2024-2025学年广东省惠州市高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省惠州市高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了 已知向量，则“”是“”的， 已知复数，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用复数的乘法化简可得结果.
【详解】.
故选：D.
2. 已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】C
【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解.
【详解】已知向量,,所以，
因为与共线，所以，解得.
故选：C
3. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】A
【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.
【详解】在中，取为基底，
因为点分别为的中点，，
所以，
所以.
故选：A.
4. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据数量积的定义结合充分条件、必要条件的概念可得结果.
【详解】由可得，故，所以.
由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.
综上得，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】C
【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
【详解】由题可知，，,
所以有，所以，得.
故选：C
6. 已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合相似三角形的性质，利用平面向量的数量积的定义公式，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由，则
由，则，
解得，
易知，则，
即，
.
故选：B.
7. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】变形复数，再利用复数的乘法运算求出，并表示成形式作答.
【详解】，，
，
依题意，，当时，，B正确，ACD错误
故选：B
8. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角.
【详解】由，得①，
由，得②，
由②-①，得，
由，得，所以，则，
设与的夹角为，则，因为，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则（ ）
A. 的虚部为1B. 为纯虚数
C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限
【正确答案】BCD
【分析】化简，再由复数的定义判断A，计算后判断BCD．
【详解】，虚部为2，A错；
，是纯虚数，B正确；
，C正确；
，对应点坐标为，在第一象限，D正确，
故选：BCD．
10. 在中，角， ，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等边三角形
C. 锐角三角形D. 钝角三角形
【正确答案】BCD
【分析】
由余弦定理求出，然后可得角，然后可选出答案.
【详解】由余弦定理，所以，又，所以，
故为等腰直角三角形.
故选：BCD
本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.
11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）
A.
B. 当时，
C. 面积的最大值为
D. 游览路线最长为
【正确答案】ACD
【分析】运用正余弦定理解三角形即可判断A B，在用余弦定理解三角形的同时结合基本不等式即可判断C D.
【详解】在中，由余弦定理得，
所以正确；
在中，由正弦定理，
得错误；
在中，由余弦定理，
，
当且仅当时等号成立，所以，
则的面积为，C正确；
由上可得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量和向量的夹角为30°，，，则______．
【正确答案】3
【分析】条件中给出两个向量的模和向量的夹角，直接代入公式进行计算即可．
【详解】解：量和向量的夹角为，，，
又，.
故3．
13. 已知是虚数单位，复数，则|z|＝______．
【正确答案】
【分析】根据复数的运算法则和周期性可得结果.
【详解】根据的周期性（周期为），
即，，，，
所以有,
可知,.
故
14. 在中，，，则的值为______．
【正确答案】
【分析】利用向量的数量积化简已知条件，再利用余弦定理和正弦定理化简即可求解.
【详解】在中，，
可得
即
由余弦定理可知，可得，
由正弦定理可知，
因为，
所以.
故答案为.
关键点点睛：本题解题的关键点是将已知条件转化为三角形的边和角，再利用正弦和余弦定理计算.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设，是两个不共线的向量，已知，，．
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明.
（2）根据向量平行的结论，求参数的值.
【小问1详解】
由已知，得．
因为，所以.
又与有公共点，所以，，三点共线．
【小问2详解】
由（1），知，若，
且，可设（），
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
16. 已知，.
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用数量积的运算律求出，再求出.
（2）利用投影向量的意义，结合向量模的定义求解.
【小问1详解】
由，得，而，
则，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量的模为.
17. △ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的周长的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解；
（2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长.
【小问1详解】
因，
所以，即，
所以，
因为，所以
【小问2详解】
因为，所以，即，所以，
由（1）知，所以
又，所以，解得，
所以△ABC周长为，
所以△ABC的周长为.
18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．
（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；
（2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
【正确答案】（1）千米
（2）万元
【分析】（1）由余弦定理计算即可；
（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，得
即岸线上点与点之间的直线距离为 千米．
【小问2详解】
在中， ，
则，
设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则
因为，所以，所以
所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．
19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.
（1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，；
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则.
【正确答案】（1）①线性无关；②线性相关；理由见解析
（2）向量，，线性无关；理由见解析
（3）①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到即可判断；
（3）①如果某个，，然后证明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可.
【小问1详解】
对于①，设，
则可得，所以，线性无关；
对于②设，
则可得，所以，，
可取不全为零，故，线线性相关；
【小问2详解】
设，
则，
因为向量，，线性无关，
所以，，，
解得，
所以向量，，线性无关；
【小问3详解】
①，
如果某个，，2，……，m，
则，
因为任意个都线性无关，
所以，，……，，，……，都等于0，
所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，……，全不为零，
所以由，
可得，
代入，可得，
所以，
所以，……，，
所以
关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断.