天津市河西区2025届高三下学期总复习质量调查一高考模拟数学试卷（解析版）

这是一份天津市河西区2025届高三下学期总复习质量调查一高考模拟数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知全集，，则， 设，则“”是“”的， 设，，，则的大小关系为， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，而，
所以.
故选：D
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，此时，但，即，所以“”不是“”的充分条件；
若，则，得，所以“”是“”的必要条件；
故选：B.
3. 对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）
A. 变量与正相关，与正相关B. 变量与正相关，与负相关
C. 变量与负相关，与正相关D. 变量与负相关，与负相关
【答案】B
【解析】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关，
由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关.
故选：B
4. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】；
；，
则
故选：A
5. 若、，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，当时，满足，
而，故A错误；
对于B，当时，满足，
而，故B错误；
对于C，由，得，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
当时，满足，
而，故D错误.
故选：C.
6. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数B. 为偶函数
C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】D
【解析】，则，即故A错误；
，故C错误；
，，则，故B错误；
，，则，故D正确.
故选择：D.
7. 已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数图象的一条对称轴是，
则，解得，
当时，，
因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得，
故，所以， .
故选：B.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，而，的面积为，
则，，
令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为，
，而，则，
联立解得，所以双曲线的方程为.
故选：A
9. 如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，

由四点共面，且四边形为正方形，
可得，
由，，设，
可得：，即，
根据四点共面，可得，
即，
设，分别是点到平面和点到平面的距离，则，
所以，
，，
同理，，
，，
则四棱锥与四棱锥的体积比为.
故选：D.
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. i是虚数单位，复数_____．
【答案】
【解析】，
故答案为：.
11. 二项式展开式中，项的系数为________．
【答案】
【解析】二项式的通项为，令得，则，其系数为，故填.
12. 已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____．
【答案】
【解析】 在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为.
设点，根据抛物线的定义，可得，解得.
把代入，得，因为，所以，即.
将圆化为标准方程： ，从而圆心为，半径.
故.
故答案为：.
13. 某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为_____；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为_____．
【答案】①. 0.82 ②. 0.398
【解析】第一空：由全概率公式可得：；
第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：，
故答案为：0.82；0.398.
14. 如图所示，四边形内接于圆，，，则_____；设，且，则四边形的面积为_____．
【答案】①. ②.
【解析】（1）过作垂足为，则，
所以；
（2）在延长线上取点，使，取中点，
又因为，所以，
由，可得，所以直线MN过圆心，
在中，，，所以，，
因为，所以,所以，
所以等腰梯形高为，
，
所以等腰梯形面积为．
故答案为：①；②.
15. 定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由，可得，
设，则函数至少有一个零点，
则，解得或，
当时，设函数两个零点分别为、且，
由韦达定理可得，则必有，则必为函数的一个零点，
若使得函数至少有三个零点，则必有，即，解得，所以，，
且当时，，
作出函数的图象如下图中的实线所示：
由图可知，此时函数只有两个零点，不合乎题意；
若，设函数两个零点分别为、且，
由韦达定理可得，则必有，
从而可知，必为函数的一个零点，作出函数的图象如下图中的实线所示，
若使得函数至少有三个零点，则，所以，，解得，此时，.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）设，．
（i）求的值；
（ii）求的值．
解：（1）因为得；
即，得；
所以，因为；
所以.
（2），则.
，则，.
所以.
17. 如图所示，几何体中，底面，，，，，．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长．
（1）证明：由底面，，得直线两两垂直，
以点为原点，直线两两垂直分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
显然是平面的一个法向量，而，，
即，因此平面，又平面，
所以平面

（2）解：由（1）知，，
设平面的法向量，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）知，，设平面法向量，
则，令，得，
由（2）知平面的法向量，由平面与平面所成角的余弦值为，
得，解得，
所以线段的长为.
18. 已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
解：（1）由椭圆的离心率为，得，则，半焦距，
又过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，
由，得，于是，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，直线不垂直于轴，
设直线的方程为，，
由消去得，，，
，
于是，而，
，因此，设，
则，解得，
于是，
所以与面积之比的取值范围是.

19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和；
（3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式．
解：（1）因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为，
所以，，
设等比数列的公比为，
由可得，解得，则.
（2）当为奇数时，，
设数列奇数项的和为，
则.
当为偶数时，，设数列的偶数项的和为，
则，
可得，
上述两个等式作差得
，
整理可得，
所以，.
（3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，
若，则，与已知矛盾；
若，则，与已知矛盾，所以，，
又因为，
所以，，
即、、、、，共个解，故.
20. 已知函数.
（1）若在处的切线方程为，求实数，的值：
（2）求证：当时，在上有两个极值点：
（3）设，若在单调递减，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数）
（1）解：函数.
则，
由条件知，所以，
，所以切点坐标为.
把代入，
解得.
（2）证明：令，
则，所以单调递减，在单调递增.
因为，所以.
又，所以在有一个零点.
又，
令，则，
所以在单调递减，故，
即，所以在有一个零点.
于是可知：当时，，单调递增；当时，
，单调递减；当时，，单调递增.
因此，在上有两个极值点（在处取得极大值，在处取得极小值）.
（3）解：，
令，
则，
令，当时，，
单调递增，，
所以，在单调递增，
于是可得，
①若，则，，
因为在单调递减，
所以
，
令，
当时，，
故单调递减，所以，解得，
②若，则，
，
因为在单调递减，所以，
当，时，
，
所以，即，满足题设.
③若，则存在唯一确定的，使得.
当时，，即存在，，
但，这与在单调递减矛盾，不合题意.
综上所述，.