2023-2024学年北京171中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京171中高二（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知抛物线C的准线方程为y=−1，则抛物线C的标准方程为( )
A. y2=4xB. y2=2xC. x2=4yD. x2=2y
2.(x−2)5的展开式中x的系数是( )
A. 80B. −80C. 160D. −160
3.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是( )
A. 在(−∞,0)上为减函数B. 在x=0处取得最大值
C. 在(4,+∞)上为减函数D. 在x=2处取得最小值
4.设随机变量X的概率分布列为
则P(|X−3|=1)=( )
A. 712B. 512C. 14D. 16
5.某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有( )
A. 13种B. 14种C. 15种D. 16种
6.下列求导的运算中，正确的是( )
A. (lnxx)′=1−lnxx2B. (ln(2x−1))′=12x−1
C. (x3ex)′=3x2exD. (2x+csx)′=2x−sinx
7.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn，若a1+a2+…+an=63，则展开式中系数最大的项是( )
A. 15x2B. 35x3C. 21x3D. 20x3
8.函数f(x)=ex−kx，当x∈(0,+∞)时，f(x)≥0恒成立，则k的取值范围是( )
A. k≤1B. k≤2C. k≤eD. k≤1e
9.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足.若|DF|=|DA|，则C的离心率为( )
A. 2 2B. 2C. 3D. 2
10.定义满足方程f′(x)+f(x)=1的解x0叫做函数f(x)的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是( )
A. f(x)=x2−3xB. f(x)=x+1x
C. f(x)=lnxD. f(x)=ex−sinx+3
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知(1+2x)n的展开式的二项式系数之和为16，则n= ；各项系数之和为 .(用数字作答)
12.已知双曲线x2−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(−3,4)，则双曲线的渐近线方程为 ；|MF1|−|MF2|= ．
13.函数f(x)的定义域为R，f(−1)=2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为 ．
14.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
15.已知函数f(x)=x2−2x+2t，g(x)=ex−t.给出下列四个结论：
①当t=0时，函数y=f(x)g(x)有最小值；
②∃t∈R，使得函数y=f(x)g(x)在区间[1,+∞)上单调递增；
③∃t∈R，使得函数y=f(x)+g(x)没有最小值；
④∃t∈R，使得方程f(x)+g(x)=0有两个根且两根之和小于2．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−x2+ax+b，若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1．
(1)求a，b的值；
(2)求函数y=f(x)的单调区间和极值；
(3)求函数y=f(x)在[−2,2]上的最大值、最小值．
17.(本小题14分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1．
(Ⅰ)求证：BC1//平面AB1D1；
(Ⅱ)求平面AB1D1与平面ABCD夹角的余弦值；
(Ⅲ)求点B到平面AB1D1的距离．
18.(本小题14分)
某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格(元/管)和市场份额(指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重)如下表：
(Ⅰ)从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率;
(Ⅱ)依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管．
(ⅰ)求n的值;
(ⅱ)从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测.记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望．
(Ⅲ)品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额.原有5个品牌的牙育销售价格不变，所占市场份额之比不变.设本月牙育的平均销售价为每管μ1元，下月牙膏的平均销售价为每管μ2元，比较μ1，μ2的大小.(只需写出结论)
19.(本小题14分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(2,0)，离心率为 22．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点T(t,0)的直线l与椭圆E有两个不同的交点A，B(均不与点M重合)，若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=alnx+xex−1，其中a∈R．
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当a>0时，判断f(x)的零点个数，并加以证明；
(Ⅲ)当a<0时，证明：存在实数m，使f(x)≥m恒成立．
21.(本小题15分)
已知项数为k(k∈N∗,k≥3)的有穷数列{an}满足如下两个性质，则称数列{an}具有性质P：
①1≤a1②对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，ajai与ajai至少有一个是数列{an}中的项．
(Ⅰ)分别判断数列1，2，4，16和2，4，8，16是否具有性质P，并说明理由；
(Ⅱ)若数列{an}具有性质P，求证：akk=(a1a2……ak)2；
(Ⅲ)若数列{an}具有性质P，且{an}不是等比数列，求k的值．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.C
6.A
7.D
8.C
9.B
10.D
11.4
81

12.y=± 2x
−2

13.(−1,+∞)
14.36
15.①②④
16.解：(1)由题意可知：f(x)=x3−x2+ax+b，则f′(x)=3x2−2x+a，
因为曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1，
则f′(0)=af(0)=b，即f′(0)=a=−1f(0)=b=1，解得a=−1b=1．
(2)因为f(x)=x3−x2−x+1，f′(x)=3x2−2x−1，
当x∈(−∞,−13)∪(1,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(−13,1)时，f′(x)<0；
可知函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−13)和(1,+∞)；函数f(x)的单调递减区间为(−13,1)，
f(x)的极大值为f(−13)=3227，f(x)的极小值为f(1)=0．
(3)函数y=f(x)在[−2,−13),(1,2]上单调递增，在[−13,1]上单调递减，
且f(−2)=−9，f(2)=3，f(−13)=3227,f(1)=0，
函数y=f(x)在[−2,2]上的最大值f(2)=3，最小值f(−2)=−9．
17.(Ⅰ)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，D1C1//AB,D1C1=AB，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以AD1/​/BC1，又BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，
故BC 1//平面AB1D1．
(Ⅱ)解：如图所示：以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
故D(0,0,0)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，AD1=(−1,0,1)，AB1=(0,2,1)，
设平面AD1B1的法向量为n1=(x,y,z)，则n1⋅AD1=−x+z=0n1⋅AB1=2y+z=0,
取y=1得到z=−2，x=−2，即n1=(−2,1,−2)，
易知平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1)，
则cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=−2 9×1=−23，
根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面AD1B1与平面ABCD所成角的余弦值为23．
(Ⅲ)由(Ⅱ)B(1，2，0)，AB=(0,2,0)，
故B到平面AD1B1的距离为d=|n1⋅AB|n1||=2 9=23．
18.解：(Ⅰ)由题意可知，这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，
估计其销售价格低于25元的概率为0.15+0.25+0.2=0.6；
(Ⅱ)(ⅰ)由题意，品牌A的牙膏抽取了20×15%=3管，
品牌B的牙膏抽取了20×10%=2管，
所以n=3+2=5；
(ⅱ)由题意，X的可能取值为0，1，2，
所以P(X=0)=C20C33C53=110，
P(X=1)=C21C32C53=35，
P(X=2)=C22C31C53=310，
故X的分布列为：
所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65；
(Ⅲ)μ1=15×0.15+25×0.1+5×0.25+20×0.2+35×0.3=20.5，
μ2=15×320+a+25×220+a+5×520+a+20×420+a+35×620+a+25×a20+a=410+25a20+a，
其中3：2：5：4：6：a为A，B，C，D，E，F6个品牌的牙膏所占市场份额之比，
则μ2−μ1=410+25a20+a−20.5=4.5a20+a>0，
所以μ1<μ2．
19.解：(1)因为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(2,0)，离心率为 22，
所以a=2，c=b= 2，
所以椭圆E的方程x24+y22=1．
(2)设直线l的方程为：x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=my+tx2+2y2−4=0，得(m2+2)y2+2mty+t2−4=0，
Δ=(2mt)2−4(m2+2)(t2−4)>0，
y1+y2=−2mtm2+2，y1y2=t2−4m2+2，
x1+x2=m(y1+y2)+2t=4t2+m2，x1x2=(my1+t)(my2+t)
=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=m2(t2−4)2+m2−2m2t22+m2+t2=2t2−4m22+m2，
因为以线段AB为直径的圆恒过点M，
所以MA⋅MB=0，即(x1−2)(x2−2)+y1y2=0，
所以x1x2−2(x1+x2)+4+y1y2=0，即2t2−4m22+m2−2×4t2+m2+4+t2−4m2+2=0，
即3t2−8t+4=0，解得t=23或t=2(舍)，
所以t=23．
20.解：(Ⅰ)a=0时，f(x)=xex−1，f′(x)=ex(x+1)，
故f(1)=e−1，f′(1)=2e，故切线方程为：y−(e−1)=2e(x−1)，
即2ex−y−e−1=0；
(Ⅱ)存在一个零点，理由：
f′(x)=ax+ex(x+1)，(a>0,x>0)，
显然f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上是增函数，
又x→0时，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，
故存在唯一的零点t>0，使得f(t)=0；
(Ⅲ)f′(x)=ax+ex(x+1)，(a<0,x>0)，
令g(x)=f′(x)=ax+ex(x+1)，
g′(x)=−ax2+ex(x+2)>0，故f′(x)是增函数，
而当x→0时，f′(x)→−∞，x→+∞时，f′(x)→+∞，
故存在x0>0，使得f′(x0)=0，
且x∈(0,x0)时，f′(x)<0，x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，
故x=x0是f(x)的极小值点，也是最小值点，
存在实数m≤f(x0)，使f(x)≥m恒成立．
21.解：(Ⅰ)数列1，2，4，16不具有性质P，因为a2=2和a4=16，a4a2=8，a2a4=32，而8，32不在数列{an}中；
2，4，8，16不具有性质P，因为1616=1，16×16=256都不是数列{an}中的项；
(Ⅱ)证明：因为akak=1∈M，所以akak∉M，即1∈M，故a1=1，
设2≤i≤k，因为ai>1，akai>ak∉M，所以akai∈M，
则得1=akak因为1≤a1故akak=a1，akak−1=a2，akak−2=a3，…，aka2=ak−1，aka1=ak，
累乘得：akk=(akak−1ak−2…a2a1)(a1a2a3…ak−1ak)，
故akk=(a1a2……ak)2；
(Ⅲ)当k=3时，由(Ⅱ)，a1=1，a3a2=a2=a2a1，
与数列{an}不是等比数列矛盾，不合题意；
当k=4时，存在数列符合题意，例如数列1，2，8，16，故k可以为4；
当k≥5时，由(Ⅱ)akak−i=ai+1(0≤i≤k−1)，①
当3≤i≤k−1时，ak−1ai>ak−1a2=ak，所以ak−1ai∉M，ak−1ai∈M，
又1=ak−1ak−11=a1所以ak−1ak−1=a1，ak−1ak−2=a2，…，ak−1a3=ak−3，
所以ak−1ak−i=ai(1≤i≤k−3)，
因为k≥5，所以ak−1ak−1=a1，ak−1ak−2=a2，
所以ak−1a1=ak−1，ak−1a2=ak−2，
所以ak−1ak−i=ai(1≤i≤k−1)②
由①②两式相除可得akak−1=ai+1ai(1≤i≤k−1)与数列{an}不是等比数列矛盾，不合题意．
综上可得，k=4． X
1
2
3
4
P
13
m
14
16
牙膏品牌
A
B
C
D
E
销售价格
15
25
5
20
35
市场份额
15%
10%
25%
20%
30%
X
0
1
2
P
110
35
310