四川省南充市西充中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学1试题（Word版附解析）

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命题教师： 审题教师： 总分：150 分 时长：120 分钟
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. （ ）
A. B. 0 C. -1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，结合诱导公式即可求值.
【详解】由诱导公式可知， .
故选：A.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式以及正弦的和差角公式即可求解.
【 详 解 】
．
故选：B．
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果.
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【详解】由 ，得 .
故选：D
4. 函数 的单调递增区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】由 ，
可得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：A.
5. 函数 的部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】由偶函数的性质和特殊值 可得.
【详解】 的定义域为 ， ，
则 为偶函数，图象关于 轴对称，故排除 AC，
又 ，排除 B，只有 D 符合，
故选：D.
6. 求值： （ ）
A. 0 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
分析】利用辅助角公式计算即可.
【详解】
，
故选：
7. 将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，所得图象关于直线
对称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出平移后的函数解析式，再结合余弦函数的性质列式求解.
【详解】依题意， 的图象关于直线 对称，
则 ，解得 ，而 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：B
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8. 若方程 在区间 上有 4 个不同的实根，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，求得 范围，再结合 与曲线 的交点即可求解；
【详解】设 ，得 ，
则问题转化为直线 与曲线 在 上有 4 个交点，
于是 ，解得 .
故选： B.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各式计算结果为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式计算可判断 A，B，C，利用两角和的正切公式可判断 D.
【详解】对 A： ，故 A 满足；
对 B： ，故 B 不满足；
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对 C： ，故 C 满足；
对 D： ，故 D 满足.
故选：ACD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 关于 对称
B. 的最小正周期为
C. 的定义域为
D. 在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正切函数性质逐一计算求解即可判断各选项.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
所以当 时， 的图象关于 对称，A 正确；
对于 B， 的最小正周期为 ，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，C 错误；
对于 D，若 ，则 ，又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，D 正确.
故选：ABD
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11. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 的图象关于直线 对称
C. 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
D. 若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图象求得 ，对于 A、B，代入验证即可；对于 C，利用平移左加右减的
规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于 D，先判断出单调性，求出最值，进而求解.
【详解】由题图可得 ， ，故 ，所以 ，
又 ，即 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，所以 ．
对于 A：当 时， ，故 A 正确；
对于 B：当 时， 为最小值，
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故 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
对于 C：将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数：
的图象，故 C 错误；
对于 D：当 时， ，
则当 ，即 时， 单调递减；
当 ，即 时， 单调递增，
因为 ， ， ，
所以方程 在 上有两个不相等的实数根时，
的取值范围是 ，故 D 正确．
故选：ABD
三、填空题
12. 已知 是第四象限角， ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为 是第四象限角， ，
所以 ，则 .
故答案为：
13. 已知扇形的面积为 8，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为__________.
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【答案】12
【解析】
【分析】根据弧长公式及扇形面积公式列式计算求出 ，即可得出扇形周长.
【详解】设扇形的弧长为 l，半径为 r，由于扇形圆心角的弧度数是 4，
则 ，又因为 ，即 ，
所以 .
故其周长 .
故答案为：12.
14. 函数 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系得到 ，结合 和余弦图象，求出最小
值.
【详解】 ，
因 ，所以 ， ，
，故最小值为 .
故答案为：
四、解答题
15 （1）化简 ；
（2）已知 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
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【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系和完全平方公式求解即可.
【详解】（1）由诱导公式可得
；
（2）由 ，即 ，
可得 ，
所以 .
又 ，所以 ， ，则 ，所以 .
16. 函数 的部分图象如图：
（1）求 解析式；
（2）写出函数 在 上的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象求得 ，从而求得 解析式.
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（2）利用整体代入法求得 在区间 上的单调递减区间.
【小问 1 详解】
由图象知 ，所以 ，又过点 ，
令 ，由于 ，故 所以 .
【小问 2 详解】
由 ，
可得 ，
当 时 ，
故函数 在 上的单调递减区间为 .
17. 设函数 .
（1）求 的最小正周期和对称中心；
（2）若函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值
域.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）借助三角恒等变换将 化简为正弦型函数后结合正弦型函数的性质即可得；
（2）由平移可得 解析式，结合函数区间与正弦型函数的性质计算即可得.
【小问 1 详解】
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，
则 ，
令 ，解得 ，
即 的最小正周期为 ，对称中心为 ；
【小问 2 详解】
函数 的图象向左平移 ，
即可得 ，
则当 时， ，
故 ，
即 ，
即函数 在区间 上的值域为 .
18. 已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值：
（3）求 的值.
【答案】（1） ；
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（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）同角三角函数平方关系求得 ， ，再由
及差角余弦公式求值即可.
（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得 ，即可求值.
（3）由（1）及和角正余弦公式求 、 ，由（2）及平方关系求 ，最后应用差角余弦公式求
，结合角 范围求 .
【小问 1 详解】
由题设， ， ，
∴ ， ，
又 .
【小问 2 详解】
.
【小问 3 详解】
由 ，则 ，
由 ，则 ，
∴ ， ，又 ， ，则 ，
∴ ，而 ，故 .
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19. 如图，某公园有一块扇形人工湖 OMN，其中圆心角 ，半径为 1 千米，为了增加观赏性，
公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一
个观景台，形状为 ，记
（1）当角 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.
（2）若在 OA 的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米 8 万元 不计桥的宽度 ；且建造观
景台的费用为每平方千米 16 万元，求建造总费用的范围.
【答案】（1） ，最大值为 (平方千米)；
（2） 万元
【解析】
【分析】(1)三角函数相关知识，利用角 来表示矩形边长，进而表示出面积和角 的函数关系式，求函数
最值即可；
(2)由题意可求得建造总费用 ，利用换元法及二次函数的性质求解即可．
【小问 1 详解】
由题意可得 ，其中 ，
在 中， ，则
所以
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，矩形 的面积取最大值 ，
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所以当 时，荷花池的面积最大，最大面积 (平方千米)；
【小问 2 详解】
由(1)可知 ，则
，
设建造总费用为 y 万元，
则
令 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，
所以
所以建造总费用的范围为 万元．
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