2025年陕西省西安市第八十五中学九年级中考三模数学试题

这是一份2025年陕西省西安市第八十五中学九年级中考三模数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．我市某天的最高气温是，最低气温是零下，则当天的温差是（ ）
A．B．C．D．
2．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B．C．D．
3．如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
（第3题图） （第5题图） （第6题图） （第7题图）
6．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ）
A．2B．C．4D．
8．二次函数的图象过点，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解＝ ．
10．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ．

（第10题图） （第12题图） （第13题图）
11．去年嫦娥六号探测器再次奔赴月球，将实现世界首次月球背面南极艾特肯盆地采样返回，月球距离地球384000千米．其中384000用科学记数法表示为 ．
12．如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点，点与点关于轴对称，连接，若的面积为，则的值为 ．
13．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分）
14．（本题满分5分）
计算：
15．（本题满分5分）
解不等式组：
16．（本题满分5分）
化简：．
17．（本题满分5分）
如图，在中，点D为边的中点，请用直尺和圆规在边上求作一点E，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（本题满分5分）
如图，，点在上，，且，求证：．

19．（本题满分5分）
端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元?
20．（本题满分5分）
我国四大传统节日分别是春节、清明、端午、中秋节．传统节日是传承优秀历史文化的重要载体，既使得人们在节日中增长知识，受到教益，又有助于彰显文化、弘扬美德、陶冶情操、弘扬传统．因此，端午节前，实验中学举行“传经典·乐端午”系列活动，李老师将活动设计的项目制成卡片（除正面不同外，其余均相同），如图所示，现将这些卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上．
(1)若小宇从中随机抽取一张卡片，他抽到“D．放纸鸢”的概率是 ；
(2)若小雅从中随机抽取一张卡片，记下活动项目后，放回，洗匀，然后小辉再随机抽取一张卡片，记下活动项目．请利用画树状图或列表的方法，求他们两人抽取的卡片上的活动项目相同的概率．
21．（本题满分6分）
汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，
以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF
平行的观光平台BC．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m，
DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求山顶点D到水平地面的距离DF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，＝1.41）
22．（本题满分7分）
“自古岭北不植茶，唯有泾阳出砖茶”，茯茶镇以泾阳茯茶文化为依托，打造茯茶文化产业园，形成茯茶文化、关中民俗文化、关中生活文化为一体的特色小镇，该小镇某茶具店老板计划购进A，B两种茶具共50套，下面是这两种茶具的进价和售价．如果将这些茶具全部销售完可获得的总利润为y元，设购买A种茶具x套．
(1)请你写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果该老板购买A种茶具用了1920元，那么售完这些茶具，他一共可以获得的总利润为多少元？
23．（本题满分7分）
为了提高学生的动手能力，学校提倡学生在家积极参与家务劳动．为了解学生周末在家的家务劳动情况，学校随机调查了部分同学某个周末的劳动时间，并用得到的数据绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)抽查的学生劳动时间的中位数是 ，平均数是 ；
(3)假如该校有学生900人，请估算周末家务劳动时间不低于1.5小时的学生人数．
24．（本题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，DE＝4，求⊙O的半径．
25．（本题满分8分）
如图是一块铁皮材料的示意图，由抛物线和矩形构成．矩形的长是8，宽是2，抛物线的顶点P在的垂直平分线上，且到的距离为4．以中点O为原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．现要在该铁皮材料中截取矩形，小华设计了两种方案：
方案一：如图1，矩形的面积记为，点A、D在抛物线上，点B、C在上，；
方案二：如图2，矩形的面积记为，点、 在抛物线上，点、在上，．
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)分别求出、，并比较、的大小．
26．（本题满分10分）
（1）问题提出：如图1，在半圆O中，直径，C为上一点，连接，，则的最大面积为_________；
（2）问题探究：如图2，在中，半径，，M为上的一点，过点M作一直线，与的夹角成（即），与分别交于A，C两点，求四边形的最大面积；
（3）问题解决：如图3，有一块半圆形的板材，工人师傅需要将板材进行切割．根据要求需要在半径上选取一点C，从点C沿着线段进行切割，与的夹角为（即），然后在半径上选取一点D，从点D沿着线段进行切割，且与的夹角也为，即，同时，在切割的过程中始终保持所对的圆心角为，已知直径的长为，记切割掉的图形与图形的面积之和为S，S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

A茶具
B茶具
进价/元
80
90
售价/元
120
150
参考答案
1．A
【分析】温差等于最高温度减去最低温度，列式子计算即可．
【详解】∵最高气温是，最低气温是零下，
∴这一天的温差为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了温差，实质是有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则，准确把减法转化为加法是解题的关键．
2．D
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.是中心对称图形，
故选：D
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．C
【分析】此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理．设直线与交于点，与交于点，先由对顶角的性质得，再由等边三角形的性质得，然后由三角形的外角定理可求出，最后再根据直线可得的度数．
【详解】解：设直线与交于点，与交于点，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，
为的一个外角，
，
直线，
．
故选：C．
4．D
【分析】根据积的乘方来判定A，根据同底数幂除法的运算法则来求解B，根据去括号法则来判定C，根据积的乘方的运算法则来判定D．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，此项不符合题意；
B、，故原选项计算错误，此项不符合题意；
C、，故原选项计算错误，此项不符合题意；
D、，故原选项计算正确，此项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂除法的运算法则，去括号法则，积的乘方的运算法则，是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．根据一次函数与一元一次不等式的关系即可直接得出答案．
【详解】解：由一次函数的图象经过两点，
根据图象可知：关于的不等式的解集是，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数．
【详解】解：在矩形中，，，，
∵平分，
，
，
∴，
．
，
，又，
为等边三角形，
，
∴，
∵，
∴，
．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到的度数，根据垂径定理得到的长度，即可求出半径的长度．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
8．C
【分析】本题主要考查了二次函数与轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系．依据题意，将代入解析式求得值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程为实数）在的范围内有实数根可以看作与函数有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出的取值范围即可．
【详解】解：由题意，将代入二次函数，
．
．
抛物线的解析式为．
一元二次方程有实数根可以看作与函数有交点．
方程在的范围内有实数根，
又当时，；当时，；当时，，
．
．
故选：C．
9．
【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．
【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵转角为，
∴，
∵过点，的两条切线相交于点，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：384000用科学记数法表示为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，平行线分线段成比例，如图，连接，过作轴于，而轴于，证明，设，则，再利用面积列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作轴于，而轴于，
∴，而，的面积为8，
∴，，
设，
∴，
∴
∴，
解得：，
故答案为：
13．/
【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共线，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
四点共线，
恒等于，
点P在正方形对角线上运动，
，
，
，
，
为定值，
当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，
，
的周长的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
14．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、乘方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：2sin60°﹣（）3﹣|1|
＝2﹣（1）
1
＝．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
15．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：由，
解得；
由，
解得，
不等式组的解集是：．
16．
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则进行通分、约分是解题关键．
【详解】解：原式
17．见解析
【分析】本题考查尺规作图-作垂线，作的中点E，利用三角形的中线将该三角形的面积平分，可得到．
【详解】解：如图，点E即为所求作（答案不唯一）：
18．见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定．利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽取的卡片上的活动项目相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，小宇从中随机抽取一张卡片，他抽到“D．放纸鸢”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人抽取的卡片上的活动项目相同的结果有4种，
∴两人抽取的卡片上的活动项目相同的概率为．
20．5元．
【分析】设每个肉粽元，则每个素粽元，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设每个肉粽元，则每个素粽元，
依题意得：，
解得：．
答：每个肉粽5元．
21．灯柱的高度约为
【详解】解：如图，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G，
由题意，得，，
∵，
∴．
在中，，
∴．
设，
∵，
∴．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴灯柱的高度约为．
22．(1)
(2)他一共可以获得的总利润为2520元
【分析】本题主要考查一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）根据题意找出等量关系式即可得出答案；
（2）先求出购买茶具的数量，再代入（1）中的函数表达式即可得出答案．
【详解】（1）解：由已知可得，
；
（2）解：购买茶具的数量（套），
（元），
答：他一共可以获得的总利润为2520元．
23．(1)见解析
(2)中位数小时，平均数小时
(3)人
【分析】此题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点、平均数、中位数的意义及求法，样本估计总体是统计常用的方法．
（1）求出家务劳动小时的学生人数即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、平均数的意义和求法即可求解；
（3）用样本中周末家务劳动时间不低于小时的占比，估计总体的占比，根据总人数求出周末家务劳动时间不低于小时的学生人数．
【详解】（1）解：本次抽样调查学的人数是（人），
做家务的时间是小时的学生有：（人），补全条形统计图如图所示：
（2）将家务劳动时间从小到大排列处在第、位的数都是小时，因此中位数是小时，
抽查的学生劳动时间的平均数是×（小时）；
（3）根据题意得：
（人），
答：周末家务劳动时间不低于小时的学生人数大约有人．
24．（1）见解析；（2）⊙O的半径为5
【分析】（1）由题意连接OD，结合角平分线性质证明∠ODE=90°即可；
（2）根据题意作OP⊥AE，利用垂径定理结合勾股定理进行分析即可得出答案.
【详解】解：（1） 连接OD，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠DAB
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA
∴∠EAD=∠ODA，
∴AE∥OD
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90º，
∴∠ODE=90º
又∵OD是半径（或D是半径的外端点），
∴DE是⊙O的切线
（2）作OP⊥AE，由垂径定理，
∴AP= AC=3
∠EPO=90º，∠ODE=∠DEP=90º，
∴四边形EPOD是矩形，
∴OP=DE=4
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP2+OP2=OA2
∴OA=5，故⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
25．(1)
(2)，，
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，实数的大小比较等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，实数的大小比较是解题的关键．
（1）由题意知，，，，设抛物线的函数表达式为，将代入，得，可求，进而可得抛物线的函数表达式；
（2）由题意知轴，轴，如图1，设分别交x轴于点G、H，由，可得点D的横坐标为2，当时，，则，，根据，计算求解即可；如图2，设、分别交x轴于点、，由，可得，当时，，可求，，则，，根据，计算求解即可，最后比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意知轴，轴，
如图1，设分别交x轴于点G、H，

∵，
∴点D的横坐标为2，
当时，，
∴，
∴，
∴；
如图2，设、分别交x轴于点、，

∵，
∴，
当时，，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（1）8 （2）54 （3）存在；
【分析】（1）过点C作于点G，的面积，求出的最大值，即得答案；
（2）过点A作于点H，过点C作于点N，将四边形的面积通过计算转化为，即可通过求的最大值来求解答案；
（3）作过E，C，O三点的圆弧，设该弧所在的圆心为M，取的中点为，与交于点，连接，以为斜边构造直角三角形，使，设与交于点G，将S转化为，再通过计算和的最大值，即可求的答案．
【详解】解：（1）过点C作于点G，如图，

则的面积，
C为上一点，
，
当时，的面积取得最大值，
直径，
，
的最大面积为；
故答案为：8．
（2）过点A作于点H，过点C作于点N，如图，

则，
，，
，
四边形的面积
，
为中的弦，
当经过圆心时，取得最大值，即为圆的直径，
的最大值为，
四边形的最大面积．
（3）S存在最小值，最小值为．理由：
作过E，C，O三点的圆弧，设该弧所在的圆心为M，取的中点为，与交于点，连接，以为斜边构造直角三角形，使，设与交于点G，如图，
，
，
，
，
的中点为，
，，，
四边形为矩形，
，
，
当点C与的中点重合时，满足的面积最大，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
的面积的最大值
的面积

，
同理可得：的面积的最大值为，
在切割的过程中始终保持所对的圆心角为，
，
当和的面积取得最大值时，切割掉的图形与图形的面积之和S取得最小值，
存在最小值，
则S的最小值
．
【点睛】本题考查了圆中有关面积的综合题，垂径定理，圆周角定理,矩形的判定与性质，勾股定理,扇形的面积计算等知识，将所求图形面积作合理的转化是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
D
C
D
A
D
B
C