2025-2026学年江苏省无锡市市北高级中学高二上学期10月阶段性检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市市北高级中学高二上学期10月阶段性检测数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线5x+2y-1=0的一个方向向量是( )
A. (2,-5)B. (2,5)C. (-5,2)D. (5,2)
2.已知n1=(-1,9,1),n2=(m,-3,2),n3=(0,2,1)，若n1,n2,n3不能构成空间的一个基底，则m=( )
A. 3B. 1C. 5D. 7
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若AB=a, AC=b, AA1=c，则BM可表示为( )
A. 12a-12b+c B. 12a-12b+12c C. -a-12b+c D. -a+12b+c
4.若某直线被两平行线l1: 3x-y+1=0与l2: 3x-y+3=0所截得的线段的长为 2，则该直线的倾斜角大小为( )
A. 15°B. 15°或105°C. 60°D. 15°或45°
5.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是( )
A. 54B. 52C. 22D. 3 24
6.设点A-2, 3，B3, 2，若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )
A. -∞, -52∪43, +∞B. -52, 43
C. -43, 52D. -∞, -43∪52, +∞
7.已知函数f(x)=2x，且af(a)a-1>f(c)c-1
C. f(c)c-1>f(a)a-1>f(b)b-1D. f(c)c-1>f(b)b-1>f(a)a-1
8.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，▵PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点(不含端点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA与EF成30∘的角，则线段PE长度的取值范围是( )
A. 0, 22B. 0, 63C. 22, 2D. 63, 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B. 若直线l过(2,1)，且l的横截距是纵截距的2倍，则直线l的方程为x+2y-4=0
C. 直线x-y-2=0关于x轴对称直线方程为x+y-2=0
D. 经过点M(-2,1)，且与A(-1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线l的方程为x+2y=0
10.以下命题正确的是( )
A. 直线l方向向量为a=(1,-1,2)，直线m方向向量b=2,1,-12，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量a=(0,1,-1)，平面α的法向量n=(1,-1,-1)，则l//α
C. 平面α、β的法向量分别为n1=(0,1,3)，n2=(1,-6,2)，则α//β
D. 平面α经过三点A(1,0,-1)、B(0,1,0)、C(-1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量，则u+t=1
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CD上的动点，且CE=λCB，DF=μDC，λ∈(0,1)，μ∈(0,1)，则( )．
A. 当λ=μ时，D1E⊥平面B1AF
B. 当λ+μ=1时，BD//平面B1EF
C. 当λ-μ=12时，三棱锥B1-AEF体积的最大值为532
D. 当μ-λ=12时，A1E+A1F的最小值为 412
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过两条直线l1:x+2y-4=0，l2:2x-y-3=0的交点，且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为 ．
13.从M(2,2)射出一条光线，经过x轴反射后过点N(-8,3).求反射点P的坐标为
14.如图，点O是棱长为2的正四面体P-ABC底面ABC的中心，过点O的直线交棱AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交下点R，则1PQ+1PR+1PS= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间中三点A(2,0,-2)，B(1,-1,-2)，C(3,0,-4)，设a=AB，b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求向量c；
(2)已知向量ka+b与b互相垂直，求k的值；
(3)若点P(1,-1,m)在平面ABC上，求m的值．
16.(本小题15分)
已知直线l:x-2y+1=0，点A(2,2)．
(1)已知直线l与l':ax-a2-3y-1=0平行，求a的值；
(2)求点A(2,2)关于直线l的对称点A'的坐标．
17.(本小题15分)
已知直线l1:3x+4y-7=0, l2:3x+4y+8=0，点A和点B分别是直线l1, l2上一动点．
(1)若直线AB经过原点O，且|AB|=3，求直线AB的方程；
(2)设线段AB的中点为P，求点P到原点O的最短距离．
18.(本小题17分)
四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，E, F分别为线段AB, BC的中点．

(1)线段AP上一点M，满足AM=14AP，求证：EM//平面PDF；
(2)若平面PAC与平面PDF所成角的余弦值为 26，求直线AC与平面PBC所成角大小；
(3)求直线PB与平面PDF所成角的正弦值的最大值．
19.(本小题17分)
如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，▵ABD为底面圆O的内接正三角形，点E在母线PC上，且AB=AE=3，CE= 3．
(1)求证：平面BED⊥平面ABD；
(2)求直线PO与平面ABE所成角的正弦值；
(3)在线段OP上是否存在一点M，使得平面MAB与平面ADE夹角的余弦值为 77？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.D
6.C
7.A
8.B
9.AC
10.AD
11.ABD
12.3x-y-5=0
13.(-2,0)
14.32
15.解：(1)BC=(2,1,-2)，因为c//BC，所以存在实数λ，使得c=λBC=(2λ,λ,-2λ)．
又c=3，所以 4λ2+λ2+4λ2=3，解得λ=±1．
所以c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2)．
(2)由已知a=(-1,-1,0)，b=(1,0,-2)，
因为ka+b与b互相垂直，故(ka+b)⋅b=0即ka⋅b+b2=0，
故-k+5=0即k=5．
(3)因为点P(1,-1,m)在平面ABC上，故存在x，y使得AP=xAB+yAC，
又AP=(-1,-1,m+2)，所以-1=-x+y-1=-xm+2=-2y，解得x=1y=0m=-2．
故m=-2．

16.(1)由直线l平行直线l'，可得a2-3=-2a，解得a=3或-1，
当a=3时，直线l':3x-6y-1=0符合题意，
当a=-1时，直线l':x-2y+1=0与直线l重合，不合题意，
所以a的值为3．
(2)设对称点A'的坐标为(m,n)，则AA'中点的坐标为2+m2,2+n2，
所以可得m+22-2×n+22+1=0n-2m-2=-2，解得m=125n=65,
所以A'的坐标为125,65．

17.(1)方法一：当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=0，分别联立3x+4y-7=0x=0和3x+4y+8=0x=0，解得点A0,74，点B(0,-2)，此时|AB|=154≠3；
当直线AB的斜率存在时，设其斜率为kk≠-34，其方程为y=kx，分别联立3x+4y-7=0y=kx和3x+4y+8=0y=kx，解得点A73+4k,7k3+4k，点B-83+4k,-8k3+4k，
则有|AB|= 73+4k+83+4k2+7k3+4k+8k3+4k2=3，解得k=43，所以直线AB的方程为y=43x，即4x-3y=0．
方法二：由已知得平行直线l1, l2的距离d=|-7-8| 32+42=3，斜率均为-34，而动点A,B的距离|AB|=3，此时，直线AB一定与平行直线l1, l2垂直，
所以其斜率k=43，又直线AB经过原点O，所以其方程为y=43x，即4x-3y=0．
(2)因为点A和点B分别是平行直线l1, l2上的动点，所以线段AB的中点P的轨迹为直线l3，与平行直线l1, l2平行且在两直线中间，如图所示．
因此直线l3的斜率k=-34，取点A(1,1)，点B(0,-2)，则线段AB中点P12,-12，
所以直线l3的方程为y+12=-34x-12，整理得6x+8y+1=0．
所以点P到原点O的最短距离即原点O到直线l3的距离d=|0+0+1| 62+82=110．

18.(1)因为PA⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB,PA⊥AD，
又因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，
所以AD⊥AB，因此建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA=4a(a>0)，
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,0,a),P(0,0,4a)，
EM=(-1,0,a)，PD=(0,2,-4a)，PF=(2,1,-4a)，
设平面PDF的法向量为m=(x,y,z)，
于是有m⋅PD=0m⋅PF=0 ⇒2y-4az=02x+y-4az=0 ⇒m=(a,2a,1),
因为EM⋅m=-a+a=0，
所以EM//平面PDF；
(2)平面PAC的法向量为n=x1,y1,z1，AP=(0,0,4a),AC=(2,2,0)，
则有n⋅AP=0n⋅AC=0 ⇒4az1=02x1+2y1=0 ⇒n=(1,-1,0),
由(1)可知平面PDF的法向量为m=(a,2a,1)，
因为平面PAC与平面PDF所成角的余弦值为 26，
所以m⋅nm⋅n= 26⇒|a-2a| 1+1× a2+4a2+1= 26⇒a=12，或a=-12，舍去，
点P的坐标为(0,0,2)，
平面PBC的法向量为k=x2,y2.z2，PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0)，
所以k⋅PB=0k⋅BC=0 ⇒2x2-2z2=02y2=0 ⇒k=(1,0,1)
设直线AC与平面PBC所成角为θ，
所以sinθ=csAC,k=AC⋅kAC⋅k=2 4+4× 1+1=12⇒θ=π6；
(3)由(1)可知平面PDF的法向量为m=(a,2a,1)，PB=(2,0,-4a)，
直线PB与平面PDF所成角的正弦值为PB⋅mPB⋅m=|2a-4a| a2+4a2+1× 4+16a2=a 5a2+1× 4a2+1=1 20a2+1a2+9，
由基本不等式可得20a2+1a2+9≥2 20a2⋅1a2+9，当且仅当20a2=1a2时取等号，
当a=12014时，代数式20a2+1a2+9有最小值9+4 5，
所以当a=12014时，直线PB与平面PDF所成角的正弦值的最大值为 19+4 5= 122+ 52+4 5= 1 5+22=1 5+2= 5-2．

19.(1)如图，设AC交BD于点F，连接EF，由圆锥的性质可知PO⊥底面ABD，

因为AC⊂平面ABD，所以PO⊥AC，
又因为▵ABD是底面圆的内接正三角形，由AD=3，
可得AF=3 32，AC=ADsin60°=2 3，
又AE=3，CE= 3，所以AC2=AE2+CE2，
即∠AEC=90°，AE⊥PC，
所以在Rt▵AEC中，cs∠EAC=AEAC=32 3= 32，
在▵AEF中，由余弦定理：
EF2=AE2+AF2-2AE⋅AF⋅cs∠EAF=9+274-2⋅3⋅3 32⋅ 32=94，
所以EF2+AF2=AE2，故EF⊥AC，
因为PO⊥底面ABD，PO⊂面PAC，所以平面PAC⊥平面ABD，
又EF⊂面PAC，AC=平面PAC∩平面ABD，EF⊥AC，故EF⊥面ABD，
又EF⊂平面BED，所以平面BED⊥平面ABD；
(2)易知PO=2EF=3，以点F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz，
则A3 32,0,0，B0,32,0，E0,0,32，P 32,0,3，O 32,0,0，
所以AB=-3 32,32,0，AE=-3 32,0,32，OP=(0,0,3)，
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)，则AB⋅n=-3 32x+32y=0AE⋅n=-3 32x+32z=0,
令x=1，则n=1, 3, 3，
设直线PO与平面ABE所成的角为θ，
则sinθ=csn,OP=n⋅OPnOP=3 33 1+3+3= 217，
即直线PO与平面ABE所成的角的正弦值为 217；
(3)D0,-32,0，AD=-3 32,-32,0，AO=- 3,0,0，
设OM=λOP(0≤λ≤1)，可得AM=AO+OM=- 3,0,3λ，
设平面MAB与平面ADE的法向量分别为α=(a,b,c)，β=(m,p,q)，
则有AM⋅α=- 3a+3λc=0AB⋅α=-3 32a+32b=0,AD⋅β=-3 32m-32p=0AE⋅β=-3 32m+32q=0,
令a=m= 3，则b=3，c=1λ，p=-3，q=3，
即α= 3,3,1λ，β= 3,-3,3，
设平面MAB与平面ADE的夹角为φ，
则csφ=csα,β=α⋅βα⋅β=3-9+3λ 3+9+1λ2× 3+9+9= 77，
整理得6λ=1，即λ=16，则OM=16×3=12，
故线段OP上存在符合题意的点M，且OM=12．