函数最小正周期；
(2)求该函数的最值；
(3)求该函数的单调增区间．
19.(本小题13分)
如图，在半径为2，圆心角为60∘的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点N在OB上，点M､Q在OA上，求这个矩形面积的最大值及相应的角∠AOP的大小．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.C
8.B
9.ABC
10.CD
11.BCD
12.−6
13.600
14.−14
15.【详解】(1)由题意可得a⋅b=a⋅bcs120∘=4×2×−12=−4．
(2)2a−b= 2a−b2= 4a2−4a⋅b+b2= 4×16+16+4=2 21．
(3)因a与b不共线，则λa−3b≠0，
由向量2a−λb与λa−3b平行可知，存在实数μ使得2a−λb=μλa−3b，
即(2−μλ)a=(λ−3μ)b，
则2−μλ=λ−3μ=0，得λ=± 6．

16.【详解】(1)
由AF⋅DE=AB+BF⋅DA+AE=AB⋅DA+AB⋅AE+BF⋅DA+BF⋅AE
因为正方形ABCD的边长为2，所以有：
AF⋅DE=AB⋅DA+AB⋅AE+BF⋅DA+BF⋅AE=0+2−2+0=0，
所以AF⊥DE，即AF⊥DE；
(2)由DE⋅EC=DA+AE⋅EB+BC=EB⋅DA+BC⋅DA+EB⋅AE+BC⋅AE，
因为正方形ABCD的边长为2，所以有：
DE⋅EC=EB⋅DA+BC⋅DA+EB⋅AE+BC⋅AE=0−4+1+0=−3，
即DE⋅EC=−3

17.【详解】解：(1)因为sinα= 55，α∈(0, π2)，所以csα=2 55
所以sin(α+π6)= 32sinα+12csα= 1510+2 510= 15+2 510．
(2)因为α∈(0, π2)，所以α+π6∈(π6,2π3)
又因为cs(α+π6)= 55，所以sin(α+π6)=2 55
所以sinα=sin[(α+π6)−π6]= 32sin(α+π6)−12cs(α+π6)
=2 1510− 510=2 15− 510．

18.【详解】(1)因为f(x)=cs2x+2 3sinxcsx−sin2x=cs2x+ 3sin2x
=2 32sin2x+12cs2x=2sin2x+π6，
由T=2π2=π，即该函数最小正周期为π；
(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π6，
由正弦函数的性质可知sin2x+π6∈[−1,1]，
当2x+π6=π2+2kπ,k∈Z，即x=π6+kπ,k∈Z时，f(x)max=2，
当2x+π6=−π2+2kπ,k∈Z，即x=−π3+kπ,k∈Z时，f(x)min=−2，
所以f(x)max=2,f(x)min=−2；
(3)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπk∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
则该函数的单调增区间为−π3+kπ,π6+kπk∈Z．

19.【详解】设∠AOP=θ，则θ∈(0∘,60∘)，在Rt▵POQ中，PQ=2sinθ,OQ=2csθ,
在Rt▵MON中，因∠MON=60∘,MN=PQ=2sinθ，则OM=MNtan60∘=2 33sinθ，
于是，MQ=OQ−OM=2csθ−2 33sinθ，
故矩形PNMQ的面积为S=PQ⋅MQ=2sinθ(2csθ−2 33sinθ)
=2sin2θ−2 33(1−cs2θ)=4 33sin(2θ+30∘)−2 33，
因θ∈(0∘,60∘)，则30∘