2023-2024学年湖南省常德一中高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年湖南省常德一中高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.求A32+A42的值为( )
A. 12B. 18C. 24D. 30
2.已知(1+x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为( )
A. 29B. 210C. 211D. 212
3.下列命题正确的是( )
A. 数据−1，1，2，4，5，6，8，9的中位数是5
B. 若随机变量X满足D(X)=2，则D(3−X)=1
C. 已知随机变量X∼B(n,12)，若E(2X+1)=9，则n=4
D. 若随机变量X∼N(3,σ2)，P(X>2)=0.62，则P(34.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x−=3，y−=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A. y =0.4x+2.3B. y =2x−2.4C. y =−2x+9.5D. y =−0.3x+4.4
5.方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数为( )
A. 56B. 35C. 70D. 66
6.盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是( )
A. 27B. 728C. 37D. 1956
7.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是( )
A. 12600
B. 6000
C. 8200
D. 12000
8.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是( )
A. 2次传球后球在丙手上的概率是12
B. 3次传球后球在乙手上的概率是14
C. 11次传球后球在甲手上的概率是13[1−(12)10]
D. n次传球后球在甲手上的概率是13[1−(−12)n]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是( )
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与C同学不相邻，共有A44⋅A52种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
10.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A. 事件A与B相互独立B. 事件A与C不相互独立
C. P(B|A)=512D. P(C|A)=512
11.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n(n∈N*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn，恰有2个黑球的概率为qn，则下列结论正确的是( )
A. p2=1627，q2=727
B. 数列{2pn+qn−1}是等比数列
C. 数列{pn+2qn−1}是等比数列
D. Xn的数学期望E(Xn)=1+(13)n(n∈N*)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个2×2列联表中，通过数据计算χ2=8.325，则有______的把握认为这两个分类变量有关.
参考表格：
13.在(x2−x+1)5的展开式中，x3的系数为______.
14.已知数列{an}共有10项，且an∈{1,2,3}，若a1≤a2≤a3≤…≤a10，则符合条件的不同数列有______个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
假设关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的有关统计资料如表所示：
(1)求线性回归方程y =b x+a ；
(2)估计当使用年限为10年时，维修费用是多少？
b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2.
16.(本小题15分)
某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
(2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
17.(本小题15分)
一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求P1，P2，P3，P4；
(3)对于事件A，B，C，当P(AB)>0时，写出P(A)，P(B|A)，P(C|AB)，P(ABC)的等量关系式，并加以证明.
18.(本小题17分)
某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量(单位：%).已知其产品的碳含量服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在(μ−3σ,μ+3σ)之外的次数，求P(X≥1)及X的数学期望：
(2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在(μ−3σ,μ+3σ)之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量(单位：%)检测得到的测量结果：
经计算得，x−=110i=110xi=0.317，s= 110i=110(xi−x−)2=0.011，其中xi为抽取的第i次的碳含量百分比(i=1,2,⋯,10).
(i)用样本平均数x−作为μ的估计值μ ，用样本标准差s作为σ的估计值σ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
(ii)若去掉x1，剩下的数的平均数和标准差分别记为μ1，σ1，试写出σ1的算式(用x−，s，x1，μ1表示σ1).
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−3σ19.(本小题17分)
约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.
设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak−1，ak(a1(Ⅰ)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
(Ⅱ)当k≥4时，若a2−a1，a3−a2，−ak−1构成等比数列，求正整数a；
(Ⅲ)记A=a1a2+a2a3+...+ak−1ak，求证：A答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A32+A42=3×2+4×3=18.
故选：B.
利用排列数的计算方法即可得解．
本题主要考查排列数公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(1+x)n的展开式中第6项的二项式系数为Cn5，由于只有Cn5最大，所以n=10，故二项式系数之和为210.
故选：B.
根据二项式系数的单调性可得n=10，即可由二项式系数和公式求解．
本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：对于选项A，8个数据从小到大排列，所以中位数应该是第四个与第五个的平均数4+52=92，故A不正确；
对于选项B，随机变量X满足D(X)=2，则D(3−X)=(−1)2D(X)=2，故B不正确；
对于选项C，因为X∼B(n,12)，则E(2X+1)=2E(x)+1=2n×12+1=9，则n=8，故C不正确；
对于选项D，因为随机变量X∼N(3,σ2)，
由正态曲线的对称性可得：P(X>4)=P(X<2)=1−0.62=0.38，则P(2所以P(3故选：D.
对于A，根据中位数分析运算；对于B，根据随机变量方差的性质求解判断；对于C，根据二项分布的期望以及期望的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断．
本题考查了概率统计的一些基础知识，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是解题的关键．
根据变量x与y正相关，以及回归直线过样本中心即可得解.
【解答】
解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数x−=3，y−=3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】解：方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数，
等价于将排成一行的8个相同的小球分成4份的种数，
因为8个相同的小球之间有7个空隙，
所以相当于用3块隔板插在7个空隙中，共有C73=35种，
∴方程x1+x2+x3+x4=8的正整数解的个数为35.
故选：B.
问题等价于用3块隔板插在7个空隙中，求解即可．
本题考查隔板法的运用，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：记为A1：从盒中任取1球为红球，记A2：从盒中任取1球为黑球，记A3：从盒中任取1球为白球，
则A1，A2，A3彼此互斥，
设第二次抽出的是红球记为事件B，
则P(A1)=27，P(A2)=37，P(A3)=27，P(B|A1)=38，P(B|A2)=14，P(B|A3)=14，P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=27×38+37×14+27×14=27.
故选：A.
根据条件概率的计算公式即可求解．
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，如图，
将10个气球进行编号1−10，原问题可以转化为将编号为1∼10的10个气球排列，
其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，按小球从下到上的编号顺序打破气球即可，
则有A1010A22A33A44=12600(种)排列方法，则有12600(种)不同打法．
故选：A.
由题意，转化为排列中部分元素定序排列即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，
2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是14，故A错误；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：
甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，
3次传球后球在乙手中的事件有：
甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为38，故B错误；
设n次传球后球在甲手上的事件记为An，则有An+1=AnAn+1+An−An+1，令pn=P(An)，
则P(An+1|An)=0,P(An+1|An−)=12，
∴P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(An−)P(An+1|An−)=pn⋅0+12(1−pn)，
∴pn+1=12(1−pn)，则pn+1−13=−12(pn−13)，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即p1=0，则有p1−13=−13，
数列{pn−13}是以−13为首项，−12为公比的等比数列，
∴pn−13=−13(−12)n−1，即pn=13[1−(−12)n−1]，
∴11次传球后球在甲手上的概率是p11=13[1−(−12)10]=13[1−(12)10]，故C正确；故D错误．
故选：C.
列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概型概率公式计算，即可判断A，B；记An表示n次传球后球在甲手中的事件，Pn=P(An)，利用相互独立事件概率及条件概率探求Pn+1与Pn的关系，再借助等比数列求解作答，从而可判断C，D.
本题考查古典概型、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，6个人全排列有A66种方法，A、C、D全排列有A33种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有A66A33=120种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有A44种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有A52种方法，则共有A44A52种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A44种方法，则共有2A44=48种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有A66种方法，当A在排头时，有A55种方法，当B在排尾时，有A55种方法，
当A在排头且B在排尾时，有A44种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有A66−2A55+A44=504种，D正确．
故选：ABD.
根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
本题考查了实际问题中的排列组合计数问题，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有C42A33=36个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为A33+C32A22=12，
则P(A)=1236=13，同理P(B)=P(C)=13，
事件AB含有的基本事件数为A22=2，则P(AB)=236=118，事件AC含有的基本事件数为C22+C21C21=5，则P(AC)=536，
对于A，P(A)P(B)=19≠P(AB)，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，P(A)P(C)=19≠P(AC)，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，P(B|A)=P(AB)P(A)=16，C不正确；
对于D，P(C|A)=P(AC)P(A)=512，D正确．
故选：BD.
由古典概率公式求出P(A)，P(B)，P(C)，P(AB)，P(AC)，再利用相互独立事件的定义判断A，B；
用条件概率公式计算判断C，D作答．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：易知p1=23，q1=13，
又pn+1=23qn+(23×23+13×13)pn+23(1−pn−qn)=−19pn+23，qn+1=13qn+23×13pn=13qn+29pn；
此时p2=−19p1+23=1627，q2=29p1+13q1=727，故选项A正确；
由上可得pn+1+2qn+1=13pn+23qn+23，
所以pn+1+2qn+1−1=13(pn+2qn−1)，
则数列{pn+2qn−1}是等比数列，故选项B错误，选项C正确；
易知pn+2qn−1=(13)n，
则E(Xn)=1×pn+2qn+0×(1−pn−qn)=1+(13)n，故选项D正确．
故选：ACD.
由题意，利用已知条件求出p1=23，q1=13，推出p2，q2即可判断选项A；推出pn+1=−19pn+23，qn+1=13qn+29pn得到pn+1+2qn+1−1=13(pn+2qn−1)说明数列{pn+2qn−1}是等比数列，再利用期望的公式求解即可判断．
本题考查等比数列的性质以及离散型随机变量分布列的期望，考查了逻辑推理和运算能力．
12.【答案】99%
【解析】解：∵由χ2=8.325>6.635，
∴有1−0.01=99%的把握说两个变量有关系，
故答案为：99%.
根据所给的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，看出所求的结果比哪一个临界值大，得到可信度．
本题考查独立性检验的应用，解题的关键是会看临界值表，是基础题．
13.【答案】−30
【解析】【分析】
化(x2−x+1)5 =[(x2−x)+1]5，利用展开式的通项公式Tr+1，讨论r的值，求出展开式中x3项的系数即可．
本题主要考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．
【解答】
解：式子(x2−x+1)5=[(x2−x)+1]5展开式的通项公式为：
Tr+1=C5r⋅(x2−x)r⋅15−r；
对于(x2−x)r，
当r=0或1时，展开式中无x3项；
当r=2时，(x2−x)2展开式中x3的系数是−2；
当r=3时，(x2−x)3展开式中x3的系数是−1；
当r=4或5时，展开式中无x3项；
故x3项的系数为−2C52−1×C53=−30.
故答案为：−30.
14.【答案】66
【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：
若an的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个，
若an的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有C32C91=27个，
若an的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有C92=36个，
故共有66个符合条件的不同数列．
故答案为：66.
根据题意，分an的值有1种，2种以及3种讨论，进而由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
15.【答案】解：(1)x−=2+3+4+5+65=4，y−=2.2+3.8+5.5+6.5+75=5，
i=15xiyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，i−15xi2=90，
∴b =112.3−5×4×590−5×16=1.23，a =5−1.23×4=0.08.
∴线性回归方程为y =1.23x+0.08；
(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x=10，可得y =1.23×10+0.08=12.38.
即估计当使用年限为10年时，维修费用是12.38万元．
【解析】(1)由已知直接利用最小二乘法求解；
(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x=10求解y值即可．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，
P(ξ=1)=C41C22C63=15，P(ξ=2)=C42C21C63=35，P(ξ=3)=C43C63=15，
故ξ的分布列为：
故E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2，
设考生乙正确完成实验操作的题数为η，η∼B(3,23)，
P(η=k)=C3k(23)k(13)3−k (k=0,1,2,3)，
故η的分布列为：
故E(η)=3×23=2.
(2)由(1)知，E(ξ)=E(η)，
D(ξ)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25，
D(η)=3×23×(1−23)=23，
P(ξ≥2)=35+15=45，P(η≥2)=49+827=2027，
故D(ξ)P(≥2)，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当，从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定，从至少正确完成2题的概率方面分析，甲提交通过的可能性更大，
故甲的实验操作能力较强．
【解析】(1)设考生甲，乙正确完成实验操作的题数分布为ξ，η，分别求出对应的分布列，再结合期望公式，即可求解．
(2)分别求出甲，乙正确完成实验操作的题数的期望与方差，以及至少正确完成2题的概率，通过比较大小，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望与方差公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，记事件“第i次摸到红球”为Ai(i=1,2,3,⋯,10)，则第2次摸到红球的事件为A2，
于是由全概率公式，可得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)=710×23+310×79=710.
(2)由已知得P1=P(A1A2A3)=A73A103=724，
P2=P(A1)=710，
P3=P(A2|A1)=P(A1A2)P(A1)=A72A102×107=715×107=23，
P4=P(A3|A1A2)=P(A1A2A3)P(A1A2)=724×157=58.
(3)由(2)可得P1=P2P3P4，即P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，
可猜想：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)，
证明如下：由条件概率及P(A)>0，P(AB)>0，
得P(B|A)=P(AB)P(A)，P(C|AB)=P(ABC)P(AB)，
所以P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(A)⋅P(AB)P(A)⋅P(ABC)P(AB)=P(ABC).
【解析】(1)根据全概率公式求解即可；
(2)根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
(3)根据(2)猜想P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)，由条件概率公式证明即可．
本题考查条件概率的计算，涉及全概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由已知得：抽取一次碳含量在(μ−3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，
所以P(X≥1)=1−P(X=0)=1−0.997410=1−0.9743=0.0257，
又碳含量在(μ−3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026，
故X∼B(10,0.0026)，故E(X)=0.026.
(2)由x−=0.317,s=0.011得μ，σ的估计值为μ =0.317,σ =0.011，
所以(μ −3σ ,μ +3σ )=(0.284,0.350)，
由所测数据可以看出10次抽检的碳含量均在(μ −3σ ,μ +3σ )之内，
因此不需要对当天的生产过程进行检查．
若去掉x1，剩下的数据的标准差σ1= 19i=210(xi−μ1)2= 19i=210(xi−x−+x−−μ1)2
= 19i=210[(xi−x−)2+(x−−μ1)2+2(x−−μ1)(xi−x−)]
= 19[10s2−(x1−x−)2]+(x−−μ1)2+29(x−−μ1)(i=29xi−9x−)
= 109s2−19(x1−x−)2+(x−−μ1)2−2(x−−μ1)2
= 109s2−19(x12+x−2−2x1x−)−(x−2+μ12−2x−μ1)
= 109(s2+x−2)−μ12−19x12+x−(−209x−+29x1+2μ1)
又注意到−209x−+29x1+2μ1=−29(9μ1+x1)+29x1+2μ1=0，
所以σ1= 19i=210(xi−μ1)2= 109×(s2+x−2)−x129−μ12.
【解析】(1)由公式P(X≥1)=1−P(X=0)结合已知即可求出P(X≥1)，由二项分布的期望公式即可求出E(X).
(2)先求出(μ −3σ ,μ +3σ )=(0.284,0.350)，对比表中数据即可判断是否需要对当天的生产过程进行检查，由样本平均数和方差的计算公式推导即可得出σ1= 109×(s2+x−2)−x129−μ12.
本题考查平均数、标准差、概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当k=4时正整数a的4个正约数构成等比数列，
比如1，2，4，8为8的所有正约数，即a=8.
(Ⅱ)由题意可知a1=1，ak=a，ak−1=aa2，ak−2=aa3，
因为k≥4，依题意可知a3−a2a2−a1=ak−ak−1ak−1−ak−2，所以a3−a2a2−a1=a−aa2aa2−aa3，
化简可得(a3−a2)2=(a2−1)2a3，所以a3=(a3−a2a2−a1)2，
因为a3∈N*，所以a3−a2a2−a1∈N*，
因此可知a3是完全平方数．
由于a2是整数a的最小非1因子，a3是a的因子，且a3>a2，所以a3=a22，
所以a2−a1，a3−a2，−ak−1为a2−1，a22−a2，…，a2k−1−a2k−2，
所以a=a2k−1，(k≥4).
(Ⅲ)证明：由题意知a1ak=a，a2ak−1=a，…，aiak+1−i=a，(1≤i≤k)，
所以A=a2ak−1ak+a2ak−2ak−1+...+a2a1a2，
因为1a1a2≤a2−a1a1a2=1a1−1a2，…，1ak−1ak≤ak−ak−1ak−1ak=1ak−1−1ak，
所以A=a2ak−1ak+a2ak−2ak−1+...+a2a1a2=a2(1ak−1ak+1ak−2ak−1+...+1a1a2)
≤a2(1a1−1a2+1a2−1a3+...+1ak−1−1ak)=a2(1a1−1ak)，
因为a1=1，ak=a，所以1a1−1ak<1，
所以A≤a2(1a1−1ak)即A【解析】(Ⅰ)根据题意即可写出 a的一个值；
(Ⅱ)由题意可知a1=1，ak=a，ak−1=aa2，ak−2=aa3，结合a2−a1，a3−a2，−ak−1构成等比数列，可推出a3是完全平方数，继而可得a3=a22，由此可知a2−a1，a3−a2，−ak−1为a2−1，a22−a2，…，a2k−1−a2k−2，即可求得 a；
(Ⅲ)由题意知a1ak=a，a2ak−1=a，…，aiak+1−i=a，(1≤i≤k)，从而可得A=a2ak−1ak+a2ak−2ak−1+...+a2a1a2，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论．
本题考查数列的应用，考查数列的性质，考查放缩法，裂项求和法，属难题．P(χ2≥x0)
0.05
0.025
0.010
0.001
x0
3.841
5.024
6.635
10.828
使用年限x/年
2
3
4
5
6
维修费用y/万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
碳含量(%)
0.31
0.32
0.34
0.31
0.30
0.31
0.32
0.31
0.33
0.32
ξ
1
2
3
P
15
35
15
η
0
1
2
3
P
127
29
49
827