广东省普宁市第二中学2024-2025学年七年级下学期第一次素质测评 数学试题（含解析）

这是一份广东省普宁市第二中学2024-2025学年七年级下学期第一次素质测评 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．
1. 下列图形中，与互为对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查对顶角，根据有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，进行判断即可．
【详解】解：通过观察与的位置特征，只有B中与同时满足有公共顶点，且的两边是的两边的反向延长线，故B选项，符合题意．
故选：B．
2. 目前全球最薄手撕钢产自中国，厚度只有0.000015米，约是A4纸厚度的六分之一，其中0.000015用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：把0.000015用科学记数法表示为；
故选:B．
3. 下列图形中，∠1与∠2是内错角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了内错角，解题的关键是掌握内错角的边构成“”形．根据内错角定义∶两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可．
【详解】解：A、与是内错角，故此选项符合题意；
B、与不是内错角，故此选项不符合题意；
C、与不是内错角，故此选项不符合题意；
D、与不是内错角，故此选项不符合题意．
故选：A．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方和幂的乘方计算，根据同底数幂乘除法计算，积的乘方和幂的乘方计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定知识逐项判断即可．
【详解】A项，∠1=∠5，根据同位角相等，两直线平行，可判定；
B项，∠1=∠2，则无法判定；
C项，∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行，可判定；
D项，∠3+∠5=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键．
6. 在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的特征：两数和与这两数差相乘可使用平方差公式，形如，即可得出答案．
【详解】解：A．，能用平方差公式，故本选项符合题意；
B．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意．
故选：A．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 过任意一点可作已知直线的一条平行线
B. 两条不相交直线是平行线
C. 过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直
D. 平行于同一直线的两直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线和垂线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．
根据平行线和垂线的定义及平行公理进行判断．
【详解】A．过不在直线上一点可作已知直线的一条平行线，故选项错误；
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线，故选项错误；
C．同一平面内过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直，故选项错误；
D．平行于同一直线的两直线平行，故选项正确；
故选D．
8. 若，则m的值是（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
而，
∴，
解得：，
故选：C．
9. 如图，直线、相交于点，，平分，，则的度数（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算；根据对顶角相等，得出，根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：因为直线、相交于点，，
所以，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以．
故选：A．
10. 若m、n为整数，且，则a的值不可能是（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键；根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出a的值．
【详解】解：，
，
m、n为整数，
，
或或或，
a的值不可能是，
故选：．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）．
11. 计算：_______________
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算．根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算，再进行减法运算即可．
【详解】解：；
故答案为：3．
12. 已知与互补，，则______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了互补的定义，理解“若两角的和为，则称这两个角互补．”是解题的关键．
【详解】解：与互补，
，
，
故答案为：．
13. 如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．
【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定；
添加利用内错角相等，两直线平行判定；
添加利用同旁内角互补，两直线平行判定．
故答案为：(答案不唯一)·
14. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式的乘除运算，先计算积的乘方运算，再计算乘法运算，最后计算除法运算即可．
【详解】解：
；
15. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（）的展开式的系规律（按a的次数由大到小顺序）．
请根据规律，写出的展开式中含项的系数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、杨辉三角中展开式系数的规律等知识，根据前四个展开式的系规律可知，含的项是的展开式中的第二项，从而得出的展开式中含项的系数，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
∴展开式中的第二项系数为，
由图中规律可知：第二项为，
∴的展开式中含项的系数是，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．
16. 先化简，再求值，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，先根据完全平方公式，单项式乘多项式运算法则，多项式乘以单项式运算法则进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
把，代入得：原式．
17. 完成下面推理过程．如图，点，分别在，上，连接、、，、分别交于点，已知，求证：．
证明：（已知），（___________），
（等量代换），
___________（同位角相等，两直线平行），
___________（___________）．
（已知），
___________（等量代换），
___________（内错角相等，两直线平行），
（___________）．
【答案】对顶角相等；；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据题意得到，可证明，得出，得到．可证明，即可得到结论．
【详解】证明：（已知），（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
∴（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
18. （1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母：
①过点画直线；
②在上画点，使的长度最小．
（2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）①见详解，②见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行线的作图，平行线的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①运用网格的性质，过点作，即可作答．
②运用网格的性质，且结合垂线段最短，则，即可作答．
（2）过点P作，且交于点，运用两直线平行，同旁内角互补，即可作答．
【详解】解：（1）①过点画直线，如图所示：
；
②在上画点，使的长度最小，如图所示：
；
（2）点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使，如图所示：
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）．
19 如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用．
（1）根据补角的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20. （1）化简：．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）8
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法混合运算，完全平方公式和平方差公式，幂的乘方，同底数幂乘法法则，解题的关键是熟练掌握．
（1）根据平方差公式，完全平方公式，以及多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（2）根据积的乘方及同底数幂乘法法则直接计算即可得到答案；
【详解】（1）解：，
；
（2）∵，
∴，
∴．
21. 实践与探索
【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．
（1）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为： ________________（用含字母a，b的式子表示）
【应用】请应用这个公式完成下面的问题
（2）计算：
（3）计算：
【答案】（1）；（2）；（3）17
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，平方差公式，逆用积的乘方运算公式计算，理解题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键．
（1）利用两个图形中阴影部分面积相等列式即可；
（2）利用（1）中的公式计算即可；
（3）利用平方差公式，逆用积的乘方运算公式，计算即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，
因此可以得到乘法公式；
（2）
；
（3）
．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．
22. 如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：________________________；
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知，，则的值为____________；
②若，，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②；
（3）13
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答．
（2）①直接把数值代入进行计算，即可作答．
②根据代入求值即可．
（3），然后代入数值化简计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积则：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①根据解析（1）得，
∵，
∴，
∴
∴；
②∵，，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴
．
23. 【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：类比应用】
（1）如图①，已知，，，则∠P的度数为________．
（2）如图③，已知，，，求的度数．
（3）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（4）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）根据阅读材料中得出的结论进行求解即可；
（2）过点作，根据阅读材料提供的方法，进行求解即可；
（3）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论；
（4）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（3）中结论得到，进而可得结论．
【详解】（1）解：根据阅读材料可知：，
∵，，
∴；
（2）过点作，
，
，
，
，
．
（3）如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（4）过Q作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．