2024-2025学年湖南省常宁市第一中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省常宁市第一中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z=i+2i2+3i3，则z=( )
A. 4B. 8C. 2 2D. 4 2
2.AB−AC+CD+DB=( )
A. 2BCB. 2CBC. 2ADD. 2CD
3.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a= 2，c= 5，B=30 ∘，则▵ABC的面积为( )．
A. 302B. 104C. 102D. 304
4.在▵ABC中，记AB=a，AC=b，点D在直线BC上，且BD=3DC.若AD=ma+nb，则mn的值可能为( )
A. −2B. −13C. 13D. 2
5.在▵ABC中，若A=60 ∘,a= 3，则a+b−csinA+sinB−sinC=( )
A. 3B. 32C. 2D. 12
6.已知点A1,1，B0,2，C−1,−1.则AB在BC上的投影向量为( )
A. 105,3 105B. − 105,−3 105
C. 15,35D. −15,−35
7.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若AB=a，AD=b，则AP=( )
A. 34a+34bB. 313a+313bC. 514a+12bD. 14a+916b
8.设▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2csAsinB=b2sinAcsB,则▵ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形D. 锐角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=−1+ii，则下列选项正确的是( )
A. z的虚部为1B. z=2
C. z2为纯虚数D. z在复平面内对应的点位于第一象限
10.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是( )
A. ∠CAD=60 ∘B. A、D之间的距离为15 2海里
C. A、B两处岛屿间的距离为15 6海里D. B、D之间的距离为30 3海里
11.如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θθ≠π2角的两条数轴，e1、e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若OM=xe1+ye2，则把有序数对x,y叫做向量OM的斜坐标，记为OM=x,y.在θ=π4的斜坐标系中，a=12, 32，b= 3,−1，则下列结论中，错误的是( )
A. a−b=12− 3, 32+1
B. a⊥b
C. a=1
D. b在a上的投影向量为2 2− 35,2 6−35
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足z2+2z+3=0，则z⋅z= ．
13.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN=2BC，点E为DC的中点，则EM⋅EN= ．
14.已知O为坐标原点，向量OA，OB，OC，满足OA=OB=OC=1，(OA−OB)⋅(OB−OC)=0，若OP=4，则PA+PB+PC的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=1,2，b=1,t(t∈R).
(1)若(a+b)//a−b，求t的值；
(2)若t=1，a与a+mb的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csAsin(B−π6)=csC．
(1)求角A的大小．
(2)若a= 7，b+c=5，D为BC中点，求AD的长．
17.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，点D在线段BC上，且满足BD=13DC，过点D的直线分别交直线AB､AC于不同的两点M､N，若AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0)．
(1)AD=xAB+14AC，求x的值；
(2)求证：3m+1n=4，并求3m+n的最小值．
18.(本小题17分)
已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bcsA−a=2c．
(1)求角B；
(2)设∠ABC的角平分线BD交AC于点D，若BD=2，求▵ABC的面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，若当f(x)=85且x∈−π3,π6时，求sinx的值；
(2)已知A(−2,3)，B(2,6)，OT=(− 3,1)为ℎ(x)=msinx−π6的相伴特征向量，φ(x)=ℎx2−π3，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
(3)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，若当x∈0,11π12时不等式f(x)+kfx+π2>0恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.C
6.C
7.B
8.B
9.AC
10.BC
11.BC
12.3
13.−3
14.[11,13]
15.【详解】(1)由题可知a+b=(1,2)+(1,t)=(2,2+t)，
a−b=(1,2)−(1,t)=(0,2−t)
∵(a+b)//a−b，
∴2(2−t)=0，∴t=2．
(2)若t=1，则b=1,1，a+mb=(1+m,2+m)，
∵a与a+mb的夹角为锐角，
∴a⋅a+mb>0，且a与a+mb不共线，
∴1+m+2(2+m)>02(1+m)≠2+m，解得m>−53且m≠0，
∴m的取值范围是−53,0∪0,+∞．

16.【详解】(1)在▵ABC中，由2csAsin(B−π6)=csC，
得2csA(sinBcsπ6−csBsinπ6)=−cs(A+B)，
整理得 3csAsinB−csAcsB=−csAcsB+sinAsinB，
则 3csAsinB=sinAsinB，而sinB>0，于是tanA= 3，
又A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由(1)知A=π3，由余弦定理得7=a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc=25−3bc，
解得bc=6，由D为BC中点，得AD=12(AB+AC)，
所以|AD|=12 (AB+AC)2=12 c2+b2+2bccsA=12 (b+c)2−bc= 192．

17.【详解】(1)AD=AB+BD=AB+14BC=AB+14AC−AB=34AB+14AC=xAB+14AC，
故x=34，
(2)AD=34AB+14AC=34mAM+14nAN，D,M,N三点共线，故34m+14n=1，
即3m+1n=4，
3m+n=143m+1n3m+n=143nm+3mn+10≥142 3nm⋅3mn+10=4，
当且仅当3nm=3mn，即m=n=1时等号成立，故3m+n的最小值为4．

18.【详解】(1)由已知及正弦定理得：2sinB⋅csA−sinA=2sinC，
又在▵ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
∴2sinBcsA−sinA=2sinAcsB+2csAsinB，
即2sinAcsB=−sinA，
又A∈(0,π),sinA≠0，∴csB=−12，
又00，kcsx+π3>−sinx+π3恒成立．
所以①当0≤x−sinx+π3csx+π3=−tanx+π3，
即k>−tanx+π3max，由于π3≤x+π3−tanx+π3max=− 3；
②当x=π6，x+π3=π2，不等式sinx+π3+kcsx+π3>0化为1>0成立．
③当π6