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2023年陕西省西安市第五十五中学中考三模数学试题（含答案）
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这是一份2023年陕西省西安市第五十五中学中考三模数学试题（含答案），共32页。试卷主要包含了64的平方根是，如图，若点P，在平面直角坐标系中，将抛物线C等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安五十五中中考数学三模试卷
一．选择题（共7小题）
1．64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
2．下列四个图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝135°，则∠4的度数等于（ ）
A．36° B．54° C．45° D．135°
4．如图，若点P（﹣2，4）关于y轴的对称点在一次函数y＝x+b的图象上，则b的值（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
5．如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E、F分别在边BC、AD上，将边AB沿AE折叠，点B恰好落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠、点D恰好落在AC上的点N处，若四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦DE∥AB，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
7．在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝x2﹣2（m+1）x+m关于y轴对称后得到抛物线C'，对于抛物线C′，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≥﹣2 D．m≤﹣2
二．填空题（共5小题）
8．若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ．
9．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P是弧GH上的任意一点，连接CP，PE，则∠CPE的度数为 ．
10．一扇形的圆心角是30°，弧长是2π，则此扇形的面积是 ．
11．已知点A（﹣2，m）与点B（2t，t）关于x轴对称，若反比例函数的图象经过点A，则k＝ ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边BC上的一动点，将△ABE沿着AE折叠得到△AEF，连接DF，点M为DF上的点，且FM＝2DM，则CM的最小值为 ．
三．解答题（共13小题）
13．计算：．
14．解方程：＝1．
15．计算：（2﹣）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，请用尺规作图的方法在BC上找一点D，使△ABD与△ADC的面积之比为．（保留痕迹，不写作法）
17．已知：如图，E是BC上一点，∠BED＝∠B+∠BCA，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，请画出△A2B2C2并直接写出点A2的坐标．
（2）则△A2B2C2的周长为 ．
19．小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是 ；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加，若和为偶数，则小红获胜；若和为奇数，则小丁获胜．请用画树状图或列表法的方法求出小红获胜的概率．
20．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
21．过去的一年是不平凡的一年，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．学校为了了解初二年级共1200名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93
【整理数据】
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 分，b＝ 分；
（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
22．如图，是一个“函数求值机”示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
输出y
…
19
15
11
0
8
…
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为时，输出的y值为 ；
（2）求k2，b的值；
（3）当输出的y值为24时，求输入的x值．
23．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
24．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，若∠DAB＝∠OBC，求D点的坐标．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为 ．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点D为AB边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决：
（3）某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形ABCD为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成△EDM、△BFM、△DCB和四边形AEMF四部分，其中在△EDM和△BFM两区域修建益智区，在△DCB区域修建角色游戏区，在四边形AEMF区域修建木工区．根据设计要求：四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，点E、点F、点M分别在边AD、边AB和对角线BD上，且EM＝FM，∠EMF＝60°，四边形AEMF的面积为平方米，现需在四边形ABCD的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8．
解：∵±8的平方都等于64；
∴64的平方根是±8．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查平方根的定义及简单计算．
2．下列四个图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．如图，已知∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝135°，则∠4的度数等于（ ）
A．36° B．54° C．45° D．135°
【分析】先根据∠1＝∠2判定PQ∥MN，然后根据平行线的性质得出∠3+∠4＝180°，求出∠4即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴PQ∥MN，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠3＝135°，
∴∠4＝180°﹣135°＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
4．如图，若点P（﹣2，4）关于y轴的对称点在一次函数y＝x+b的图象上，则b的值（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【分析】先得出关于y轴对称的点P的坐标，然后代入运用待定系数法运算即可．
解：由题意得：P′的坐标为（﹣2，4），
代入得：﹣2+b＝4，
解得：b＝6．
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，比较简单，注意掌握关于y轴对称的点的坐标的特点．
5．如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E、F分别在边BC、AD上，将边AB沿AE折叠，点B恰好落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠、点D恰好落在AC上的点N处，若四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】由折叠的性质和菱形的性质得出∠BAE＝∠MAE＝∠MAF，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠MAE＝∠MAF，
∴∠BAE＝∠MAE＝∠MAF，
∵∠BAE+∠MAE+∠MAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝30°；
故选：A．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、菱形的性质、矩形的性质；证出∠BAE＝∠MAE＝∠MAF是解答此题的关键．
6．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦DE∥AB，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
【分析】根据圆周角定理、平行线的性质求解判断即可得解．
解：如图，连接CE，
∵CD分别是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°＝∠CED，
∴CB⊥BD，
故A正确，不符合题意；
∵DE∥AB，∠CDE＝62°，
∴∠BOD＝∠CDE＝62°，
∴∠BCD＝∠BOD＝31°，
∵OC＝OB，
∴∠CBA＝∠BCD＝31°，
故B正确，不符合题意；
∵DE∥AB，
∴＝，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴＝，
∴＝，
故C正确，不符合题意；
∵∠CED＝90°，
∴∠ECD+∠CDE＝90°，
∵∠CDE＝62°，
∴∠ECD＝28°，
∴∠ECD≠∠BCD，
∴BD≠DE，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝x2﹣2（m+1）x+m关于y轴对称后得到抛物线C'，对于抛物线C′，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≥﹣2 D．m≤﹣2
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得旋转后的抛物线，根据在抛物线C'上，当x＜1时，y随x的增大而减小，得到C'的对称轴，求解即可．
解：将抛物线C：y＝x2﹣2（m+1）x+m关于y轴对称后，
得到抛物线C'的解析式为：y＝（﹣x）2﹣2（m+1）•（﹣x）+m＝x2+2（m+1）x+m，
其对称轴为直线．
∵在抛物线C'，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴﹣（m+1）≥1，
解得：m≤﹣2．
故选：D．
【点评】此题考查二次函数的图象和性质及轴对称与坐标变换等知识．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，求得对称后抛物线的解析式是解题关键．
二．填空题（共5小题）
8．若代数式有意义，则实数x的取值范围为 x＞3 ．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
9．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P是弧GH上的任意一点，连接CP，PE，则∠CPE的度数为 45° ．
【分析】连接OD、OC、OE，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出∠CPE的度数．
解：连接OD、OC、OE，如图所示：
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝45°，
∴∠COE＝45°+45°＝90°，
∴∠CPE＝∠COE＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用；熟练掌握中心角公式，由圆周角定理求出结果是解决问题的关键．
10．一扇形的圆心角是30°，弧长是2π，则此扇形的面积是 12π ．
【分析】根据弧长公式求出半径，再根据扇形面积公式求解即可．
解：由题意得，，
即＝2π，
∴r＝12，
∴此扇形的面积＝＝12π，
故答案为：12π
【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，弧长的计算公式，熟练掌握扇形的面积计算公式，弧长的计算公式是解题的关键．
11．已知点A（﹣2，m）与点B（2t，t）关于x轴对称，若反比例函数的图象经过点A，则k＝ ﹣2 ．
【分析】根据两点关于y轴对称的点的坐标特点，求A点坐标，将A点坐标代入中求k的值即可．
解：∵点A（﹣2，m）与点B（2t，t）关于x轴对称，
∴﹣2＝2t，m+t＝0，
解得：t＝﹣1，m＝1，
∴A（﹣2，1），
将A（﹣2，1）代入中，
得，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例的性质，要熟练掌握代入法求解析式，关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数等基本知识点．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边BC上的一动点，将△ABE沿着AE折叠得到△AEF，连接DF，点M为DF上的点，且FM＝2DM，则CM的最小值为 ．
【分析】由翻折可知，AF＝AB＝3，由矩形性质可得CD＝AB＝3，在AD上取，可得，，由FM＝2DM，可得，证得△ADF∽△NDM，进而求得MN＝1，由三角形三边关系可知，NM+CM≥CN，即：，当M在线段CN上时取等号，即可求得CM的最小值为：．
解：由翻折可知，AF＝AB＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，
在AD上取点N，使，
则，，
∴，
∵FM＝2DM，
∴，
又∵∠ADF＝∠NDM，
∴△ADF∽△NDM，
∴，则MN＝1，
由三角形三边关系可知，NM+CM≥CN，即：，当M在线段CN上时取等号，
∴CM的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形与翻折，相似三角形的判定与性质，勾股定理，通过构造相似得到MN＝1是解决问题的关键．
三．解答题（共13小题）
13．计算：．
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根计算即可．
解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14．解方程：＝1．
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可．
解：，
去分母，得4x﹣1＝6﹣2（3x﹣1），
去括号，得4x﹣1＝6﹣6x+2，
移项，得4x+6x＝6+2+1，
合并，得10x＝9，
系数化为1，得．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
15．计算：（2﹣）．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．
解：原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，请用尺规作图的方法在BC上找一点D，使△ABD与△ADC的面积之比为．（保留痕迹，不写作法）
【分析】由勾股定理可得，可得，作DE⊥AB，DF⊥AC，则，即可得，可知DE＝DF，即点D为∠BAC的角平分线与BC的交点，利用尺规作图作∠BAC的角平分线与BC交于一点即可．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴，
∴，
作DE⊥AB，DF⊥AC，
则，
即：，
又∵，
∴DE＝DF，
∴点D为∠BAC的角平分线与BC的交点，
如图，即为所求，以点A为圆心，适当长为半径画弧交AB，AC于两点，再分别以它们为圆心适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点A的射线与BC相交即为点D．
【点评】本题考查角平分线的判定定理以及尺规作图——作角平分线，根据结合面积之比得到DE＝DF是解决问题的关键．
17．已知：如图，E是BC上一点，∠BED＝∠B+∠BCA，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
【分析】由AB∥CD，得∠B＝∠DCE，由∠BED＝∠B+∠BCA，结合三角形外角∠BED＝∠D+∠DCE，可得∠BCA＝∠D，进而可证△ACB≌△EDC（ASA），即可证得AC＝ED．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠BED＝∠B+∠BCA，
又∵∠BED＝∠D+∠DCE，
∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCE，
∴∠BCA＝∠D，
在△ACB和△EDC中，
，
∴△ACB≌△EDC（ASA），
∴AC＝ED．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．也考查了平行线的性质和三角形外角的性质．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，请画出△A2B2C2并直接写出点A2的坐标．
（2）则△A2B2C2的周长为 ．
【分析】（1）将点A、B、C分别向上平移3个单位后，再向右平移2个单位得到对应点，再顺次连接可得；分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）根据勾股定理求得各边长度，相加即可得．
解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求；点A2的坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）△A2B2C2的周长＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和轴对称变换的定义和性质．
19．小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是 ；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加，若和为偶数，则小红获胜；若和为奇数，则小丁获胜．请用画树状图或列表法的方法求出小红获胜的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找到符合题意的结果，最后利用概率公式即可求得小红获胜的概率．
解：（1）∵共有4张扑克牌，其中牌的数字为4的倍数的有1张，
∴这张牌的数字为4的倍数的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中是偶数的结果数是6种，是奇数的结果数是6种，
则小红获胜的概率是．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题，
解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝4.7，
∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，
∴PN＝MF+FP＝5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴PO＝10.5，
∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，
答：河宽EP是12米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造和证明三角形相似．
21．过去的一年是不平凡的一年，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．学校为了了解初二年级共1200名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93
【整理数据】
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 100 分，b＝ 91 分；
（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）．
解：（1）∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴众数是100分，则a＝100（分）；
把乙组15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91分；
故答案为：100，91；
（2）根据题意得：
1200×＝760（人），
答：估计成绩为优秀的学生约为760人；
（3）甲班的学生防疫测试的整体成绩较好，理由如下：
∵甲班方差47.3＜乙班方差50.2，甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班平均数90，
∴甲班学生掌握防疫测试整体水平较好（答案不唯一，合理即可）．
【点评】本题考查了中位数、众数和平均数方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
22．如图，是一个“函数求值机”示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
输出y
…
19
15
11
0
8
…
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为时，输出的y值为 2 ；
（2）求k2，b的值；
（3）当输出的y值为24时，求输入的x值．
【分析】（1）先解得k1的值，再将x＝代入求解；
（2）由题意得关于k2，b的二元一次方程组进行求解；
（3）分别按不同的计算程序求得对应的x的值，并进行讨论验证．
解：（1）由题意得2k1＝8，
解得k1＝4，
∵＞﹣2，
∴当x值为时，
y＝4×＝2，
故答案为：2；
（2）由题意得，
解得，
即k2＝﹣2，b＝7；
（3）若4x＝24，
解得x＝6，
∵6＞﹣2，
∴x＝6符合题意；当输出的y值为24时，输入的x值是6；
若﹣2x+7＝24，
解得x＝﹣8.5，
∵﹣8.5＜﹣2，
∴x＝﹣8.5符合题意，
∴当输出的y值为24时，输入的x值是6或﹣8.5．
【点评】此题考查了函数求值问题的解决能力，关键是能准确结合方程和数学讨论进行求解．
23．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
【分析】（1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到＝，根据圆周角定理得∠ACG＝∠CAE，则AF＝CF＝5，在Rt△ADF中利用三角函数的定义可计算出DF＝3，AD＝4，再证明△OAH≌△OCD得到AH＝CD＝8，所以AE＝2AH＝16，然后证明Rt△ADF∽Rt△AEB，于是利用相似比可计算出BE．
【解答】证明：（1）连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∴PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，
∵CG⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ACG＝∠CAE，
∴AF＝CF＝5，
∵PC∥AE，
∴∠EAB＝∠P，
在Rt△ADF中，
∵sin∠P＝sin∠FAD＝＝，
∴DF＝3，AD＝4，
在△OAH和△OCD中，
∴△OAH≌△OCD（AAS），
∴AH＝CD＝5+3＝8，
∴AE＝2AH＝16，
∵∠DAF＝∠EAB，
∴Rt△ADF∽Rt△AEB，
∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，
∴BE＝12．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
24．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，若∠DAB＝∠OBC，求D点的坐标．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）延长CB，AD交于点E，通过证明△AOB∽△BOC，可得∠BAO＝∠CBO，可证∠ABC＝90°，由“ASA”可证△ABC≌△ABE，可得BC＝BE，可求点E坐标，可求直线AE解析式，联立方程组可求解．
解：（1）由可得：
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图，延长CB，AD交于点E，
∵抛物线与x轴交于点A，点C，
即，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点C（1，0），
∴OC＝1，OB＝2，OA＝4，
∵，∠AOB＝∠BOC，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠BAO＝∠CBO，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DAB＝∠BAC，AB＝AB，∠ABC＝∠ABE＝90°，
∴△ABC≌△ABE（ASA），
∴BC＝BE，即：点B为CE的中点，
∵B（0，2），点C（1，0），
则由中点坐标可得，点E横坐标为：2×0﹣1＝﹣1，点E纵坐标为：2×2﹣0＝4，
∴点E（﹣1，4），
设直线AE的解析式为：y＝mx+n，
将A（﹣4，0），E（﹣1，4），代入y＝mx+n中可得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为 ．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点D为AB边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决：
（3）某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形ABCD为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成△EDM、△BFM、△DCB和四边形AEMF四部分，其中在△EDM和△BFM两区域修建益智区，在△DCB区域修建角色游戏区，在四边形AEMF区域修建木工区．根据设计要求：四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，点E、点F、点M分别在边AD、边AB和对角线BD上，且EM＝FM，∠EMF＝60°，四边形AEMF的面积为平方米，现需在四边形ABCD的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据过直线外一点到直线的距离垂线段最短可判断当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理以及等腰三角形的性质求出AD，再利用面积法求解即可；
（2）连接CD，利用等腰直角三角形的性质以及同角的余角相等证明△ECD≌△FAD，将所求四边形的面积转化为△ACD的面积，然后求解即可；
（3）过点M作MG⊥AD，MH⊥AB，连接AM，利用同角的补角相等得到∠GMH为60°，利用等量代换并结合已知条件证得△EMG≌△FMH，再利用角平分线的逆定理得到AM为角平分线并且为定值，最后判断并求解即可．
解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝13，AD平分∠CAB，
∴，AD⊥BC．
∵BC＝10，
∴CD＝5．
∴．
当DE⊥AC时，DE最小，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）∵∠C＝90°，AC＝BC＝8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠A＝45°．
∵点D为AB边的中点，连接CD，
∴CD⊥AB，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝45°．
∴∠ECD＝∠A．
又∵∠EDF＝90°，
∴∠EDC＝∠FDA，
∵，
∴△ECD≌△FAD（ASA）．
∴S△ECD＝S△FAD．
∴．
所以，四边形DECF的面积为16．
（3）过点M作MG⊥AD，MH⊥AB，连接AM，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵∠ADC＝60°，
∴∠DAB＝180°﹣60°＝120°．
∵∠MGA＝∠MHA＝90°，∠DAB＝120°，
∴∠GMH＝60°．
∵∠EMF＝60°，
∴∠EMG＝∠FMH．
∵∠MGE＝∠MHF＝90°，EM＝FM，
∴△EMG≌△FMH（AAS）．
∴．
∴MG＝MH．
∴AM是∠DAB的角平分线，
∴∠MAD＝∠MAB＝60°．
设，
∴．
∴．
∴．
∵AM与∠DAB都为定值，
当AM⊥BD时，此时四边形ABCD周长最小，
∴AD＝AB．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴．
∴四边形ABCD的周长最小为：．
【点评】本题主要考查三角形的全等及线段最值问题，熟练掌握线段公理，含30°角的直角三角形的性质及三角形全等的判定及其性质的运用是解决本题的关键．
2023年陕西省西安五十五中中考数学三模试卷
一．选择题（共7小题）
1．64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
2．下列四个图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝135°，则∠4的度数等于（ ）
A．36° B．54° C．45° D．135°
4．如图，若点P（﹣2，4）关于y轴的对称点在一次函数y＝x+b的图象上，则b的值（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
5．如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E、F分别在边BC、AD上，将边AB沿AE折叠，点B恰好落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠、点D恰好落在AC上的点N处，若四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦DE∥AB，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
7．在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝x2﹣2（m+1）x+m关于y轴对称后得到抛物线C'，对于抛物线C′，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≥﹣2 D．m≤﹣2
二．填空题（共5小题）
8．若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ．
9．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P是弧GH上的任意一点，连接CP，PE，则∠CPE的度数为 ．
10．一扇形的圆心角是30°，弧长是2π，则此扇形的面积是 ．
11．已知点A（﹣2，m）与点B（2t，t）关于x轴对称，若反比例函数的图象经过点A，则k＝ ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边BC上的一动点，将△ABE沿着AE折叠得到△AEF，连接DF，点M为DF上的点，且FM＝2DM，则CM的最小值为 ．
三．解答题（共13小题）
13．计算：．
14．解方程：＝1．
15．计算：（2﹣）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，请用尺规作图的方法在BC上找一点D，使△ABD与△ADC的面积之比为．（保留痕迹，不写作法）
17．已知：如图，E是BC上一点，∠BED＝∠B+∠BCA，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，请画出△A2B2C2并直接写出点A2的坐标．
（2）则△A2B2C2的周长为 ．
19．小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是 ；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加，若和为偶数，则小红获胜；若和为奇数，则小丁获胜．请用画树状图或列表法的方法求出小红获胜的概率．
20．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
21．过去的一年是不平凡的一年，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．学校为了了解初二年级共1200名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93
【整理数据】
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 分，b＝ 分；
（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
22．如图，是一个“函数求值机”示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
输出y
…
19
15
11
0
8
…
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为时，输出的y值为 ；
（2）求k2，b的值；
（3）当输出的y值为24时，求输入的x值．
23．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
24．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，若∠DAB＝∠OBC，求D点的坐标．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为 ．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点D为AB边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决：
（3）某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形ABCD为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成△EDM、△BFM、△DCB和四边形AEMF四部分，其中在△EDM和△BFM两区域修建益智区，在△DCB区域修建角色游戏区，在四边形AEMF区域修建木工区．根据设计要求：四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，点E、点F、点M分别在边AD、边AB和对角线BD上，且EM＝FM，∠EMF＝60°，四边形AEMF的面积为平方米，现需在四边形ABCD的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8．
解：∵±8的平方都等于64；
∴64的平方根是±8．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查平方根的定义及简单计算．
2．下列四个图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．如图，已知∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝135°，则∠4的度数等于（ ）
A．36° B．54° C．45° D．135°
【分析】先根据∠1＝∠2判定PQ∥MN，然后根据平行线的性质得出∠3+∠4＝180°，求出∠4即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴PQ∥MN，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠3＝135°，
∴∠4＝180°﹣135°＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
4．如图，若点P（﹣2，4）关于y轴的对称点在一次函数y＝x+b的图象上，则b的值（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【分析】先得出关于y轴对称的点P的坐标，然后代入运用待定系数法运算即可．
解：由题意得：P′的坐标为（﹣2，4），
代入得：﹣2+b＝4，
解得：b＝6．
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，比较简单，注意掌握关于y轴对称的点的坐标的特点．
5．如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E、F分别在边BC、AD上，将边AB沿AE折叠，点B恰好落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠、点D恰好落在AC上的点N处，若四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】由折叠的性质和菱形的性质得出∠BAE＝∠MAE＝∠MAF，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠MAE＝∠MAF，
∴∠BAE＝∠MAE＝∠MAF，
∵∠BAE+∠MAE+∠MAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝30°；
故选：A．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、菱形的性质、矩形的性质；证出∠BAE＝∠MAE＝∠MAF是解答此题的关键．
6．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦DE∥AB，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
【分析】根据圆周角定理、平行线的性质求解判断即可得解．
解：如图，连接CE，
∵CD分别是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°＝∠CED，
∴CB⊥BD，
故A正确，不符合题意；
∵DE∥AB，∠CDE＝62°，
∴∠BOD＝∠CDE＝62°，
∴∠BCD＝∠BOD＝31°，
∵OC＝OB，
∴∠CBA＝∠BCD＝31°，
故B正确，不符合题意；
∵DE∥AB，
∴＝，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴＝，
∴＝，
故C正确，不符合题意；
∵∠CED＝90°，
∴∠ECD+∠CDE＝90°，
∵∠CDE＝62°，
∴∠ECD＝28°，
∴∠ECD≠∠BCD，
∴BD≠DE，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝x2﹣2（m+1）x+m关于y轴对称后得到抛物线C'，对于抛物线C′，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≥﹣2 D．m≤﹣2
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得旋转后的抛物线，根据在抛物线C'上，当x＜1时，y随x的增大而减小，得到C'的对称轴，求解即可．
解：将抛物线C：y＝x2﹣2（m+1）x+m关于y轴对称后，
得到抛物线C'的解析式为：y＝（﹣x）2﹣2（m+1）•（﹣x）+m＝x2+2（m+1）x+m，
其对称轴为直线．
∵在抛物线C'，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴﹣（m+1）≥1，
解得：m≤﹣2．
故选：D．
【点评】此题考查二次函数的图象和性质及轴对称与坐标变换等知识．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，求得对称后抛物线的解析式是解题关键．
二．填空题（共5小题）
8．若代数式有意义，则实数x的取值范围为 x＞3 ．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
9．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P是弧GH上的任意一点，连接CP，PE，则∠CPE的度数为 45° ．
【分析】连接OD、OC、OE，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出∠CPE的度数．
解：连接OD、OC、OE，如图所示：
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝45°，
∴∠COE＝45°+45°＝90°，
∴∠CPE＝∠COE＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用；熟练掌握中心角公式，由圆周角定理求出结果是解决问题的关键．
10．一扇形的圆心角是30°，弧长是2π，则此扇形的面积是 12π ．
【分析】根据弧长公式求出半径，再根据扇形面积公式求解即可．
解：由题意得，，
即＝2π，
∴r＝12，
∴此扇形的面积＝＝12π，
故答案为：12π
【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，弧长的计算公式，熟练掌握扇形的面积计算公式，弧长的计算公式是解题的关键．
11．已知点A（﹣2，m）与点B（2t，t）关于x轴对称，若反比例函数的图象经过点A，则k＝ ﹣2 ．
【分析】根据两点关于y轴对称的点的坐标特点，求A点坐标，将A点坐标代入中求k的值即可．
解：∵点A（﹣2，m）与点B（2t，t）关于x轴对称，
∴﹣2＝2t，m+t＝0，
解得：t＝﹣1，m＝1，
∴A（﹣2，1），
将A（﹣2，1）代入中，
得，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例的性质，要熟练掌握代入法求解析式，关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数等基本知识点．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边BC上的一动点，将△ABE沿着AE折叠得到△AEF，连接DF，点M为DF上的点，且FM＝2DM，则CM的最小值为 ．
【分析】由翻折可知，AF＝AB＝3，由矩形性质可得CD＝AB＝3，在AD上取，可得，，由FM＝2DM，可得，证得△ADF∽△NDM，进而求得MN＝1，由三角形三边关系可知，NM+CM≥CN，即：，当M在线段CN上时取等号，即可求得CM的最小值为：．
解：由翻折可知，AF＝AB＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，
在AD上取点N，使，
则，，
∴，
∵FM＝2DM，
∴，
又∵∠ADF＝∠NDM，
∴△ADF∽△NDM，
∴，则MN＝1，
由三角形三边关系可知，NM+CM≥CN，即：，当M在线段CN上时取等号，
∴CM的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形与翻折，相似三角形的判定与性质，勾股定理，通过构造相似得到MN＝1是解决问题的关键．
三．解答题（共13小题）
13．计算：．
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根计算即可．
解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14．解方程：＝1．
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可．
解：，
去分母，得4x﹣1＝6﹣2（3x﹣1），
去括号，得4x﹣1＝6﹣6x+2，
移项，得4x+6x＝6+2+1，
合并，得10x＝9，
系数化为1，得．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
15．计算：（2﹣）．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．
解：原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝4，请用尺规作图的方法在BC上找一点D，使△ABD与△ADC的面积之比为．（保留痕迹，不写作法）
【分析】由勾股定理可得，可得，作DE⊥AB，DF⊥AC，则，即可得，可知DE＝DF，即点D为∠BAC的角平分线与BC的交点，利用尺规作图作∠BAC的角平分线与BC交于一点即可．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴，
∴，
作DE⊥AB，DF⊥AC，
则，
即：，
又∵，
∴DE＝DF，
∴点D为∠BAC的角平分线与BC的交点，
如图，即为所求，以点A为圆心，适当长为半径画弧交AB，AC于两点，再分别以它们为圆心适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点A的射线与BC相交即为点D．
【点评】本题考查角平分线的判定定理以及尺规作图——作角平分线，根据结合面积之比得到DE＝DF是解决问题的关键．
17．已知：如图，E是BC上一点，∠BED＝∠B+∠BCA，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
【分析】由AB∥CD，得∠B＝∠DCE，由∠BED＝∠B+∠BCA，结合三角形外角∠BED＝∠D+∠DCE，可得∠BCA＝∠D，进而可证△ACB≌△EDC（ASA），即可证得AC＝ED．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠BED＝∠B+∠BCA，
又∵∠BED＝∠D+∠DCE，
∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCE，
∴∠BCA＝∠D，
在△ACB和△EDC中，
，
∴△ACB≌△EDC（ASA），
∴AC＝ED．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．也考查了平行线的性质和三角形外角的性质．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，请画出△A2B2C2并直接写出点A2的坐标．
（2）则△A2B2C2的周长为 ．
【分析】（1）将点A、B、C分别向上平移3个单位后，再向右平移2个单位得到对应点，再顺次连接可得；分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）根据勾股定理求得各边长度，相加即可得．
解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求；点A2的坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）△A2B2C2的周长＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和轴对称变换的定义和性质．
19．小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是 ；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加，若和为偶数，则小红获胜；若和为奇数，则小丁获胜．请用画树状图或列表法的方法求出小红获胜的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找到符合题意的结果，最后利用概率公式即可求得小红获胜的概率．
解：（1）∵共有4张扑克牌，其中牌的数字为4的倍数的有1张，
∴这张牌的数字为4的倍数的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中是偶数的结果数是6种，是奇数的结果数是6种，
则小红获胜的概率是．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题，
解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝4.7，
∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，
∴PN＝MF+FP＝5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴PO＝10.5，
∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，
答：河宽EP是12米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造和证明三角形相似．
21．过去的一年是不平凡的一年，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．学校为了了解初二年级共1200名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93
【整理数据】
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 100 分，b＝ 91 分；
（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）．
解：（1）∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴众数是100分，则a＝100（分）；
把乙组15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91分；
故答案为：100，91；
（2）根据题意得：
1200×＝760（人），
答：估计成绩为优秀的学生约为760人；
（3）甲班的学生防疫测试的整体成绩较好，理由如下：
∵甲班方差47.3＜乙班方差50.2，甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班平均数90，
∴甲班学生掌握防疫测试整体水平较好（答案不唯一，合理即可）．
【点评】本题考查了中位数、众数和平均数方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
22．如图，是一个“函数求值机”示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
输出y
…
19
15
11
0
8
…
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为时，输出的y值为 2 ；
（2）求k2，b的值；
（3）当输出的y值为24时，求输入的x值．
【分析】（1）先解得k1的值，再将x＝代入求解；
（2）由题意得关于k2，b的二元一次方程组进行求解；
（3）分别按不同的计算程序求得对应的x的值，并进行讨论验证．
解：（1）由题意得2k1＝8，
解得k1＝4，
∵＞﹣2，
∴当x值为时，
y＝4×＝2，
故答案为：2；
（2）由题意得，
解得，
即k2＝﹣2，b＝7；
（3）若4x＝24，
解得x＝6，
∵6＞﹣2，
∴x＝6符合题意；当输出的y值为24时，输入的x值是6；
若﹣2x+7＝24，
解得x＝﹣8.5，
∵﹣8.5＜﹣2，
∴x＝﹣8.5符合题意，
∴当输出的y值为24时，输入的x值是6或﹣8.5．
【点评】此题考查了函数求值问题的解决能力，关键是能准确结合方程和数学讨论进行求解．
23．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
【分析】（1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到＝，根据圆周角定理得∠ACG＝∠CAE，则AF＝CF＝5，在Rt△ADF中利用三角函数的定义可计算出DF＝3，AD＝4，再证明△OAH≌△OCD得到AH＝CD＝8，所以AE＝2AH＝16，然后证明Rt△ADF∽Rt△AEB，于是利用相似比可计算出BE．
【解答】证明：（1）连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∴PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，
∵CG⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ACG＝∠CAE，
∴AF＝CF＝5，
∵PC∥AE，
∴∠EAB＝∠P，
在Rt△ADF中，
∵sin∠P＝sin∠FAD＝＝，
∴DF＝3，AD＝4，
在△OAH和△OCD中，
∴△OAH≌△OCD（AAS），
∴AH＝CD＝5+3＝8，
∴AE＝2AH＝16，
∵∠DAF＝∠EAB，
∴Rt△ADF∽Rt△AEB，
∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，
∴BE＝12．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
24．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，若∠DAB＝∠OBC，求D点的坐标．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）延长CB，AD交于点E，通过证明△AOB∽△BOC，可得∠BAO＝∠CBO，可证∠ABC＝90°，由“ASA”可证△ABC≌△ABE，可得BC＝BE，可求点E坐标，可求直线AE解析式，联立方程组可求解．
解：（1）由可得：
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图，延长CB，AD交于点E，
∵抛物线与x轴交于点A，点C，
即，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点C（1，0），
∴OC＝1，OB＝2，OA＝4，
∵，∠AOB＝∠BOC，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠BAO＝∠CBO，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DAB＝∠BAC，AB＝AB，∠ABC＝∠ABE＝90°，
∴△ABC≌△ABE（ASA），
∴BC＝BE，即：点B为CE的中点，
∵B（0，2），点C（1，0），
则由中点坐标可得，点E横坐标为：2×0﹣1＝﹣1，点E纵坐标为：2×2﹣0＝4，
∴点E（﹣1，4），
设直线AE的解析式为：y＝mx+n，
将A（﹣4，0），E（﹣1，4），代入y＝mx+n中可得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为 ．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点D为AB边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决：
（3）某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形ABCD为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成△EDM、△BFM、△DCB和四边形AEMF四部分，其中在△EDM和△BFM两区域修建益智区，在△DCB区域修建角色游戏区，在四边形AEMF区域修建木工区．根据设计要求：四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，点E、点F、点M分别在边AD、边AB和对角线BD上，且EM＝FM，∠EMF＝60°，四边形AEMF的面积为平方米，现需在四边形ABCD的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据过直线外一点到直线的距离垂线段最短可判断当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理以及等腰三角形的性质求出AD，再利用面积法求解即可；
（2）连接CD，利用等腰直角三角形的性质以及同角的余角相等证明△ECD≌△FAD，将所求四边形的面积转化为△ACD的面积，然后求解即可；
（3）过点M作MG⊥AD，MH⊥AB，连接AM，利用同角的补角相等得到∠GMH为60°，利用等量代换并结合已知条件证得△EMG≌△FMH，再利用角平分线的逆定理得到AM为角平分线并且为定值，最后判断并求解即可．
解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝13，AD平分∠CAB，
∴，AD⊥BC．
∵BC＝10，
∴CD＝5．
∴．
当DE⊥AC时，DE最小，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）∵∠C＝90°，AC＝BC＝8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠A＝45°．
∵点D为AB边的中点，连接CD，
∴CD⊥AB，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝45°．
∴∠ECD＝∠A．
又∵∠EDF＝90°，
∴∠EDC＝∠FDA，
∵，
∴△ECD≌△FAD（ASA）．
∴S△ECD＝S△FAD．
∴．
所以，四边形DECF的面积为16．
（3）过点M作MG⊥AD，MH⊥AB，连接AM，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵∠ADC＝60°，
∴∠DAB＝180°﹣60°＝120°．
∵∠MGA＝∠MHA＝90°，∠DAB＝120°，
∴∠GMH＝60°．
∵∠EMF＝60°，
∴∠EMG＝∠FMH．
∵∠MGE＝∠MHF＝90°，EM＝FM，
∴△EMG≌△FMH（AAS）．
∴．
∴MG＝MH．
∴AM是∠DAB的角平分线，
∴∠MAD＝∠MAB＝60°．
设，
∴．
∴．
∴．
∵AM与∠DAB都为定值，
当AM⊥BD时，此时四边形ABCD周长最小，
∴AD＝AB．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴．
∴四边形ABCD的周长最小为：．
【点评】本题主要考查三角形的全等及线段最值问题，熟练掌握线段公理，含30°角的直角三角形的性质及三角形全等的判定及其性质的运用是解决本题的关键．
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