四川省泸州市龙马潭区2025年中考一模数学试卷（解析版）

这是一份四川省泸州市龙马潭区2025年中考一模数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的倒数是．故选：D．
2. 据华夏时报报告，经综合研判，预计2024年全国国内旅游人数将超过60亿人次，将60亿用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】亿=，故选：B．
3. 鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从正面看到平面图形是：
故选：D．
4. 下列各式中计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，原计算正确；
B．，原计算错误；
C．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
D．，原计算错误；故选：A．
5. 如图，，，垂足为E，若，则的度数为（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 90°
【答案】A
【解析】∵，，，
∵，∴，故选：A．
6. 在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是8B. 众数是9
C. 平均数是8D. 方差是0
【答案】B
【解析】A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，圆的半径为1，点，，在圆周上，，则弦的长度为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故选C．
8. 已知，．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
依题意得：，．∴，∴，
故选：C．
9. 如果关于的一元二次方程的两个根、，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵关于的一元二次方程的两个根、，
∴；，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
10. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为( )
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，
∴，
∵点，分别是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故选：D.
11. 如图所示，在Rt中，，，，点为上的点，的半径，点是边上的动点，过点作⊙的一条切线（点为切点），则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】如图，连接OE、OD，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，
∵DE为⊙O的切线，∴∠DEO=90°，∴DE2+OE2=OD2，
∵OE=1，∴DE2=OD2-1，即DE=，
要使DE最小，则OD最小即可，
∵D为AB边上动点，
∴当OD⊥AB时，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，∴，即，
解得：OD=4，∴DE==，
故选：B．
12. 已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】D
【解析】∵二次函数的对称轴为，
∴，即，∴，
当时，有最大值，∴，∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故选D．
二 、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
14. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为_______．
【答案】
【解析】如图， 连接、，
∵六边形是内接正六边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
．
15. 关于的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________．
【答案】﹣3＜k≤﹣2
【解析】，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜k+4，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则1＜k+4≤2，
解得﹣3＜k≤﹣2，
故答案为：﹣3＜k≤﹣2．
16. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点M在边上，且，若在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为_____.
【答案】或或
【解析】如图，是“智慧三角形”，是中线，，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴“智慧三角形”是直角三角形，
∵矩形中，，，，
∴，，，，
∴，
设点，则，，
①若，如图，
在中，
在中，
在中，，
∴，
解得，∴；
②若，如图，
由①知：，
整理得，解得或，
∴或，
综上，P的坐标为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本题共3小题，每题6分，共18分）
17. 计算：.
解：原式．
18. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，，
∴，∴．
19. 化简：．
解：.
四、解答题（本题共2小题，每题7分，共14分）
20. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
（2）“等级”在扇形图中的圆心角度数为______；
（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
解：（1）（名），
故答案为：50，
补全条形图如下：
（2）测试结果为C等级的学生数为：（名），
，
故答案为：；
（3）画出树状图如下：解：（1）根据题意可得出：，
即；
（2）由题意得：，解得，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y最大，
故生产B种产品20件，A种产品30件时，总利润y有最大值，y最大元．
五、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分）
22. 海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）
解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过点D作DE⊥CD，如图所示：由题意可得出：
∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，
∠ADF=30°，∴AF=FC=AN=NC，设AF=FC=x，∴tan30°=，解得：x=，∵tan30°=，∴，解得：BN=，∴AB=AN+BN==．
答：灯塔A、B间的距离为（）海里．
23. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）如图2，若点C为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与x轴交于点D，连接．且，求的面积．
解：（1）将点代入一次函数，得∶，
则，即点，
将点代入反比例，得：．
（2）当点C在点A的上方时，
由(1)知，反比例函数的表达式为：，
分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为点N、M，连接交于点H，
∵，故，∴，
∵，则，
又，∴，则，
则点C的纵坐标为4，
∵点C在反比例函数上，即点，
当时，，即点，
则，则，
当点C在点A的下方时，
同理可得出，
∵又，∴，则，则点C的纵坐标为2，
∵点C在反比例函数上，即点，
当时，，∴，
∴轴，则，
综上：的面积为1或．
六、解答题（本题共2小题，每题12分，共24分）
24. 如图，D 是的边上一点，，以为直径的交于点E，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，，求、的长．
（1）证明：∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴，∴是的切线；
（2）解：连接，过D作于F，
∵是的直径，的半径为3，∴，，
∵∴，
设，则，
在中，，∴，
解得（负值舍去），∴，
∵，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴，
设，则，
在中，，∴，
解得（负值舍去），∴，
∵，∴，
∴，即，解得，
经检验，符合题意．
25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
∴，∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．则DG//AK，∴△AEK∽△DEF，∴，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
将、代入则有：，解得，
∴直线的表达式为，
当x=-1时，，即K（-1，），∴．
∵．∴，
设点，则F点坐标为（m，），
∴．
∴，
当时，有最大值．
（3）∵，，．
∴AC=，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=25=52=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵过点作直线，直线的表达式为，
∴直线的表达式为．
设点的坐标为．
①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=t-4，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得，
解得：，t2=0（舍去），
此时点的坐标为．
②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=4-t，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得，
解得：，