2024-2025学年广东省佛山市南海区桂城中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省佛山市南海区桂城中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=−1−3i，则z的虚部为( )
A. 3iB. −3iC. 3D. −3
2.cs2π12−sin2π12=( )
A. 12B. 33C. 22D. 32
3.若α−β=60 ∘，则tanα−tanβ− 3tanαtanβ=( )
A. 0B. 1C. 3D. 2
4.已知a= 2，且a⋅b=−2，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 12aB. 12bC. −aD. −b
5.已知向量a,b满足a=1,a+2b=2，且b−2a⊥b，则b=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
6.若cs2α=35，则sin4α+cs4α=( )
A. −1725B. 1725C. −825D. 825
7.要得到函数y=sinx+csx的图象，只需将函数y= 2cs2x的图象上所有的点( )
A. 先向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B. 先向左平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
C. 先向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D. 先向左平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
8.已知▵ABC中，AB=2,BC=3,∠ABC=60 ∘,BD=2DC,AE=EC，则AD⋅BE=( )
A. 1B. −2C. 12D. −12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点P3,−4，下列说法正确的有( )
A. sinα=35
B. sinα+csαsinα−csα=17
C. sinπ2+αsin2π+αtan−α−πcs−π+α=35
D. csα 1+sinα1−sinα+sinα 1+csα1−csα=−75
10.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列说法正确的是( )
A. cs(A+B)=csC
B. 若A:B:C=1:2:3，则a:b:c=1:2:3
C. 若sinA>sinB，则A>B
D. 若sin2A+sin2B−sin2C0,ω>0,φ0)在0,π上有且仅有两个零点，则t∈56,43
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csα=35，α为锐角，则csα+π6= ．
13.已知向量a,b的夹角为5π6，且a=2 3,b=(3,4)，则a+2b=
14.在▵ABC中，BA+BC=4，AC+AB=2，则▵ABC面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，已知a=1,−2，b=3,4．
(1)若3a−b//a+kb，求实数k的值；
(2)若a−tb⊥b，求实数t的值．
16.(本小题15分)
已知函数fx=2sinxcsx+2 3cs2x.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)当x∈−π3,π3时，求函数fx的值域．
17.(本小题15分)
在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知csC=35．
(1)若CB⇀⋅CA⇀=92，求ΔABC的面积；
(2)设向量x⇀=(2sin⁡B2, 3)，y⇀=(cs⁡B,cs⁡B2)，且x⇀//y⇀，b=5 3，求a的值
18.(本小题17分)
养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，AO，OB为直线岸线，OA=2千米，OB=3千米，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB⌢，过弧AB⌢上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3．
(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；
(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)若OT=− 3,1为ℎ(x)=msinx−π6的相伴特征向量，求实数m的值；
(2)记向量ON=1, 3的相伴函数为f(x)，求当f(x)=85且x∈−π3,π6时sinx的值；
(3)已知A(−2,3)，B(2,6)，ℎ(x)为(1)中函数，φ(x)=ℎx2−π3，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.CD
11.AD
12.3 3−410
13.2 13
14.43
15.解：(1)因为a=1,−2，b=3,4，
所以3a−b=31,−2−3,4=0,−10，a+kb=1,−2+k3,4=1+3k,4k−2，
因为3a−b//a+kb，
所以−10×1+3k=0×4k−2，解得k=−13．
(2)a−tb=1,−2−t3,4=1−3t,−2−4t，
因为a−tb⊥b，所以a−tb⋅b=1−3t×3+−2−4t×4=−5−25t=0，
解得t=−15．

16.解：(1)fx=sin2x+ 31+cs2x=sin2x+ 3cs2x+ 3
=2sin(2x+π3)+ 3
当2x+π3∈2kπ−π2,2kπ+π2k∈Z时，f(x)单调递增
这时，x∈kπ−5π12,kπ+π12
当2x+π3∈2kπ+π2,2kπ+3π2k∈Z时，f(x)单调递减
这时，x∈kπ+π12,kπ+7π12
∴函数fx=2sinxcsx+2 3cs2x的单调递增区间是kπ−5π12,kπ+π12k∈Z，单调递减区间是kπ+π12,kπ+7π12k∈Z.
(2)当x∈−π3,π3，2x+π3∈−π3,π，
∴sin(2x+π3)∈− 32,1,2sin(2x+π3)+ 3∈0,2+ 3，
所以函数fx的值域为0,2+ 3．

17.解：(1)∵CB⋅CA=92，csC=35
∴CB⋅CA=abcsC=ab⋅35=92
∴ab=152
∵在ΔABC中，C∈0,π2且csC=35
∴sinC= 1−cs2C= 1−352=45
∴SΔABC=12absinC=12×152×45=3．
(2)∵x=2sinB2, 3，y=csB,csB2
且x/​/y
∴2sinB2csB2= 3csB
∴sinB= 3csB
又∵sin2B+cs2B=1
∴sin2B+sinB 32=1
∴sin2B=34
∵在ΔABC中，B∈(0,π)
∴sinB= 32，则csB=12
∵在ΔABC中，A+B+C=π
∴sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC
= 32×35+12×45=3 3+410
又∵b=5 3且由正弦定理asinA=bsinB
∴a3 3+410=5 3 32
∴a=4+3 3．

18.解：(1)在▵AOB中，由余弦定理，得AB= OA2+OB2−2×OA×OB×csπ3= 22+32−2×2×3×12= 7
即岸线上点A与点B之间的直线距离为 7 千米．
(2)在▵PAB中， 7sin2π3=PAsinπ3−θ=PBsinθ，
则PA= 7 32sinπ3−θ=2 213sinπ3−θ，PB= 7 32sinθ=2 213sinθ0