陕西省宝鸡市2025届高三下学期高考模拟检测(二)数学试卷（解析版）

这是一份陕西省宝鸡市2025届高三下学期高考模拟检测(二)数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，，则.
故选：C.
2. 已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】将代入中可得，解得，
故，故，
因此另一个虚数根为，故其虚部为1，
故选：A
3. 已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点为,,连接 ,取的中点,
由于且三棱柱为直三棱柱，
故为外接球的球心，
,,
故外接球的表面积为,
故选：C
4. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为，则，可得，
所以，该椭圆的标准方程为，则，故该椭圆的离心率为.
故选：D.
5. 若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，可得，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，故.
故选：B.
6. 展开式中的系数为（ ）
A. 200B. 230C. 120D. 180
【答案】A
【解析】，
由通项公式可得，，
则的系数由来确定，由其通项公式可得，.
由，得或，
所以的系数为.
故选：A.
7. 若函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】D
【解析】由奇函数性质可得，的定义域关于原点对称，
又定义域为，即且，，故，解得.
又，故，
此时为奇函数，故.
故选：D
8. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点，则（ ）
A. 平面
B. 直线不可能相交于同一点
C. 正方体表面上满足的点的轨迹长度为
D. 平面与平面可能平行
【答案】C
【解析】
选项A：如图，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，则，
因，故与平面不平行，故A错误；
选项B：延长交直线的延长线于，则，
则平面，连接，交直线于，则，
故可知当为的中点时，直线相交于同一点，故B错误；
选项C：根据正方体的对称性，当时，点在四边形的边上，
故点的轨迹长度即为四边形的周长为，故C正确；
选项D：，，设平面的一个法向量为，
则，令，得，则，
设，则，
设平面一个法向量为，
则，令，则，故，
若平面与平面平行，
则，即，显然不存在，故D错误，
故选：C
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知向量，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角是，则
D. 若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是
【答案】ABC
【解析】因为向量，
若，则，解得，A说法正确；
若，则，解得，B说法正确；
若与的夹角是，因为，，
所以，
所以，C说法正确；
若与的方向相反，所以，
所以在上的投影向量为，D说法错误；
故选：ABC
10. 已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若、相互独立，则
B. 恒成立
C. 若，则
D. 若，则、相互独立
【答案】AC
【解析】对于A选项，若、相互独立，则，
由条件概率公式可得，A对；
对于B选项，抛掷一枚骰子，定义事件向上的点数为，事件向上的点数为奇数，
则，，此时，，B错；
对于C选项，若，则，
因此，，C对；
对于D选项，对任意的事件、恒成立，故、不一定独立，D错.
故选：AC.
11. 近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ）

A. 站在第20拐角的学生是111号B. 站在第23拐角的学生是137号
C. 第133号同学站在拐角位置D. 站在拐角位置的同学共有79名
【答案】ACD
【解析】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26
将奇数项的拐角即为，易得：;
偶数序号的拐角即为，由规律可得：
第20拐角的学生编号为：正确；
站在第23拐角的学生编号为：错误；
由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置；
由，可得，
由，可得，
所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；
故选：ACD
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为：_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】函数的定义域为，值域为，
所以.
故答案为：
13. 若函数的极大值点为，则_______．
【答案】
【解析】由函数，
求导可得，
令，则，
由题意可得，
由函数可知当（）时，，
当（）时，，且为函数的极大值点，
则可得（），解得（），
所以.
故答案为：.
14. 直线恒与圆相切，则圆的方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______．
【答案】①. ②.
【解析】因为原点到直线的距离为，
所以，直线与圆心为原点，半径为的圆恒相切，故圆的方程为，
因为为的中点，则，则，
不妨设点位于第一象限，则，，
则
，可得，
又因为，可得，即点，其中，
因为，整理可得，
解得，则，故.
故答案为：；.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 在三棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，为上一点，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：取为中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则，
因为，则，
因为，为的中点，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，故.
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，则，
因为，则点为的中点，即点，
又有，则，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角正弦值.
16. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；
（2）从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（3）将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
解：（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形面积之和为，
由题可知：，解得，
所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：
．
所以，.
（2）样本中质量指标值在和的芯片数量为，
所取样本的个数为件，
质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、，
所以，，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望．
（3）由（1）可知：，则，，
由题可知：．
所以：，即.
17. 已知：数列的前项和为，，当时．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和．
（1）证明：当时，且，
可得，整理得，
即，且，
所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得：，即，
由定义可得：，
当时，，即，
所以；
当且时，不是整数，
可设，则，
则，可得；
综上所述：.
在上，，，
所以.
18. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为．
（1）求抛物线的方程；
（2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（ⅰ）证明：抛物线上点处的切线方程为；
（ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、
的斜率之积为常数．
解：（1）抛物线的焦点，准线方程为，
设动点，动点到其准线的距离为，
由抛物线定义得，则，
当且仅当时取等号，
依题意，，所以抛物线的方程为.
（2）（ⅰ）当抛物线上处的切线斜率存在时,设其方程为，其中，
由得①，
由题意可得，可得，
即，所以，解得，
所以切线方程，即，
即，即②；
即为上处的切线斜率存在时的方程；
当上处的切线斜率不存在时，即时处切线方程为，符合②式．
所以上处的切线方程为.
（ⅱ）设、，
由（ⅰ）知点处的切线方程为④，
点处的切线方程为⑤，
将分别代入上面两式得．
所以点、的坐标均满足方程，
所以直线方程为，
由④⑤知直线、斜率分别为，，则⑥，
由得，则，可得，
由韦达定理可得，则，
所以直线、斜率之积为常数．
19. 已知函数，
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若时，恒成立，求的范围；
（3）若在内有两个不同零点、，求证：.
（1）解：当时，，则，
所以，，.
故切线方程为，即，
（2）解：因为在上恒成立，
进而，即．
令，其中，则，
当时，，则，此时，函数单调递增，
当时，，则，此时，函数单调递减，
当时，，因为，因此，
所以，，故，
因此，实数的取值范围是.
（3）证明：因为函数在内有两个不同零点、，
则方程在内有两个根、，即，
由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减．
故，欲证，即证，
由于且函数在单调递减．所以只需证明，
即证，欲证，即证，即，
即证，即证，而该式显然成立，
欲证，即证，且，即证，
即证，即证，即证，
令，只需证，
，
令，
所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证．