青海省西宁市大通县2025届高考一模考试数学试卷（解析版）

这是一份青海省西宁市大通县2025届高考一模考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，而，
所以.
故选：C
2. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】依题意，，所以对应点位于第一象限.
故选：A
3. 已知直线：与圆：交于，两点，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】圆：的圆心，半径，
点到直线：的距离，
直线与圆相交，则.
故选：B
4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定的
【答案】C
【解析】因为，，所以，，
所以，，易知，即，
设，则，，则，
可得，所以是锐角三角形.
故选：C.
5. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正方体中，取的中点，的中点，连接，

由是的中点，得，则四边形为平行四边形，
，由是的中点，得，
梯形是正方体被平面所截得的截面，
，，
所以所求截面的周长是.
故选：B
6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以.
又与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
则，解得，且.
即x的取值范围为.
故选：C
7. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，又在R上单调递增，
由，得，
则，即，
而，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．
故选：B．
8. 如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆台水杯上底面圆半径为，下底面半径为，
当杯底水平放置时，液面半径为，
为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示：
因为此时杯中水的高度为，故为；
整个水杯盛满水时的体积为：，
未放置小球前水的体积为：，
又小球体积为；
故，即，解得
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ）
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】BCD
【解析】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲：，乙：，
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；
甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；
甲得分的平均数，乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误；
由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A. 函数为偶函数
B. 8是的一个周期
C. 的图象关于点对称
D.
【答案】BC
【解析】对于A，令，得，所以，
令，得，即，所以为偶函数，
所以，则为奇函数，故A错误；
对于B，令，，即，
所以4是的一个周期，8也是的一个周期，故B正确；
对于C，令，，
所以，所以关于对称，且，
又周期为4，所以，故C正确；
对于D，令，得，即，
令，，得，所以，
所以，
所以，故D错误；
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11. 函数的极小值是______.
【答案】
【解析】函数的定义域为R，求导得，
由，得；由，得或，
因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的极小值为.
故答案为：
12. 甲、乙等5名学生到这三个公司实习，要求每个公司至少有1人去实习，且每人只能到1个公司实习，则甲去公司实习的不同情况有______种.（用数字作答）
【答案】
【解析】若公司只有甲名学生，则另外名学生到两个公司，
若两个公司各有名学生，则有种，
若两个公司有一个有名学生，另一个有名学生，则有种，
若公司有名学生，则有种，
若公司有名学生，则有种
根据分类加法计数原理，共有种.
故答案为：.
13. 已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则的最小值为
C. 若是的极值点，则是函数的零点
D. 和所有交点的横坐标之和是
【答案】ACD
【解析】对于A，由的图象关于直线对称，得，
而，则，A正确；
对于B，，，
因此的最小值为的半周期，B错误；
对于C，由是的极值点，得，
则，即，C正确；
对于D，，由解得：或，
且在，上的图象分别关于直线，对称，
直线和的图象有4个交点，其横坐标由小到大依次为，
，因此，D正确.
故选：ACD
14. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，如图所示，点，分别在双曲线的左、右支上，且，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】延长与双曲线交于另一点，连接，
由，得，由对称性知四边形为平行四边形，
设，则，，
，在中，，
即，解得，
设双曲线的焦距为，在中，，解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，求的最小值.
解：（1）因为，令可得，
当时，
所以作差得，
所以，所以，
所以是首项，公比为3的等比数列，；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
又因为，所以，
所以，因为单调递增，且，
所以，
则的最小值为5.
16. 已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，且点到抛物线的准线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为坐标原点，直线的斜率为，的面积为，求直线的方程.
解：（1）抛物线的准线方程为，由点到抛物线的准线的距离为，
得，解得，所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，直线方程为，设，
由消去得，则解得或，
，，
令直线与轴的交点，则的面积，
因此，解得，
所以直线方程为.

17. 如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.

（1）证明：平面.
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为.
①求四棱柱的体积；
②求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：在梯形中，，，则，
在中，，，
则，，而，平面，
所以平面.
（2）解：①由，平面，得平面，
取中点，连接，由是的中点，得，
由（1）知，平面，则是直线与平面所成的角，
即，，，
所以四棱柱的体积.

②连接，由①知平面，，则平面，
平面，则，而，于是，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
由是的中点，得，共面，
因此是平面与平面的夹角，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值是.
18. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单.
（1）根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联.
（2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望.
（3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时的值.
附：，其中.
解：（1）列联表如下：
零假设为餐馆订单的好评率与更换厨师无关联，
根据列联表中数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个，
而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有，
则，
所以的分布列为：
数学期望.
（3）依题意，更换厨师后好评率为，
从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则，
于是，
由，
由，解得，而，则当时，单调递增；
由，解得，则当时，单调递减，
所以使事件“”概率最大时的值为80.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，，，
切线的斜率，，
所以切点坐标为，切线方程为，，
当时，，当时，，
所以直线与轴交点为，与轴交点为，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为.
（2）因为，，，
所以，
可化为：，
即，
令，，
所以为上的单调递增函数，
将，
转化为，
因为为上的单调递增函数，所以，
即，即，
整理有：，
令，，
令，即，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，
因为恒成立，
所以.好评
非好评
合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
好评
非好评
合计
更换厨师前
600
200
800
更换厨师后
1600
400
2000
合计
2200
600
2800
1
2
3