2024-2025学年广东省深圳高级中学东校区高一（下）段考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳高级中学东校区高一（下）段考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z−=2i+1的共轭复数为( )
A. 1−iB. 1+iC. 2−2iD. 2+2i
2.下列命题正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
3.伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑.该钟的时针长约为2.8m，则经过127～ℎ，时针的针尖走过的路程约为( )
A. 0.4πmB. 0.6πmC. 0.8πmD. 0.9πm
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2 2,B=π4的三角形有两个，则b的取值范围为( )
A. (0,2 2)B. (2 2,4)C. (2,4)D. (2,2 2)
5.已知角θ的终边上有一点(1,2)，则sin(π−θ)+cs(π2−θ)cs(−θ)−cs(π+θ)=( )
A. −2B. 2C. −3D. 3
6.已知向量a=(2,0)，b=(sinα, 32)，若向量b在向量a上的投影向量c=(12,0)，则|a+b|=( )
A. 3B. 7C. 3D. 7
7.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，AC=3MC=4NC，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若AB=−2aPQ，则a=( )
A. 2
B. 1
C. −2
D. −1
8.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且|AB−AC|=2 2,|AB+AC|=6 2，点D是△ABC
的边AB上的动点，则DB⋅DC的最小值为( )
A. −1B. −14C. −15D. −78
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=3−4i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. |z|=5
B. 复数1z的虚部为−425
C. 若z对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB，则向量AB对应的复数为−2+5i
D. 若复数z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=19
10.如图，直线y=1与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(|φ|≤π2)的部分图象交于A，B，C三点(点A在y轴上)，若|BC|=π3，则下列说法正确的是( )
A. φ=π6
B. ω=2
C. 将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin(2x+π6)的图象
D. 当x∈(π4,π2]时，f(x)∈[−2,1]
11.△ABC的内心为P，外心为O，重心为G，若|AB|=|AC|=|5，|BC|=6，下列结论正确的是( )
A. △ABC的内切圆半径为r=32B. 6PA+5PB+5PC=0
C. 6OA+5OB+5OC=0D. |OG|=1124
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，若(a+kc)/​/(2b−a)，则实数k等于______．
13.已知函数f(x)= 3sinωx+csax(ω>0)的定义域为(0,2π)，若|f(x)|=2有且仅有两个解，则ω的取值范围为______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知a=4ccsB，则tanCtanB= ______；Sb2的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2A=csBcsC−sinBsinC．
(1)求角A的大小；
(2)已知a=6，c=2 3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=asinxcsx+cs(2x+π6)，且f(π4)=12．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的对称中心和单调递减区间；
(3)若f(θ2−π4)=35,θ∈[−π2,π2]，求cs(2θ+π6)的值．
17.(本小题15分)
2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年，泗县县政府始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我县民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房，计划对其改造，规划图如图中五边形ABCDE所示，其中△BDE为等腰三角形，且∠CDE=11π12，∠BCD=π3，∠CBD=π4，CD=4km，计划沿线段BE修建步行道．
(1)求步行道BE的长度；
(2)现准备将△ABE区域建为绿化带且∠BAE=2π3，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=2sin2x+acsx+1(a∈R)．
(1)求y=f(x)的零点；
(2)设函数g(x)的最大值为ℎ(a)，求ℎ(a)的解析式；
(3)若任意x1∈R，存在x2∈R，使f(x1)+1≥g(x2)，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义这两个向量的“相离度”为d(a,b)=|x1y2−x2y1| x12+y12⋅ x22+y22，容易知道a，b平行的充要条件为d(a,b)=0．
(1)已知向量a=( 5,2)，b=(1,−4 5)，求d(a,b)；
(2)(i)设向量a，b的夹角为θ，证明：d(a,b)=sinθ；
(ii)在△ABC中，AB=4，AC=8，D为BC的中点，且AD=2 7，若AD=2PD，求d(AP,BP)．
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C
9.ACD 10.AD 11.ABD
12.−1613
13.(23,76]
14.13 13
15.解：(1)在△ABC中，A+B+C=π，
则csBcsC−sinBsinC=cs(B+C)=cs(π−A)=−csA，
所以cs2A=−csA，即2cs2A−1=−csA，
解得csA=12或csA=−1，
因为00，即a>0时，csx=−1，g(x)取得最小值为−2−a+3=1−a，令1−a≤0，解得a≥1，所以a≥1；
当a4≤0，即a≤0时，csx=1，g(x)取得最小值为−2+a+3=1+a，令1+a≤0，解得a≤−1，所以a≤−1；
综上实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)．
19.