2023年陕西省西安市第五十八中学中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2023年陕西省西安市第五十八中学中考数学模拟试卷（含答案），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省西安市第五十八中学中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列有理数大小关系判断正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．英国曼彻斯热大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是(   )

A． B． C． D．
5．对函数y=﹣2x+2的描述错误是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．图象与x轴的交点坐标为（1，0）
C．图象经过第一、三、四象限 D．图象经过点（3，-4）
6．如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（    ）

A．100° B．90° C．80° D．60°
7．二次函数为常数，中的与的部分对应值如表：









当时，给出下列四个结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中正确结论的个数是（    ）A．个 B．个 C．个 D．个
8．四个全等的直角三角形如图所示摆放成一个风车的形状，连结四个顶点形成正方形，为对角线，的交点，的延长线交于点．记图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
9．把多项式a3－2a2+a分解因式的结果是_____．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____．

11．分别写有数字2，0，的卡片若干张，从中随机抽取20张，将这20张卡片上的数字分别记为，满足且，则抽取写有数字的卡片有_________张．
12．如图，将矩形平放在平面直角坐标系中，是边上的点，若沿着所在直线对折，点恰好落在对角线上的点处，已知，，双曲线经过点，则___________．

13．如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为______．


三、解答题
14．计算
(1)
(2)
15．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来
（1）
（2）
16．计算：
(1)
(2)（x－2）2－（x－3）（x－1）
17．如图，为锐角的外接圆，半径为．

(1)用尺规作图作出的平分线，并标出它与劣弧的交点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中的点到弦的距离为，求弦的长．
18．如图，在和中，，，．求证：．

19．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将化成分数．
解：设，方程两边都乘以，可得由，可知，
即（请你体会将方程两边都乘以起到的作用）可解得，即．
(1)填空：将写成分数形式为______ ．
(2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程：
；．
20．如图，现有一个转盘被平均分成等份，分别标有、、、、、六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）．

(1)转动转盘，转出的数字大于的概率是______．
(2)现有两张分别写有和的卡片，要随即转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是多少？
21．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．
（1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

22．为顺利开展“经典咏流传——中国古诗词诵读”活动，需了解七、八年级学生对中国古诗词的掌握情况．学校从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．八年级成绩频数分布直方图：

b．八年级成绩在这一组的是：
                                        
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下表：
年级
平均数
中位数
七年级


八年级



根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，八年级学生成绩在分以上（含分）的有_______人，成绩在这一组数据中的众数是_______；
（2）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（3）该校八年级学生有人，假设全部参加此次测试，请估计八年级学生成绩在分以上（含分）的人数．
23．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜，B蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：

C
D
总计
A


200
B
x

300
总计
240
260
500

(2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．
24．已知是的直径，是上一点，过点作，垂足为，其延长线交于点，弦交于点．

(1)通过适当的变换使得，求证：；
(2)弦交于点，且，求证：；
(3)若弦、的延长线交于点，且，那么（2）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
25．如图，抛物线与x轴相交于点A（－3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AC，点F是线段AC上的点，当△AOF与△ABC相似时，求点F的坐标；
（3）如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，在抛物线上存在点P，使，求点P的坐标．

26．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：．
(2)如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；
(3)如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】根据绝对值的意义和有理数比较大小的法则对各组数进行逐一比较即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，故本选项错误；
B、∵，
∴，故本选项错误；
C、∵，，
∴，故本选项错误；
D、∵，，
∴，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值的意义，有理数的大小比较，掌握好正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小是本题的关键．
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【详解】A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义：找出图形的对称轴，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合；找出图形的对称中心，使图形旋转180°后与原图形重合．
3．D
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：D．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．C
【分析】由一次函数k的系数可判断A、C；令y=0可求得与x轴的交点坐标，可判断B，将（3，-4）代入计算可判断D，即可得出答案.
【详解】解：A：k=-2<0，图象y随x的增大而减小，故A正确；
B：令y=0，则-2x+2=0，解得x=1，图象与x轴的交点为（1，0），故B正确；
C：k<0,b>0，图象经过一、二、四象限，故C错误；
D：将（3,-4）代入y=﹣2x+2，等式成立，所以图象经过点（3，-4），故D正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键.
6．C
【分析】根据圆周角定理得出∠COB=2∠BAC=60°，结合已知得出∠AOB∠BOC=20°，从而得出∠AOC的度数
【详解】解：∵对的圆心角为∠BOC，对的圆周角为∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠CAB=60°，
∵∠AOB∠BOC，
∴∠AOB=20°，
∴∠AOC=∠AOB +∠BOC=80°，
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠COB=2∠CAB是解此题的关键．
7．D
【分析】由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由可得时，，将整理为，进而判断方程的解．
【详解】解：∵抛物线经过，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴，
∵时，，
∴抛物线开口向上，即，
∴，
∴，①正确．
∵抛物线对称轴为直线，
∴时，y随x增大而增大，
∴②正确．
当时，，
∴③正确．
整理为，
当，时，，成立，
时，，成立，
∴的解是．
∴④正确．
故正确的为：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
8．C
【分析】由对称性可知，，设BF=2a，则CF=3a, BC=5a,再结合等面积法和勾股定理表示相应线段的长度，求得对应图形面积即可求得比值．
【详解】解：由对称性可知，，
如图过O作OH垂直BC于H，
设BF=2a，
∵，
∴CF=3a,
∴BC=5a,
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴BH=OH=HC=，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故选：C．

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．能借助勾股定理和等面积法正确表示相应线段的长度是解题关键．
9．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，一般来说，将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
10．（6，）．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案.
【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5，
∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣，
∴直线BC的关系式为y＝x﹣，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，），
故答案为：（6，）．

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式以及求两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.
11．6
【分析】设抽取的20张卡片内写有数字2的卡片有x张，写有数字0的卡片有y张，写有数字-2的卡片有z张，根据题意得到方程组，解之即可．
【详解】解：设抽取的20张卡片内写有数字2的卡片有x张，写有数字0的卡片有y张，写有数字-2的卡片有z张，
则x+y+z=20，
∵，
∴2x+0-2z=8，
则x-z=4，
∵，
∴，
即，化简得：，
∴有，解得：，
∴抽取写有数字的卡片有6张，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程组．
12．##
【分析】首先过点作于点，过点作于点，得出，进而得出点横坐标，再利用勾股定理得出的值，即可得出点坐标，进而得出的值．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
将矩形平放在平面直角坐标系中，是边上的点，沿着所在直线对折，
点恰好落在对角线上的点处，，，
，
设点横坐标为，设，
则，，，
，
，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，（不合题意舍去），
，
点坐标为：，，
．
故答案为：．

【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的性质、勾股定理等知识，根据已知得出点横坐标是解题关键．
13．
【分析】过点A、B分别作轴、轴，垂足分别为点C、D，如图，易证，则根据相似三角形的性质可得，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．
【详解】解：过点A、B分别作轴、轴，垂足分别为点C、D，如图，则，，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．
14．(1)
(2)

【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，然后计算加减．
【详解】（1）

；
（2）

．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则和实数的运算法则进行准确计算．
15．（1）x＞﹣5，数轴见解析；（2）﹣2＜x≤3，数轴见解析．
【分析】（1）去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1；再把不等式的解集表示在数轴上；依此即可求解．
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】（1），
去分母得：3（x+1）＞2（x﹣1），
去括号得：3x+3＞2x﹣2，
系数化为1得：x＞﹣5，
数轴如图所示：

（2），
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤3，
在数轴上表示不等式组的解集为：

【点睛】本题考查解一元一次不等式及一元一次不等式组，解不等式依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
16．(1)0
(2)1

【分析】（1）按照算术平方根、乘方、零指数幂分别计算后，再计算加减法即可；
（2）先利用完全平方公式和多项式的乘法进行计算后，再去括号，合并同类项即可．
【详解】（1）解：  
＝3－4＋1
＝0；
（2）解：
＝
＝
＝1．
【点睛】此题考查了算术平方根、乘方、零指数幂的混合运算，整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)

【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；
（2）连接交于点F，连接，由平分，可推导得出，然后在中，由勾股定理可求得的长，即可求得的长．
【详解】（1）如图所示，射线就是所求作的角平分线；

（2）连接交于点F，连接，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，从而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；
【详解】证明：∵，
∴．
即．
在和中，
∴≌（SAS）．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键．
19．(1)
(2)①；②

【分析】（1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可；
（2）①设，程两边都乘以100，转化为，求出其解即可；
②设，程两边都乘以100，转化为，求出其解即可．
【详解】（1）设，则，
∴．
故答案是：；
（2）①设，方程两边都乘以100，可得．
由，可知；
即，可解得，即．
②设，方程两边都乘以100，可得．
∴．
∵，
∴

∴．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，无限循环小数转化为分数的方法的运用，一元一次方程解法的运用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解题的关键．
20．(1)
(2)这三条线段能构成三角形的概率是

【分析】（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公式可得；
（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得．
【详解】（1）解：转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，大于的结果有种，分别为4、5、6、7，
转出的数字大于的概率是，
故答案为：；
（2）解：设三角形的第三边为x，
∵和为三角形的两边，
∴即
转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，其中能够成三角形的结果有种，分别为2、3、4、5、6，
这三条线段能构成三角形的概率是．
【点睛】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系，熟练掌握三角形三边间的关系和概率公式是解题的关键．
21．（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【详解】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F=120°，
∴∠FO′A=∠CAO′=30°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．

22．（1），；（2）八年级学生乙在本年级中的排名更靠前，理由见解析；（3）八年级学生成绩在分以上（含分）的人数约为人．
【分析】（1）根据频数的统计方法进行计算，利用众数的意义求解即可；
（2）根据中位数的意义，结合七年级学生甲与八年级学生乙的成绩进行判断即可；
（3）求出样本中80分以上的人数所占的百分比，估计总体中在80分以上的所占的百分比，进而计算相应的人数．
【详解】解：（1）八年级学生成绩在60分以上（含60分）的有50-6=44（人），
成绩在70≤x＜80这一组数据中，出现次数最多的是77分，共出现3次，因此众数是77分，
故答案为：44，77；
（2）七年级的中位数是79.5分，说明有一半的学生成绩在79.5分以上，因此七年级学生甲成绩78分，在中位数以下，
八年级的中位数是77.5分，说明有一半的学生成绩在77.5分以上，因此八年级学生乙成绩78分，在中位数以上，
因此八年级学生乙的名次比较靠前；
（3）400×=184（人），
答：该校八年级学生400人中成绩在80分以上（含80分）的大约有184人．
【点睛】本题考查条形统计图，众数、中位数、平均数，理解众数、中位数、平均数的意义和计算方法是解决问题的前提．
23．(1)表格见解析，的值为200
(2)w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整，并写出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的方程，然后求解即可；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到w与x之间的函数关系式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最小的调运方案．
【详解】（1）作表如下所示：

C
D
总计
A


200
B
x

300
总计
240
260
500

∵两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等，
∴，
解得，
答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200，
故答案为：；；；
（2）由题意可得，
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，w取得最小值，此时，
此时，
答：w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)成立，证明见解析

【分析】（1）求证，只要证明即可；
（2）求证，只需证根据相似三角形的对应边成比例即可求得结论；
（3）成立．求证，只需证，根据相似三角形对应边成比例即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，

是的直径，
．
，
．
．
是弦心距，
，
在和中，
，
．
．
（2）证明：如图2，连接，，．

，
，
，
．
，
，．
．
．
（3）如图3，（2）的结论仍成立．

证明：，
，．
，．
，
．
．
又，
．
，
．
，
．
．
【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定，垂径定理的运用，解题的关键是掌握以上知识点．
25．（1），；（2）或；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法即可得；
（2）先利用两点之间的距离公式可得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设点的坐标为，从而可得，然后分和两种情况，根据相似三角形的性质即可得；
（3）如图（见解析），先利用二次函数的对称性可得，根据等腰三角形的三线合一可得，再解直角三角形可得，然后设，根据得出，从而可得，最后在中，解直角三角形即可得．
【详解】解：（1）由题意，设这条抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则这条抛物线的解析式为，
将其化为顶点式为，
则顶点的坐标为；
（2），
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
则，
由题意，分以下两种情况：
①当时，
则，即，
解得，
，
则此时点的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
，
则此时点的坐标为，
综上，点的坐标为或；
（3）如图，过点作于点，过点作轴于点，连接，

由二次函数的对称性得：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
，
，
设点的坐标为，则，
，
当时，，
则为锐角，且，
点在点左侧的抛物线上，即，
在中，，即，
解得或或（舍去），
经检验，或是所列方程的根，且符合题意，
当时，，即，
当时，，即，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质是解题关键．
26．(1)证明见解析；
(2)当点D在线段BC的延长线上时，；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明见解析；
(3)△AOC是等腰三角形，理由见解析．

【分析】（1）证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，即可得到；
（2）分情况讨论：当点D在线段BC的延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，证明；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用即可证明；
（3）证明△FCD为直角三角形，进一步可得，再根据OA＝AE，AE＝DF，即可证明OC＝OA．
【详解】（1）证明：如图①：

∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠CAF+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴．
（2）解：如图②：

当点D在线段BC的延长线上时，．
理由如下：
∵∠BAC＝∠DAF=90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴；
如图③：
当点D在线段BC的反向延长线上时，．
理由如下：
∵∠CAF+∠BAF＝∠BAC＝90°，

∠BAD+∠BAF＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵，
∴．
（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
由（2）可知：△BAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠ABD＝135°，
∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°=90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF的中点，
∴
∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定．解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，结合图形分析．