2024-2025学年广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2−3i1−2i=( )
A. 8+iB. −4+iC. 8−7iD. −4−7i
2.已知向量a=(λ+1,3)，b=(2,3)，若a与a+b共线，则实数λ=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.已知等边▵ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则AF=( )
A. 12AB+34ACB. 12AB+56ACC. 12AB+ACD. 12AB+32AC
4.已知向量a,b，则“a=b”是“a2=b2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=( )
A. 54B. 1C. 78D. 58
6.已知在直角▵ABC中，角A､B､C所对边分别为a､b､c，若B=90∘且满足a= 2，c=1,BM⊥AC，且点M在AC上，则BA⋅BM的值为( )
A. 63B. 23C. 66D. 16
7.欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数z=eiθ=csθ+isinθ(i是虚数单位).已知复数z1=1− 3i,z2= 24(1+i)，设eiα=z1⋅z2，则α的值可能是( )
A. −5π12B. −π12C. 13π12D. 25π12
8.已知平面向量a，b满足a−b=1，a+b= 7，且b在a上的投影向量为32a，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=2+i，z2=2i−i2，则( )
A. z2的虚部为1B. z1z2为纯虚数
C. z1−z2= 2D. z2z1在复平面内对应的点位于第一象限
10.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2− 2bc，且B=2A，则▵ABC不可能为( )
A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
11.如图，某旅游部门计划在湖中心Q处建一游览亭，打造一条三角形DEQ游览路线．已知AB,BC是湖岸上的两条甬路，∠ABC=120 ∘,BD=0.3km,BE=0.5km,∠DQE=60 ∘(观光亭Q视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计)，则( )
A. DE=0.7kmB. 当∠DEQ=45 ∘时，DQ=7 620km
C. ▵DEQ面积的最大值为49 3400km2D. 游览路线DQ+QE最长为1.4km
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a和向量b的夹角为30°，a=2，b= 3，则a⋅b= ．
13.已知i是虚数单位，复数z=i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2022，则|z|= ．
14.在▵ABC中，AB⋅(2AC+BC)=0，sinC=13，则sin2A−sin2B的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1−8e2，CB=e1+3e2，CD=2e1−e2．
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若BF=3e1−ke2，且BF//BD，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知|a|=4,|b|=3，(2a−3b)⋅(2a+b)=61．
(1)求|a+b|；
(2)求向量a在向量a+b上的投影向量的模．
17.(本小题15分)
△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，且AB→ ⋅AC→ =−2．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2 3，求△ABC的周长的值．
18.(本小题17分)
养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，AO，OB为直线岸线，OA=2千米，OB=3千米，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB⌢，过弧AB⌢上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3．
(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；
(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
19.(本小题17分)
对于给定的正整数n，记集合Rn={α|α=(x1,x2,x3,⋯,xn),xj∈R,j=1,2,3,⋯,n}，其中元素α称为一个n维向量，特别地，0=(0,0,⋯,0)称为零向量.设k∈R，α=(a1,a2,⋯,an)∈Rn，β=(b1,b2,⋯,bn)∈Rn，定义加法和数乘：kα=(ka1,ka2,⋯,kan)，α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn).对一组向量α1，α2，…，αs(s∈N+,s≥2)，若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①α=(1,1)，β=(1,2)；
②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)，γ=(5,1,4)；
(2)已知α，β，γ线性无关，判断α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(3)已知m(m≥2)个向量α1，α2，…，αm线性相关，但其中任意m−1个都线性无关，证明：
①如果存在等式k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0(ki∈R,i=1,2,3,⋯,m)，则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0，l1α1+l2α2+⋯+lmαm=0(ki∈R,li∈R,i=1,2,3,⋯,m)同时成立，其中l1≠0，则k1l1=k2l2=⋯=kmlm．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.C
6.B
7.B
8.A
9.BCD
10.BCD
11.ACD
12.3
13. 2
14.127
15.解：(1)由已知，得BD=CD−CB=2e1−e2−e1+3e2=e1−4e2．
因为AB=2e1−8e2，所以AB=2BD．
又AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)由(1)，知BD=e1−4e2，若BF=3e1−ke2，
且BF//BD，可设BF=λBD(λ∈R)，
所以3e1−ke2=λe1−4e2，即3−λe1=k−4λe2．
又e1，e2是两个不共线的向量，所以3−λ=0k−4λ=0，解得k=12．

16.解：(1)由(2a−3b)⋅(2a+b)=61，得4a2−3b2−4a⋅b=61，而|a|=4,|b|=3，
则4×42−3×32−4a⋅b=61，解得a⋅b=−6，
所以|a+b|= a2+b2+2a⋅b= 42+32−2×6= 13．
(2)由(1)知，a⋅(a+b)=a2+a⋅b=10，
向量a在向量a+b上的投影向量为a⋅(a+b)|a+b|⋅a+b|a+b|，
所以向量a在向量a+b上的投影向量的模为|a⋅(a+b)|a+b|⋅a+b|a+b||=|a⋅(a+b)||a+b|=10 13=10 1313．

17.解：(1)因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，
所以a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
因为A∈0,π，所以A=23π
(2)因为AB→ ⋅AC→ =−2，所以cbcsA=−2，即−12cb=−2，所以cb=4，
由(1)知b2+c2−a2=−bc，所以(b+c)2−a2=bc
又a=2 3，所以(b+c)2−12=4，解得b+c=4，
所以△ABC的周长为a+b+c=2 3+4，
所以△ABC的周长为2 3+4．

18.解：(1)在▵AOB中，由余弦定理，得AB= OA2+OB2−2×OA×OB×csπ3= 22+32−2×2×3×12= 7
即岸线上点A与点B之间的直线距离为 7 千米．
(2)在▵PAB中， 7sin2π3=PAsinπ3−θ=PBsinθ，
则PA= 7 32sinπ3−θ=2 213sinπ3−θ，PB= 7 32sinθ=2 213sinθ0