重庆市巴蜀中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 小明和小红去看《哪吒 2》，小明想坐第六排，小红想坐第五排，买票时发现第六排还有 5 个位置，第五
排还有 9 个位置，请问他们看电影的座位有（ ）种不同选法.
A 14 B. 30 C. 45 D. 54
2. 的展开式中含 的项的系数为（ ）
A. B. C. D. 5
3. 已知数列 满足 ， ，那么 （ ）
A. 2 B. -3 C. D.
4. 已知函数 ，则 在区间 上的最大值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
5. 设 ，那么 （ ）
A. B. 31 C. 62 D.
6. 班会课上搞活动， 个同学被平均分成了 组，现从中选 位同学，要求这 人由其中 组的 人与其他
两组的各 人组成，那么不同的选取方案有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
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7. 设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 椭圆 的左右焦点分别是 ， ，过 的直线交椭圆于 A，B 两点，且
， ．则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项
是满足要求的，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9. 若方程 表示 曲线为 ．给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A. 当 时，曲线 表示椭圆
B. 当 或 时，曲线 表示双曲线
C. 若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则
D. 若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则
10. 已知函数 ， 是 的导数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 没有零点 B. 当 时， 有两个极值点
C. 对 ， 恒成立 D. 若 是 上的增函数，则
11. 现有 8 个小朋友玩游戏，其中 5 个小朋友手中拿的数字分别是 5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的
是数字 2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（ ）
A. 可以组成 720 个没有重复数字的六位数
B. 若不选 0，则可以组成 240 个相邻数字不相同的七位数
C. 可以组成 2160 个相邻两个数字不相同的八位数
D. 若 0 必选，则可以组成 832 个五位数
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 等差数列 的前 项和为 ， ，则 _____
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13. 的展开式中，所有二项式系数之和为 ，则二项式系数最大的项是_____．
14. 函数 对任意实数 都满足 ，且 ，若不等式 （其
中 ）有且只有两个整数解，则实数 的取值范围为_____．
四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数
（1）若 与 在公共点 处的切线相同，求 ；
（2）在（1）间的条件下，求函数 的极值.
16. 已知正项数列 满足 ，设 是数列 前 项和，且 ；
（1）证明： 是等差数列；
（2）求数列 通项公式；
（3）设 ，求数列 的前 项和 ．
17. 如图，四边形 为正方形， 平面 ，
（1）证明：
（2）若二面角 的正切值为 ，求平面 和平面 夹角的正弦值；
18. 已知椭圆 的左焦点为 ，椭圆上任意一点到 的距离最大值为 3；
（1）求椭圆 的方程；
（2）过原点且斜率为 的直线与椭圆 交于 两点；
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（ⅰ）当 时，设直线 的斜率分别是 ，求证： 为定值；
（ ⅱ ） 过 点 作 垂 直 于 的 直 线 交 于 ， 交 圆 于 两 点 ， 记
的面积分别为 ，求 的取值范围．
19. 已知函数
（1）若 对 恒成立，求实数 取值范围；
（2）将函数 在区间 上的所有极值点按从小到大排列，记第 个极值点为 ；请证明：
（ⅰ） 且
（ⅱ）
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