2024-2025学年北京166中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年北京166中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线l1：ax+3y=0与直线l2：3x+ay=0垂直，则实数a为( )
A. −3B. −1C. 0D. 1
2.下列求导运算中，正确的一项是( )
A. (a⋅ex)′=(a+1)exB. (csx)′=sinx
C. ( x)′=2 xxD. (1x)′=−x−2
3.某家新能源电池制造企业拥有两类生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，两条线的日总产量为400支锂电池，质检人员按两类生产线的产量比例采用分层抽样方法随机抽取一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35支，则低能量密度锂电池的日产量为( )
A. 175支B. 225支C. 300支D. 325支
4.(2x2−1x)6的展开式中常数项为( )
A. 60B. −60C. 80D. −80
5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(x)的导函数为f′(x).若函数y=f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增
B. f(x)在区间(−∞,0)上单调递减
C. f(0)f(t)．
22.(本小题10分)
将1至n2这n2个自然数随机填入n×n方格的n2个方格中，每个方格恰填一个数(n≥2,n∈N∗).对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这n2(n−1)个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．
(Ⅰ)若n=2，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；
(Ⅱ)当n=3时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为n+1n；
(Ⅲ)求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于n+1n．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.C
6.B
7.D
8.A
9.B
10.A
11.32 2
12.12 −1e
13.−0.7 4
14.72
15.acsℎ(xa) 2+ 2
16.2+ 2
17.解：(1)因为 f(x)=13x3−x2+1，所以 f′(x)=x2−2x，
所以f(1)=13，f′(1)=−1，
所以所求切线方程为y−13=−(x−1)，即3x+3y−4=0；
(2)设切点坐标为(m,13m3−m2+1)，且f(0)=1，由(1)知f′(m)=m2−2m，
由直线的点斜式方程可得切线方程为 y−(13m3−m2+1)=(m2−2m)(x−m)，
由切线经过点(0,1)，代入可得1−(13m3−m2+1)=(m2−2m)(−m)，
化简得 23m3−m2=0，解得 m=0或32，又f′(0)=0,f′(32)=(32)2−2×32=−34，
结合切线过点(0,1)可得切线的方程为 y=1或3x+4y−4=0．
18.解：(1)从袋中随机不放回地取出3个球，其中恰好有两个黑球的概率为P=C42C31C73=1835；
(2)从袋中每次取一个球，其为黑球的概率为C41C71=47，
则随机有放回地依次取球，每次取一个球，共取三次，
恰有两次取得黑球的概率为P=C32(47)2(37)1=144343；
(3)设第一次取白球为事件A，则第一次取为黑球为A−，第二次取黑球为事件B，
则P(A)=37，P(B|A)=46=23，P(A−)=47，P(B|A−)=36=12，
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=37×23+47×12=47．
19.解：(1)根据题意，由图表的数据，
从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为 1−520=0.75，
估计A地区当年的空气质量状况“优良”的概率为0.75．
(2)根据题意，X表示这三天中A地区空气质量等级为“优良”的天数，
则X∼B(3,0.75)，X可取的值为0、1、2、3，
则P(X=0)=C30⋅(14)3=164，
P(X=1)=C31⋅34×(14)2=964，
P(X=2)=C32⋅14×(34)2=2764，
P(X=3)=C33×(34)3=2764，
所以X的分布列为
故E(X)=3×34=94．
(3)由图知，在抽取的20天中，两地空气质量等级均为“优良”的有13天，
至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的对立事件是3天没有任何一天两地空气质量等级均为“优良”，
所以从抽取的20天中随机抽取3天，至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率
P=1−C73C203=1−7228=221228．
所以至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率为221228．
20.解：(1)根据题目：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
上顶点为M(0,1)，离心率为 22.得b=1，
由椭圆C的离心率为 22，得 a2−b2a= 22，解得a= 2，
所以椭圆C的方程为：x22+y2=1．
(2)证明：由题：过点(−1,−1)的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x+1)−1，k≠2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+k−1x2+2y2=2消去x得：(2k2+1)x2+4k(k−1)x+2(k−1)2−2=0，
Δ=16k2(k−1)2−8(2k2+1)[(k−1)2−1]=8(k2+2k)>0，解得k0，
x1+x2=−4k2−4k2k2+1,x1x2=2k2−4k2k2+1，k1=y1−1x1=k+k−2x1,k2=y2−1x2=k+k−2x2，
因此k1+k2=2k+k−2x1+k−2x2=2k+(k−2)⋅x1+x2x1x2=2，
当直线AB斜率不存在时，由x=−1x2+2y2=2，得y=± 22，
不妨令A(−1, 22),B(−1,− 22)，则k1+k2=1− 220−(−1)+1−(− 22)0−(−1)=2，
所以k1与k2的和为定值2．
21.解：(1)因为f(x)=exln(1+x)，x∈[0,+∞)，
所以f′(x)=exln(1+x)+exx+1，x∈[0,+∞)．
所以g(x)=f′(x)=exln(x+1)+exx+1，
则g′(x)=ex[ln(x+1)+2x+1(x+1)2]，
令m(x)=ln(x+1)+2x+1(x+1)2，
则m′(x)=x2+1(x+1)3，
当x∈[0,+∞)时，m′(x)>0恒成立，则m(x)单调递增，
又m(0)=1>0，所以m(x)>0恒成立，
则g′(x)>0在[0,+∞)上恒成立，
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增；
(2)证明：令ℎ(x)=f(x+t)−f(x)−f(t)，其中x>0，t>0，
可得ℎ′(x)=f′(x+t)−f′(x)，
由(1)可知f′(x)在(0,+∞)上单调递增，且x>0，t>0，
有f′(x+t)>f′(x)，即ℎ′(x)>0恒成立，
即ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
则ℎ(x)>ℎ(0)=0，
即f(x+t)−f(x)−f(t)>0对任意x>0，t>0恒成立．
22.解：(Ⅰ)当n=2时，如下表填数：
同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为
2，43，3，2，可得此填数法的“特征值”为43；
(Ⅱ)当n=3时，如下表填数：
同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为
4，3，43，5，9，95，73，43，74，52，72，75，8，3，83，32，94，32，
可得此填数法的“特征值”为43；
(Ⅲ)不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为C(A)，
考虑含n+1个元素的集合B={n2,n2−1,n2−2,…,n2−n}，
易知其中必有至少两个数处于同一行，设为x1