2024-2025学年山东省泰安第一中学新校高一下学期3月学情检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省泰安第一中学新校高一下学期3月学情检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z= 3i−1+11+i，则复数z的共轭复数z为( )．
A. 52−12iB. 3+iC. 92−12iD. 52+12i
2.已知a=2，b=3，a+b= 19，则a与b的夹角为( )．
A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6
3.在▵ABC中，AD为边BC上的中线，若2AE=ED，则BE=( )
A. −16AB+56ACB. 16AB−56ACC. 56AB−16ACD. −56AB+16AC
4.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，D是边BC的中点，AD=1，若b= 6,c=2，则边a=( )．
A. 16B. 10C. 4D. 8
5.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC(C在水平面)垂直于水平面，水平面上两点A,B的距离为452m，测得∠MBA=θ,∠MAB=5π6−θ，其中sinθ=13，在A点处测得旗杆顶点的仰角为φ,csφ=35，则该旗杆的高度为(单位：m)( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
6.O是▵ABC所在平面内一定点，P是平面内一动点，若PB−PC⋅OP−AP=0，PB−PA⋅OP−CP=0，则点O为▵ABC的( )．
A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心
7.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120 ∘,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点(不与C、D重合)，则EA⋅EB的最小值为( )
A. 1312B. 2116C. 3D. 1
8.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，m=(sinA,sinC−sinB)，n=(a− 3c,b+c)，且m⊥n，b=1，则AB⋅AC的最小值为( )．
A. −1B. 14C. −13D. −12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是( )．
A. 复数z=−2−i的虚部为−i
B. i+i2+i3+i4=0
C. z2=z2
D. 复数z满足z=1，则z−2−i的最大值为 5+1
10.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设▵ABC的面积为S，下列命题中正确的是( )．
A. 若acsA=bcsB=ccsC，则▵ABC是等边三角形
B. 若a⋅csA=b⋅csB，则▵ABC是等腰三角形
C. 若csB=ac，则▵ABC是直角三角形
D. 若AB⋅BC=−2 33S，且2b=a+c，则▵ABC是等边三角形
11.已知▵ABC的外接圆的圆心为O，角A=60 ∘，下列说法正确的是( )．
A. 若AB=2，则AB⋅AO=2
B. 若点M是▵ABC内的动点(不含边界)，且AM=12AB+λAC，则实数λ的取值范围是0−58且k≠0，
即实数k的取值范围为k|k>−58且k≠0

16.(1)因为z1=1−ai,z2=2+i，则z1+z2=3+1−ai，
若复数z1+z2对应的点在实轴上，则z1+z2∈R，
可得1−a=0，即a=1，
所以z1z2=1−i2+i=3−i．
(2)因为z1z2=1−ai2+i=1−ai2−i2+i2−i=2−a5−2a+15i，
若z1z2是纯虚数，则2−a5=0−2a+15≠0，解得a=2，
若z1=1−2i是方程x2+bx+c=0的根，则z1=1+2i也是该方程的根，
由韦达定理可得z1+z1=−bz1⋅z1=c，即2=−b5=c，所以b=−2,c=5．

17.(1)因为sinA+ 3csA=0，所以tanA=− 3,A∈(0,π)，所以A=2π3.在▵ABC中，由余弦定理得28=4+c2−4ccs2π3，
即c2+2c−24=0，解得c=−6(舍去)，c=4．
(2)
因为b=2,a=2 7,c=4，由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=2 77，又AD⊥AC，即▵ACD是直角三角形，所以AC=DCcsC，
则DC= 7,AD= CD2−AC2= 3，又A=2π3，则∠DAB=2π3−π2=π6，所以▵ABD的面积为S=12AB⋅AD⋅sinπ6= 3．

18.(1)如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A0,0,B2,0,C32, 32,D12, 32，
可得AB=2,0,AD=12, 32,BC=−12, 32，
则BF=23BC=−13, 33，可得AF=AB+BF=53, 33，
设AF=xAB+yAD=2x+12y, 32y，
可得2x+12y=53 32y= 33，解得x=23y=23,
所以AF=23AB+23AD，
若AP=tAF=53t, 33t，
且B,P,D三点共线，则AP=mAB+1−mAD=3m+12, 321−m，
可得3m+12=53t 321−m= 33t，解得t=34．
(2)因为DE=λDC，设D12+λ, 32，
则AF=53, 33,AE=12+λ, 32，
若AE⊥AF，则AF⋅AE=5312+λ+ 33× 32=0，解得λ=−45．
(3)因为AF=53, 33,AE=12+λ, 32，
则AE+12AF=43+λ,2 33，可得AE+12AF= 43+λ2+43≥2 33，
当且仅当λ=−43时，等号成立，
所以AE+12AF的取值范围为2 33,+∞．

19.(1)由已知，得csB=2acsAc−sinBtanC，
由正弦定理，得sinCcsB=2sinAcsA−sinCsinBtanC，
即2sinAcsA=sinBcsC+csBsinC，
即2sinAcsA=sinB+C=sinA，
由于0