2024-2025学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(2x−1,−4)，b=(4,4)，若a//b，则实数x=( )
A. −32B. −2C. 52D. 2
2.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m//n，n//α，则m//αB. 若n⊂α，n//β，则α//β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βD. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
3.在△ABC中，∠B=π3，AB=8，AC=7，则BC=( )
A. 5B. 3或5C. 4D. 2或4
4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线GH和MN平行，GH和EF相交
B. 直线GH和MN平行，MN和EF相交
C. 直线GH和MN相交，MN和EF异面
D. 直线GH和EF异面，MN和EF异面
5.如图，某人为测量塔高AB，在河对岸相距s的C，D处分别测得∠BCD=α，∠BCA=β，∠BDC=γ(其中C，D与塔底B在同一水平面内)，则塔高AB=( )
A. s⋅sinγtanβsin(α+γ) B. s⋅sinγsin(α+γ)tanβ
C. s⋅sin(α+γ)sinγtanβ D. s⋅sin(α+γ)sinγsinβ
6.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,a在b方向上的投影向量为b，则|b−λa|(λ∈R)取最小值时λ的值为( )
A. 14B. 12C. 32D. 1
7.如图，圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形，则直线CD与AS所成角的余弦值为( )
A. 74 B. 23
C. 3 714 D. 13314
8.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=3，∠ABC=3π4，若AC⊥BD，则tan∠ABD=( )
A. 23B. 2 23C. 32D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，三棱锥P−ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=PA=6，BC=8，则( )
A. D，F，B，C四点共面
B. 点P与点B到平面DEF的距离相等
C. 直线PB与直线DF垂直
D. 三棱锥F−BED的体积为6
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若sin2AcsB
C. 若b=4，c=3，C=π3，则满足这组条件的三角形有两个
D. 若c2−b2=ab，则C=2B
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. BP的最小值为 32
B. AD1⊥PC
C. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1−ACP的体积不变
D. 以点B为球心， 22为半径的球面与面AB1C的交线长为 63π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为______．
13.如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长为______．
14.若向量a与向量b的夹角为θ，我们定义“a×b”为向量a与向量b的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为|a×b|=|a|⋅|b|sinθ，在△ABC中，|AB+AC|=12，|CA+CB|=2，则|AB×AC|的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AB=2DC，∠BAD=90°，AB=AD=2，E为线段BC的中点，记AB=a，AD=b．
(1)用a，b表示向量AE；
(2)求|AE|的值；
(3)求AE与BD夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是线段PC上的动点．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)若E是PC的中点，求证：PA//平面BDE；
(3)直线BD是否与直线AE互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
17.(本小题12分)
已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且acs(A+C)=(2c−b)cs(B+C)．
(1)求A；
(2)若a=2，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
(3)若b=4，求△ABC面积的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB= 2BB1，底面中心为O，点E在棱AB上，且AE=tAB,(0sin(π2−B)=csB，故B正确；
选项C：根据正弦定理bsinB=csinC，则4sinB=3sinπ3=3 32=2 3⟹sinB=42 3=2 3≈1.154，
由于sinB>1，而正弦函数的值域为[−1,1]，因此这样的角B不存在，满足条件的三角形无解，故C错误；
选项D：由c2−b2=ab和余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，化简得a−2bcsC=b，
结合正弦定理，sinA−2sinBcsC=sinB，又sinA=sin(B+C)，
展开化简得sin(C−B)=sinB，故C−B=B(舍去C−B=π−B)，即C=2B，故D正确．
故选：BD．
根据正弦定理，余弦定理，判别式Δ即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为A1B=BD= 2，当P为A1D的中点时，BP⊥A1D时，此时BP最小，
最小值为 ( 2)2−( 22)2= 62，选项A错误；
对于B，因为AD1⊥A1D，DC⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以AD1⊥DC，
又因为A1D∩DC=D，所以AD1⊥平面A1DC，
又因为PC⊂平面A1DC，所以AD1⊥PC，选项B正确；
对于C，因为CD//AB//A1B1，且CD=AB=A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，
所以A1D/​/B1C，又因为A1D⊄平面ACB1，B1C⊂平面ACB1，所以A1D//平面ACB1，
由此知P到平面ACB1的距离相等，△ACB1的面积是定值，
所以三棱锥B1−ACP的体积是定值，选项C正确；
对于D，因为BD1⊥平面AB1C，设BD1与平面AB1C交于点Q，则所以BQ=13BD1= 33，
设以B为球心， 22为半径的球与平面AB1C交于点G，则BG= 22，所以QG= ( 22)2−( 33)2= 66，
所以G在以Q为圆心， 66为半径的圆上，因为△AB1C是边长为 2的正三角形，其内切圆半径为 2× 32×13= 66，
所以此圆恰好为△AB1C的内切圆，完全落在平面AB1C内，所以交线长为2π× 66= 63π，选项D正确．
故选：BCD．
由P为A1D的中点时，BP最小，求出最小值，判断选项A；
由AD1⊥平面A1DC，得出AD1⊥PC，判断选项B；
由A1D//平面ACB1，得出P到平面ACB1的距离相等，三棱锥B1−ACP的体积是定值，判断选项C；
由以B为球心， 22为半径的球与平面AB1C的交线是△AB1C的内切圆，求出交线长即可判断选项D．
本题考查了空间中的位置关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12.【答案】7 2π
【解析】解：根据题意圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为 2，
可知：圆台的侧面积为π×(3+4)× 2=7 2π．
故答案为：7 2π．
利用圆台的侧面积公式即可求解．
本题考查了圆台的侧面积公式，是基础题．
13.【答案】15
【解析】解：设△ABC中，BC=n−1，AC=n，AB=n+1，可得A