湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题(含答案)

这是一份湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了求的值为，下列命题正确的是，方程的正整数解的个数为等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的.
1.求的值为（ ）
A.12 B.18 C.24 D.30
2.已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A. B. C. D.
3.下列命题正确的是（ ）
A.数据的中位数是5
B.若随机变量满足，则
C.已知随机变量，若，则
D.若随机变量，则
4.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
5.方程的正整数解的个数为（ ）
A.56 B.35 C.70 D.66
6.盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A.12600 B.6000 C.8200 D.12000
8.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A.2次传球后球在丙手上的概率是
B.3次传球后球在乙手上的概率是
C.11次传球后球在甲手上的概率是
D.次传球后球在甲手上的概率是
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A.三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.与同学不相邻，共有种站法
C.三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共有144种站法
D.不在排头，不在排尾，共有504种站法
10.将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A.事件与相互独立 B.事件与不相互独立
C. D.
11.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.数列是等比数列
C.数列是等比数列
D.的数学期望
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在一个列联表中，通过数据计算，则这两个变量间有关的可能性为__________.
参考表格：
13.的展开式中的系数为__________.
14.已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有__________个.
四､解答题：
15.（本小题满分13分）假设关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）的有关统计资料如表所示：
（1）求线性回归方程；
（2）估计当使用年限为10年时，维修费用是多少？
.
16.（本小题满分15分）某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
（2）试从甲､乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值､方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力.
17.（本小题满分15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
（3）对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
18.（本小题满分17分）某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在之外的次数，求及的数学期望：
（2）一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果：
经计算得，，其中为抽取的第次的碳含量百分比.
（i）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）若去掉，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）.
附：若随机变量服从正态分布，则..
19.（本小题满分17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
常德市一中高二第二学期第一次月考数学参考答案
一､单选题
1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.A
8.C 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是，故A错误；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，
甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，
它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，
所以概率为，故B错误；3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；次传球后球在甲手上的事件记为，则有，令，则
，于是得，
故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，故错误.
二､多选题
9.ABD
10.BD 【详解】将甲､乙､丙､丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，事件含有的基本事件数为，则，同理，
事件含有的基本事件数为，则，事件含有的基本事件数为，则，对于，即事件与相互不独立，不正确；
对于，即事件与相互不独立，正确；
对于C，，C不正确；对于D，，D正确.
11.ACD 【详解】由题知，，且，
；则；故A正确；
由上可得，故，则数列是等比数列，故B错误，C正确；且；则，故D正确.故选：ACD.
三､填空题
12.99% 13.-30 14.66
四､解答题：
15.【详解】（1）依题意可得，
，
，
，
线性回归方程为；
（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取，可得，
即估计当使用年限为10年时，维修费用是12.38万元.
16.【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是.
，
所以的分布列为：
.
（2）设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
所以，
.
所以的分布列为：
.则，
.
所以，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.
因此甲的实验操作能力较强.
17.【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
于是由全概率公式，得.
（2）由已知得，
.
（3）由（2）可得，即，
可猜想：，证明如下：由条件概率及，
得，
所以
18.【详解】（1）由已知得：抽取一次碳含量在之内的概率为0.9974，
所以，
又碳含量在之外的概率为0.0026，
故，因此.
（2）由得的估计值为，所以，
由所测数据可以看出10次抽检的碳含量均在之内，
因此不需要对当天的生产过程进行检查.
若去掉，剩下的数据的标准差
又注意到，
所以.
19.【解析】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数，即.
（2）由题意可知，因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以.
（3）证明：由题意知，
所以，因为，
所以
，
因为，所以，
所以，即.
0.05
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
使用年限年
2
3
4
5
6
维修费用万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
碳含量（%）
0.31
0.32
0.34
0.31
0.30
0.31
0.32
0.31
0.33
0.32
1
2
3
0
1
2
3