云南省迪庆藏族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份云南省迪庆藏族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知函数f，下列说法中错误的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ）
A. B. C. D.
2.已知圆锥的高为16 cm,底面积为512 cm2,平行于圆锥底面的截面面积为50 cm2,则截面与底面的距离为( )
A. 5 cm B. 10 cm C. 11 cm D. 25 cm
3.若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b⊂α,则a与b的位置关系一定是( )
A. 相交 B. 平行C. 异面 D. 相交或异面
4.已知向量a＝(2cs φ，2sin φ)，φ∈，b＝(0，－1)，则向量a与b的夹角为( )
A. －φB. ＋φC. φ－D. φ
5.已知函数f（x）＝的零点在区间（a，a＋1）内，则整数a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图)，已知噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0,0≤φ0且a，b，c，x≠1)，则lgx(abc)等于( )
A. B. C. D.
8.抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）



D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中错误的有( )
A. 已知a→=1,2，b→=1,1，且a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是-53,+∞
B. 已知向量e1→=2,-3，e2→=12,-34，则e1→,e2→不能作为平面的一个基底
C. 若a→≠0→，a→⋅b→=a→⋅c→，则b→=c→
D. O是△ABC所在平面内一点，且满足OA→⋅AB→AB→+CA→CA→=OB→⋅BA→BA→+CB→CB→=OC→⋅CA→CA→+BC→BC→=0，则O是△ABC的内心
10.已知函数f(x)＝＋cs x，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)在上单调递减B. 函数f(x)在(0，π]上的最小值为
C. 函数f(x)在(0,2π)上只有2个零点D. 函数f(x)在上单调递增
11.给出下列命题，其中正确的命题有( )
A. 若ftanx=sin2x，则f-1=-1
B. 方程sinx=lgx有三个实数根
C. 函数y=1-2csx-2sin2x的值域是-32，3
D. 把y=csx+csπ3+x写成一个角的正弦形式y=3sinπ3+x
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________．
13.已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______．
14.在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ．
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知.
（1）解关于的不等式；
（2）若不等式的解集为，求实数的值.
16.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的定义域为，求的取值范围.
17.2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求a，b的值；
（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18.现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，.
（1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；
（2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值；
（3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得.
19.已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，点为的重心.
（1）求证：；
（2）经过点及直线作截四棱锥的截面，设截面平面，请画出直线，判断直线与平面的位置关系，并进行证明；
（3）求二面角的余弦值.
一、单选题
1.【答案】A
【解析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，
则，，
所以，即．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】设截面与底面的距离为h cm,则16-h162=50512,解得h=11.
3.【答案】D
【解析】若A∈b,则a与b相交;若A∉b,则a与b异面.
4.【答案】A
【解析】以坐标原点O为起点，画出向量a与b，如图所示，所以a与b的夹角为－φ.
5.【答案】B
【解析】f（x）＝在上单调递增，
且
∴函数f（x）＝在上存在唯一的零点，
∴，
故选：B.
6.【答案】D
【解析】由题意，A＝1，φ＝且T＝＝2，则ω＝π，
所以y＝sin＝cs πx，则用来降噪的声波曲线的解析式为y＝－cs πx.
7.【答案】D
【解析】由题意得x＝a4＝b2＝c，
即a＝x14，b＝x12，c＝x，
所以abc＝，即lgx(abc)＝.
8.【答案】C
【解析】 抛物线的开口向下，
a0且2(1+λ)≠2+λ，
解得λ>-53且λ≠0，故A选项错误；
对B选项，e1→=4e2→，则e1→,e2→不能作为平面的一个基底，故B选项正确；
对C选项，因为向量a→⋅b→=a→⋅c→,a→⋅b→cs=a→⋅c→csa→,c→，
所以不一定满足b→=c→，故C选项错误；
对D选项，因为OA→⋅AB→AB→+CA→CA→=OB→⋅BA→BA→+CB→CB→=OC→⋅CA→CA→+BC→BC→=0，
由OA→⋅AB→AB→+CA→CA→=0可知，OA→垂直与角A的外角平分线，所以点O在角A的平分线上，
同理点O在角B的平分线上，点O在角C的平分线上，所以O是△ABC的内心，
故D选项正确.
故选：AC.
10.【答案】AC
【解析】因为函数y＝和y＝cs x在上都单调递减，所以函数f(x)在上单调递减，故A正确，D不正确；同理可得函数f(x)在(0，π)上单调递减，所以函数f(x)在(0，π]上的最小值为f(π)＝－1，故B不正确；分别作出函数y＝－和y＝cs x在(0,2π)上的图象，如图所示，由图可知，两函数图象在(0,2π)上只有2个交点，即方程＋cs x＝0在(0,2π)上只有2个实根，所以函数f(x)在(0,2π)上只有2个零点，故C正确，故选AC.
11.【答案】ABC
【解析】对于A，令tanx=-1，所以x=3π4+kπ，k∈Z，所以2x=3π2+2kπ，k∈Z，所以sin2x=-1，故A正确；
对B，画出函数y=sinx与y=lgx的图象如下，当x=10时，lg10=1，x>10时，lgx>1， 可知函数y=sinx与函数y=lgx的图象有三个交点，故方程sinx=lgx有三个实数根，故B正确；
对C，y=1-2csx-2sin2x=2cs2x-2csx-1，令t=csx，t∈-1，1，则y=2t2-2t-1=2t-122-32，当t=12时，y取最小值-32，当t=-1时，y取最大值3，所以函数的值域是-32，3，故C正确；
对D，y=csx+csπ3+x=csx+12csx+32sinx=32csx-32sinx=3sinπ3-x，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
12.【答案】
【解析】是奇函数，
，
，
∴，
，
展开整理得，
所以，解得．
当时，，
由，得，
解得或，即定义域为或，
定义域关于原点对称，且满足，
成立．
13.【答案】9
【解析】因为，所以平分．
又因为，所以在中由，则，
化简得，即，所以．
因为，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．
故答案为9．
14.【答案】
【解析】设向量对应的复数是，则，
所以对应的复数是：
，
，
所以的坐标是，
故答案为：.
四、解答题
15.【答案】解：（1）因为，由，即
即，，
所以不等式的解集为.
（2）因为不等式的解集为，所以的解集为，即的解集为，
所以是方程的两根，
则，
所以.
16.【答案】解：（1）因为，所以，
故即，即，故或.
所以解集为；
（2）因为的定义域为，所以对任意恒成立，
当显然成立.
当时有,解得,
综上取值范围是.
17.【答案】解：（1）由图可知a+b=0.036,
所以
（2）成绩落在内的频率为：，
成绩落在内的频率为：，
设第80百分位数为m，则，
所以，所以晋级分数线划为78分合理．
（3）因为，所以．
又因为，所以，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
方差：．
18.【答案】解：（1）当时,
，
因为，
所以“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系.
（2）2维形态复数，3维形态复数，
依题意得，即，所以，
由，得或①,
由，得或②,
由于方程①②同时成立，所以，解得.
所以.
（3）由，得,
由(2)可得,即.
因为,所以.
因为,
由(1)可得,
所以.
由(2)可得,即.
因为,所以,
所以,
又因为,所以,所以,
即，
所以存在有理数,使得.
19.【答案】解：（1）连接，，连接，四边形为正方形，
，且为中点，又，，
，平面，且，
平面，而平面，
；
（2）在平面内，过点作的平行线，即为所求的直线，且平面．
证明如下：，，
，则与确定唯一平面；则所画直线即为截面与平面的交线，
平面，平面，
平面；
（3）由（1）知平面，平面，
，过点作，为垂足，连接，
，，平面,
平面，平面，
，且平面,平面,
为二面角的平面角，
由题意可知四棱锥为正四棱锥，平面，故平面，平面，故,
，，
，，
根据等面积法知；则，
在直角中，有，，
二面角的余弦值为．