重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题 含解析

这是一份重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题 含解析，共23页。
1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号在答题卡上填
写清楚.
2、每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，可求出 ，根据集合的交集运算即可求解．
【详解】由题意， ，故 ；
又因为集合 ，
所以 .
故选：C.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据给定条件，利用同角公式求解即可.
【详解】由 ，得 .
故选：A
3. 已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的定义列方程求结果.
【详解】依题意， ，
所以 .
故选：B
4. 直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时 的
值为（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出 的面积是关于 的一个式子，利用基本不等
式即可求出答案.
【详解】圆心 到直线 的距离 ，
则弦长 为 ，
，
当且仅当 ，即 时， 面积取得最大值.
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故选：B.
5. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生
物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2
株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】记事件 子三代中基因型为 ，记事件 选择的是 、 ，记事件 选择的是 、
，记事件 选择的是 、 ，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件 子三代中基因型为 ，记事件 选择的是 、 ，记事件 选择的是 、
，记事件 选择的是 、 ，
则 ， ， .
在子二代中任取 颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 ；
②若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 ；
③若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 .
综上所述，
.
因此，子三代中基因型为是 的概率是 .
故选：D.
6. 已知高为 4 的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积.
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【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，
等腰梯形 圆台轴截面，其内切圆 与梯形 切于点 ，
其中 分别为上、下底面圆心，如图，
设圆台上底半径为 ，则下底半径为 ， ，
而等腰梯形 的高 ，因此 ，解得 ，
所以该圆台的表面积为 .
故选：D
7. 已知抛物线 的焦点为 为抛物线上的两点，满足 ，线段 的中
点为 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得 ，结合基本不等式计算
即可求解.
【详解】设 ，过点 A，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，
则 ，如图，
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因为点 M 为线段 的中点，所以点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 ，
在 中，因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 （当且仅当 时，等号成立），
所以 ，
即 的最大值为 ．
故选：C．
【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出 ，结合
分析即可求解.
8. 已知对任意的正数 ，不等式 恒成立，则正数 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式两边同构函数，设 ，从而转化问题为 恒成立，进
而结合导数分析函数 的单调性得到 对 恒成立，进而得到 对 恒
成立，即 ，再构造函数 ， ，进而结合导数求解即可.
【详解】由 对 恒成立，且 ，
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即 恒成立，
即 恒成立，
设 ，则 ，
因为 ，即 ，
即函数 上单调递增，
则由 恒成立，
可以转化为 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，即 .
设 ， ，则 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
又 ，所以实数 a 的取值范围为 .
故选： .
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，利用同构函数思想，将问题转化为
恒成立，再结合导数进行求解即可.
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，
有多项符 合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分)
9. 复数 满足 ，则（ ）
A. B. 为纯虚数
C. D.
【答案】ACD
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【解析】
【分析】根据复数的模、纯虚数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设 ，其中 .
根据 列出方程： 根据复数的模的计算公式，对于复数 ，
其模 ，已知 ，则 ，两边同时平方可得 ①.
根据 列出方程： 先计算 ，
再根据复数模的计算公式可得 ，
已知 ，则 ，两边同时平方可得 ，
即 ②.
将①代入②可得： ，化简可得 ，解得 .
把 代入①可得： ，即 ， ，
解得 .所以 .
选项 A： 根据共轭复数的模的性质，对于复数 ， ，已知 ，所以 ，正确.
选项 B： 纯虚数是指实部为 ，虚部不为 的复数，而 的实部 ，所以 不是纯虚
数，错误.
选项 C： 当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，正确.
选项 D： 当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
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所以 ，正确.
故选：ACD
10. 定义在 上的函数 满足 ，且 的图象关于 对称，
设 ，则（ ）
A. 为奇函数
B. 为偶函数
C. 的图象关于点 中心对称
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数图象变换可得对称性，进而可得周期性，可得答案.
【详解】对于 A，函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到，
直线 向右平移 个单位可得直线 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 ，即 轴对称，函数 为偶函数，故 A 错误；
对于 BC，由 A 可知 ，由 ，
则 ，所以函数 的图象关于 成中心对称，
由 ，
则函数 的图象可由函数 向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，
由点 与 轴向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到点 与直线 ，
则点 与直线 分别是函数 图象的对称中心与对称轴，
易知函数 图象的对称中心与对称轴分别是点 与直线 ， ，
当 时，直线 是函数 图象的对称轴，函数 是偶函数，故 B 正确，
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当 时，点 是函数 图象的对称中心，故 C 正确，
对于 D，由 ，则 ，
易知函数 的最小正周期 ，
则 ，易得 ， ， ， ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 ，从 的
前 项中任取两项，它们之和为奇数的概率为 ，数列 的前 项积为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前几项，即可判断 A，B；根据组合数以及概率的计算公式，即
可判断 C；理解数列的前 n 项积的概念，并通过运算即可判断 D．
【详解】对于 A ，当 时， ，即 ，
又因为
的偶数项所成的数列是以首项为 4，公差为 2 的等差数列，
，故 A 正确；
对于 B，
，故 B 错误；
对于 C，由选项 A 得 的奇数项所成的数列是以首项为 ，公差为 的等差数列，
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偶数项所成 数列是以首项为 4，公差为 2 的等差数列，
，故 C 错误；
当 时，
，
又 ,
所以 ，故 D 正确.
故选：AD．
【点睛】思路点睛：利用数列的递推关系得出 的偶数项和奇数项均为等差数列，根据组合数以及概率
的计算公式表达出 是解题关键.
三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分)
12. 在 的展开式中系数最大的项为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果.
【详解】 的展开式的通项公式为 ,
所以系数为 ，其中 ，
当 为奇数时， 为负数，系数不是最大，
，
所以系数最大的项为
故答案为：
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13. 已知椭圆 的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，且
内切圆的半径为 ，则椭圆 的方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得 ，从而求得椭圆 的方程.
【详解】椭圆的离心率 ①
内切圆的半径 ，
则 ，
即 ②，
根据椭圆的知识有 ③，
由①②③解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
故答案为：
14. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在
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上存在零点，则 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.
【详解】由题意，当 时， ，
因为函数 ，若 在 上有且只有两个极值点，
则 ，解得 ．
又对任意实数 ， 在 上存在零点，且 的长度为 ，
而函数 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 已知 的内角 所对的边分别为 ，面积为 ，且满足
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理与辅助角公式，可得答案；
（2）由正切的和角公式，利用直角三角形的性质，可得答案.
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【小问 1 详解】
由 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，解得 或 （舍去），所以 .
【小问 2 详解】
由 ，则 ，
整理可得 ，则 ，
由 ，解得 ，则 ，
由 ，则 ，
由正弦定理可得 ，则 ， ，
所以 的周长 .
16. 如图所示，在正三棱柱 中， .
（1）证明: ;
（2）点 在棱 上且满足 ，求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定定理，可得答案；
（2）由题意，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据公式，可得答案.
【小问 1 详解】
分别取 的中点分别为 ，连接 ，如下图：
在正三棱柱 中，易知 平面 ， 为等边三角形，
因为 平面 ，所以 ，
在正 中，由 为 的中点，则 ，
因 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在三棱柱 中，易知四边形 四边形 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
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取 的中点为 ，连接 ，易知 两两垂直，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如下图：
设底面正 的边长为 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
在矩形 中， ，则 ，
由图可得 ，解得 ，
则 ，
取 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，
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则 .
17. 甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加 两个闯关环节，闯关规则如下:① ， 两
个环节共有 3 次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将 3 次机会全部用完；某同学参加 环节(或
环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会.
②若 环节闯关成功即进入 环节；若 环节闯关失败，那么继续重复 环节，直到 3 次机会用完；若进
入 环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复 环节，直到 3 次机会全部用完.
③参加 环节，闯关成功可以获得奖金 100 元；参加 环节，每次闯关成功可以获得奖金 200 元；不管参
加哪一个环节，闯关失败均无奖金.
已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是 ;乙同学参加 环节闯关成功的概率是 ，参加 环节闯
关成功的概率是 .甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的.
（1）已知甲同学 环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次 环节闯
关的概率;
（2）活动结束时乙同学获得的奖金为 元，求 的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法，列举出符合题意的情况，根据概率的加法公式以及乘法公式，可得答案；
（2）由题意写出随机变量的可能取值，利用概率的计算公式求得分布列，结合期望的公式，可得答案.
【小问 1 详解】
由题意可得甲同学闯关中符合题意的情况为：
①第一次机会， 环节闯关成功；第二次机会， 环节闯关成功；第三次机会， 环节闯关成功.
②第一次机会， 环节闯关成功；第二次机会， 环节闯关失败；第三次机会， 环节闯关成功.
③第一次机会， 环节闯关成功；第二次机会， 环节闯关成功；第三次机会， 环节闯关失败.
所以符合题意的概率
【小问 2 详解】
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由题意可知 的可能取值有 ，
则 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为
则 .
18. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）若函数 在 上的最大值为 0，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）答案见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）求导得 ，则得到切线斜率，再写出切线方程即可；
（2）求导得 ，再分 ， 和 讨论即可；
（3）分 ， 和 讨论即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
， ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ．
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【小问 2 详解】
由题意得 的定义域为 ，
，
①当 时， ，
所以 上单调递增．
②当 时， ，
由 ，解得 ，
不妨设 ，则由韦达定理有 ，
又 ，
，即 ，
故 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减．
③当 时， ，
可得 ，所以 在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在当 时， 在 上单调递减，
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在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减．
【小问 3 详解】
①当 时， 在 上单调递增， ，矛盾；
②当 时， 在 上单调递增，
所以当 时， ，矛盾；
③当 时，所以 在 上单调递减， ，符合题意，
综上：所求实数 的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得 ，再合
理分类讨论即可.
19. 已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三
角形的面积为 2 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线
与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 .
（i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ;
（ii）设数列 的前 项和为 .求证:
对 .
(其中 表示不超过 的最大整数，例如 )
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【答案】（1）
（2）（i）证明见解析； ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，然后由虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 可得答案；
（2）（i）由（1）可得 ， ，然后由导数知识可得切线斜率，即可得切线方程，
与渐近线方程联立后可得 坐标，最后结合 可完成证明，并得到通项公式；
（ii）由 ，可证明 ；由题可得
，然后构造函数证明
即可证明 .
【小问 1 详解】
由题可得 ，又 ，
则 ，又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2，
则 ，则 ，故双曲线方程为： ；
【小问 2 详解】
（i）因 在双曲线上，
则 .
因 ，则 在第一象限，
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则此时点 P 满足方程： ，
则 ，故点 P 对应切线斜率为：
.
则切线方程为： .
与渐近线 联立，可得 ，同理可得 .
则 ，
又 ，
则 ，
又 ，则 ，
故数列 是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列，则 ；
（ii）由（1）可得 ，则 .
则 ，
注意到
，
又 ，则 ；
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另一方面， .
注意到 时， ，则 .
则
，又 ，
则 .
下面证明： ，
注意到 ，
则要证 ，即证 ，
注意到 ，
则证明 .
令 ，因 ，则 ，则对于函数 .
有 ，
令 ，则 ，
则 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又注意到 ，则当 时， .
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则 .
最后由不等式同向可加性可得：
又注意到 ，则 ，
则 .
则
.
综上可知， .
【点睛】关键点睛：对于圆锥曲线的切线，可利用导数，从而简化运算；对于数列不等式，多利用放缩法，
或将需证不等式两边化为代数式相加的形式，再利用作差法，构造函数，数学归纳法证明多项式的大小关
系.
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