2024-2025学年河南省平顶山市叶县高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省平顶山市叶县高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数fx=lnx+x2，则f′1=( )
A. 3B. 12C. 1D. 0
2.某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为( )
A. 20B. 35C. 50D. 60
3.设随机变量X∼B10,0.4，则DX的值为( )
A. 1.2B. 1.8C. 2.4D. 3.6
4.已知函数f(x)=(x2−3)ex，则fx的极小值点为( )
A. −3B. 1C. 6e−3D. −2e
5.甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为( )
A. 316B. 313C. 38D. 34
6.设1+x+(1+x)2+⋯+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9=a0+a1x+⋯+a8x8+a9x9，则a2=( )
A. 120B. 84C. 56D. 36
7.为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师).受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有( )种．
A. 144B. 260C. 320D. 540
8.已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，且满足f′x−fx>0，则不等式e4f3x−4>e2xfx的解集为( )
A. 2,+∞B. e,+∞C. −∞,eD. −∞,2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于x−1x8的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共有8项B. 展开式中的常数项是70
C. 展开式中各项系数之和为0D. 展开式中的二项式系数之和为64
10.若随机变量X服从两点分布，其中PX=1=12，EX、DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. PX=0=12B. EX=12C. E2X=12D. DX=14
11.已知函数f(x)=(x−2)ex+axex，则( )
A. 当a≤0时，函数f(x)的减区间为(−∞,1]
B. 当a=e2时，函数f(x)的图象是中心对称图形
C. 若x=1是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为(e,+∞)
D. 若过原点可作三条直线与曲线y=f(x)相切，则实数a的取值范围为e3,+∞
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X∼Na,3，若P(X3a−2)，则实数a的值为 ．
13.已知函数fx=12x−csx，x∈−π2,π2，则fx的最小值为 ．
14.商场里有A,B两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有80%的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了A餐馆，则第31天选择A餐馆的概率P31为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=x3+ax2+bx+c在点P0,−2处的切线斜率为−1，且在x=1处取得极值．
(1)求函数fx的解析式；
(2)当x∈−1,2时，求函数fx的最值．
16.(本小题15分)
某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛．
(1)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求PBA；
(2)设所选的4人中男生和女生的人数分别为a,b，记X=a−b，求随机变量X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少?
(2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个?
(3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少?
18.(本小题17分)
甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分．
(1)若p=23，
(i)假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
(ii)求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率．
(2)若12≤p≤23，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx+ax，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)若直线y=ax为f(x)的切线，求a的值．
(3)已知a>0，若曲线C:y=f(x)在(1,f(1))处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.C
6.A
7.B
8.A
9.BC
10.ABD
11.AB
12.1
13.− 32−π12
14.0.5×0.630+0.5
15.(1)因为fx=x3+ax2+bx+c，
所以f′x=3x2+2ax+b，
由题意可知，f0=−2，f′0=−1，f′1=0，
所以f0=c=−2f′0=b=−1f′1=3+2a+b=0，解得a=−1，b=−1，c=−2，
所以函数fx的解析式为fx=x3−x2−x−2，经检验适合题意，
所以fx=x3−x2−x−2；
(2)由(1)知f′x=3x2−2x−1=3x+1x−1，
令f′x=0，则3x+1x−1=0，解得x=−13，或x=1，
当x∈−1,−13∪1,2时，f′x>0；当x∈−13,1时，f′x0，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)单调递增，
当a>0时，令f′(x)=0，解得x=a2，
当x∈(0,a2)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递增，无单调减区间；
当a>0时，f(x)在区间(0,a2)上单调递减，在(a2,+∞)上单调递增．
(2)设切点为(x0,f(x0))，依题意，f′(x0)=2x0−ax02=a，所以a=2x0x02+1，
又f(x0)−0x0−0=2lnx0+ax0x0=a，代入a=2x0x02+1可得，lnx0+2x02+1−1=0，
设g(x)=lnx+2x2+1−1，
则g′(x)=1x−4x(x2+1)2=(x2+1)2−4x2x(x2+1)2=(x2−1)2x(x2+1)2≥0，所g(x)在(0,+∞)单调递增，
因为g(1)=0，所以x0=1，a=1．
(3)f′(1)=2−a，f(1)=a，
所以曲线C:y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−a=(2−a)(x−1)，即y=(2−a)x+2a−2，
设ℎ(x)=f(x)−[(2−a)x+2a−2]=2lnx+ax+(a−2)x+2−2a，ℎ(1)=0，
ℎ′(x)=2x−ax2+a−2=(x−1)[(a−2)x+a]x2，
①当a≥2时，(a−2)x+a>0，所以ℎ(x)在0,1上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，ℎ(x)有且仅有一个零点，符合题意；
②当a=1时，ℎ′(x)=−(x−1)2x2≤0，ℎ(x)在0,+∞上单调递减，ℎ(x)有且仅有一个零点，符合题意；
③当1