浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023—2024学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023—2024学年下学期八年级期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是
A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了40名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表：
则本次调查中视力的众数和中位数分别是
A．4.8和4.9B．4.9和4.9C．4.8和4.8D．4.8和4.85
5．（3分）用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是
A．B．C．D．
6．（3分）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在中，，，，，，则的面积是
A．B．C．D．
9．（3分）如图正方形中，是上一点，若点是中点，作交延长线于，连结，取中点，连结，则与的关系为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积
A．四边形B．四边形C．四边形D．四边形
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，它是 边形．
12．（3分）甲、乙、丙三位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是3.3，2.8，4.2，则成绩最稳定的同学是 ．
13．（3分）一元二次方程有实数根，则的取值范围是
14．（3分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ．
15．（3分）如图，在中，，点是中点，作于点，已知，，则的长为 ．
16．（3分）如图在矩形中，．将矩形沿着过点的直线翻折，直线与射线交于点，点的对应点为点．若，，若是直角三角形时，则的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，17题6分，18题8分，19题6分，20题10分，21题10分，22题8分，23题12分，24题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算
（1）；（2）．
18．（8分）解方程．
（1）；（2）．
19．（6分）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是 ，并补全条形统计图；
（2）本次捐款金额的众数为 元，中位数为 元；
（3）若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？
20．（10分）如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
21．（10分）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕，亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”共间组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱，某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表：
（1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，则购进“宸宸” 个，购进“琮琮” 个；
（2）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元．
22．（8分）在的方格纸中，请按下列要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）请在格点图1中画一个平行四边形，使得其面积为4；
（2）请在格点图2中画一个矩形，使得其面积为6．
23．（12分）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求和的长．
24．（12分）正方形，为射线上一点，过作，点在直线上方区域，且，连接，
（1）如图1，当点在上时，求的度数；
（2）如图2，在（1）在条件下，连结交于点，连结，若，，求的面积；
（3）若，，连结交射线于点，则 （直接写出结果）
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
【解答】解：、与不能合并，所以选项错误；
、原式，所以选项错误；
、原式，所以选项正确；
、原式，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是
A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．
【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选：．
【点评】本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解．
4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了40名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表：
则本次调查中视力的众数和中位数分别是
A．4.8和4.9B．4.9和4.9C．4.8和4.8D．4.8和4.85
【分析】根据众数，中位数的概念及计算方法即可求解．
【解答】解：视力为4.8的出现人数为12，最多，
众数是4.8，
样本容量为40，
中位数是第20，21名同学的视力数据的一半，
中位数是，
众数是4.8，中位数是4.9，
故选：．
【点评】本题主要考查调查与统计中众数与中位数的概念及计算方法，掌握以上相关知识的概念及计算方法是解题的关键．
5．（3分）用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是
A．B．C．D．
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，即．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．（3分）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
【解答】解：、，故选项不符合条件；
、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故选项不符合题意；
、不能判断出任何一组对边是平行的，故选项不符合题意；
、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7．（3分）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案．
【解答】解：连接、两点，过点作于点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
△的边上的高与△的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故选：．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．
8．（3分）如图，在中，，，，，，则的面积是
A．B．C．D．
【分析】在四边形中，由四边形的内角和为及已知条件求出，根据平行四边形的性质求出，利用直角三角形的性质求出，进而求出面积即可．
【解答】解：，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积是．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、多边形的内角和公式、解直角三角形的应用等知识点，明确相关性质及定理是解题的关键．
9．（3分）如图正方形中，是上一点，若点是中点，作交延长线于，连结，取中点，连结，则与的关系为
A．B．C．D．
【分析】取中点，由正方形，是中点，，中点，得，，，得，得，由中点，得，即可得．
【解答】解：取中点，
由正方形，是中点，，中点，
得，，，
得，
得，
由中点，
得，即．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方形中线段的数量关系，解题关键是构造中位线．
10．（3分）如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积
A．四边形B．四边形C．四边形D．四边形
【分析】连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答．
【解答】解：连接，，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的面积的面积，
，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
的面积的面积，
若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积，
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，它是 十 边形．
【分析】多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：一个多边形的每个外角都等于，
多边形的边数为．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是．
12．（3分）甲、乙、丙三位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是3.3，2.8，4.2，则成绩最稳定的同学是 乙 ．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：，，，
，
成绩比较稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（3分）一元二次方程有实数根，则的取值范围是 且
【分析】由一元二次方程有实数根，则，即，且△，即△，然后解两个不等式得到的取值范围．
【解答】解：一元二次方程有实数根，
即，且△，即有△，解得，
的取值范围是且．
故答案为且．
【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
14．（3分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 108 ．
【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为、且，则，，，先证明，再证明即可得到答案．
【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、，且，
由题意可知：，，，
正方形的边长为6，
，
，
故答案为：108．
【点评】本题考查正方形的面积、勾股定理，乘法公式，能利用全等的直角三角形的两条直角边表示面积是解决本题的关键．
15．（3分）如图，在中，，点是中点，作于点，已知，，则的长为 ．
【分析】连接，由平行四边形的性质得，，进而求出，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积公式求出的长即可．
【解答】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
16．（3分）如图在矩形中，．将矩形沿着过点的直线翻折，直线与射线交于点，点的对应点为点．若，，若是直角三角形时，则的长为 3或27 ．
【分析】分两种情况讨论：①直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，②直线与射线交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，然后利用折叠的性质和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：分两种情况：
①直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图，
四边形是矩形，
，，，
设，
由折叠可知：，，，
，，
，，
在中，
根据勾股定理，得，
即，
，
；
②直线与射线交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图，
由折叠可知：，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为3或27，
故答案为：3或27．
【点评】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，矩形的性质，利用分类讨论思想是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，17题6分，18题8分，19题6分，20题10分，21题10分，22题8分，23题12分，24题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算算术平方根，乘方运算，把二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2）先算乘法，去绝对值，再合并即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18．（8分）解方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
或，
，；
（2），
△，
，
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．（6分）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是 50 ，并补全条形统计图；
（2）本次捐款金额的众数为 元，中位数为 元；
（3）若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？
【分析】（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案；
（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可．
【解答】解：（1）（人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
（3）样本平均数为（元人），
所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为（元，
答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
20．（10分）如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
【分析】（1）先证，再证出，从而得出，结合，即可判定四边形是平行四边形；
（2）过点作，交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用平行四边形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
，
平行四边形的面积．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用证出解答．
21．（10分）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕，亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”共间组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱，某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表：
（1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，则购进“宸宸” 20 个，购进“琮琮” 个；
（2）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元．
【分析】（1）设购进个“宸宸”， 个“琮琮”，利用总价单价数量，结合该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售价下降元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进个“宸宸”， 个“琮琮”，
根据题意得：，
解得：．
答：购进20个“宸宸”，30个“琮琮”；
（2）设销售价下降元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
（元．
答：销售价定为每个71元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（8分）在的方格纸中，请按下列要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）请在格点图1中画一个平行四边形，使得其面积为4；
（2）请在格点图2中画一个矩形，使得其面积为6．
【分析】（1）作一个底为1，高为4的平行四边形即可；
（2）作一个长、宽分别为，的矩形即可．
【解答】解：（1）如图，四边形即为所求；
（2）如图2中，四边形即为所求．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题．
23．（12分）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求和的长．
【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，设，则，所以，，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：，平分，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
．
和的长分别为8和．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
24．（12分）正方形，为射线上一点，过作，点在直线上方区域，且，连接，
（1）如图1，当点在上时，求的度数；
（2）如图2，在（1）在条件下，连结交于点，连结，若，，求的面积；
（3）若，，连结交射线于点，则 （直接写出结果）
【分析】（1）在延长线上截取，构造，则，，然后由为等腰直角三角形，即可求出的度数．
（2）在延长线上截取，证明，，设正方形边长为，利用和，构造关于的方程，求出即可由求出．
（3）通过作构造平行四边形，由（1）可得的长度，然后证明求出的长度，再由求出答案．
【解答】解：（1）如图，延长，使，连接，，．
在正方形中，，．
在和中，，
，，
，．
为等腰直角三角形．
．
故的度数为．
（2）如图，在延长线上截取．由题意知，是等腰直角三角形，．
在和中，，，
．
，．
在和中，，，
，
．
在中，由勾股定理得，，
又，
，
设正方形边长为．
即，解得．
．
（3）如图，作交于．
由（1）知，，，则．
根据题意，正方形边长为10，长度为6，．
四边形是平行四边形．
，．
，，
，
．
在和中，，，，
，
．
．
故答案为：．
【点评】本题是正方形的综合题，涉及等腰直角三角形和平行四边形的性质，正方形半角模型的应用，三角形全等的判定和性质．通过正方形半角模型构造三角形全等是解答本题难点．视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
3
4
12
10
11
吉祥物
宸宸
琮琮
进货价（元个）
59
66
销售价（元个）
79
88
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
A
D
D
B
A
B
B
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
3
4
12
10
11
吉祥物
宸宸
琮琮
进货价（元个）
59
66
销售价（元个）
79
88