四川省南充市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题2含解析

这是一份四川省南充市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题2含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（说明：本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】 .
故选：D.
2. 在 中， ， 、 分别是 、 的中点，则（ ）
A. 与 共线 B. 与 共线
C. 与 相等 D. 与 相等
【答案】B
【解析】
【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.
【详解】由题意可知， 与 不共线，A 错；
因为 、 分别是 、 的中点，所以， ，故 与 共线，B 对；
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因为 与 不平行，所以 与 不相等，C 错；
因为 ，D 错．
故选：B.
3. 已知函数 为偶函数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，列式求解.
【详解】 为偶函数，则 ， ，取 ，则
.
故选：D.
4. 函数 的图像，保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位长度后
得到 的解析式为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数图像变换求解即可.
【详解】将函数 的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的 得到 ，再向右平移 个单位长度后
得到 ， ，
故选:C.
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5. 函数 与函数 图像的交点个数是（ ）个
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数图象观察即可得出.
【详解】画出 和 的函数图象，因为 ， ，结合图象可得函数
与函数 图像的交点个数是 5 个.
故选：A.
6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解.
【详解】 ，
故选:A．
7. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】利用和差化积公式，即可求值.
【详解】 ．
故选：A.
8. 若函数 在区间 内有两个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质及零点个数求参数范围.
【详解】由题设 上 有两个零点，
所以 ，可得
故选：B
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列式子运算正确的有（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，由切化弦，及辅助角公式，正弦二倍角公式化简即可，对于 B，由
可判断，对于 C，由两角差正切公式可判断，对于 D，由
可判断.
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【详解】
A 正确；
，B 错误，
，C 正确，
因为 ，
所以 ，D 正确，
故选：ACD
10. 在锐角△ABC 中，三个内角分别是 ， ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】易得 ， ，再根据正切函数的单调性即可得解.
【详解】由题意可知 ， ， ，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
故 AC 正确，BD 错误.
故选：AC.
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11. 已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，下列说法正确的
是（ ）
A. 函数 的最小正周期为 2
B.
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 若方程 在 上有两个不等实数根 ，则 ．
【答案】BC
【解析】
【分析】首先通过图象的最值确定 的值，再根据图象上两点的横坐标求出周期 ，进而得到 的值，然
后将特殊点代入函数求出 的值，最后根据正弦函数的对称轴性质以及方程根的对称性来逐一分析选项.
【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以 .
函数 的图象过点 和 ，这两点间的距离是 个周期，即 ，那么 ，故 A
错误；
根据正弦型函数的周期公式 （ ），可得 ，所以 .
把点 代入 中，得到 ，即 .
因为 ，所以 ， ，解得 ，故 B 正确；
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由上分析可得： . 令 ，解得 .
当 时， ，所以函数 的图象关于直线 对称，故 C 正确；
函数 图象在 上，其对称轴为 ，即 .
若方程 在 上有两个不等实数根 ，根据正弦函数图象的对称性可知
.所以 ，故 D 错误.
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 为定义在 上的偶函数，在区间 上单调递减，且满足 ，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及函数单调性求解即得.
【详解】因为 为定义在 上的偶函数，则不等式 ，
不等式化为 或 ，而 ，于是为 或 ，
又函数 在区间 上单调递减，则 在 上单调递增，
解 ，得 ，解 ，得 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
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13. 已知 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式求出 的值，再由余弦的二倍角公式可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
则
故答案为： .
14. 如图，已知 是半径为 1，圆心角为 的扇形. 是扇形弧上的动点， 是扇形的内接平行四
边形，则四边形 ABCD 的面积最大值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】作 于点 ，作 于点 ，将四边形 ABCD 的面积转化为矩形 EFCD 的面积，
设 ，将矩形 EFCD 的面积表示为 ，应用三角运算及三角函数性质求最大值即可.
【详解】解：如图：作 于点 ，作 于点 ，
则矩形 EFCD 的面积等于平行四边形 ABCD 的面积，
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设 ，则 ，
在 Rt 中， ，
所以 ，
所以矩形 EFCD 的面积为
因为 ，所以 ，
当 即 时，矩形 EFCD 的面积最大为 ，
所以平行四边形 ABCD 的面积最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. （1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ， 都是锐角，且 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
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【解析】
【分析】(1)利用正弦两角和差公式展开，再把切化弦，即可求解；
(2)利用正切的和角公式，结合角的范围，即可求角.
【详解】（1）由
联立解得：
所以 ；
（2）由 ，可得 ，
由于 是锐角， ,所以 是锐角，
则 ，
由于 ，所以 还是锐角，
即 .
16. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的定义域；
（2）当 时，解关于 的不等式： ．
【答案】（1）当 时 ；当 时， ．
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，下面分类讨论：当 时， ；当 时， 即可求
得 的定义域；
（2）根据函数的单调性解答即可；
【小问 1 详解】
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由 ，得 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 的定义域是当 时 ；当 时， ．
【小问 2 详解】
当 时，任取 ，且 ，
则 ，所以 ．
因为 ，所以 ，即 ．
故当 时， 在 上是增函数．
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，即不等式 解为 .
17. 已知函数 .
（1）求 的单调递增区间，并用五点法作出 在区间 内的图象；
（2）若函数 在区间 上恰有一个零点，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） ，图象见解析；
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简 ，即可利用整体法求解单调性，根据
五点作图法即可求解；
（2）由（1）图象即可求解.
【小问 1 详解】
因为
，
即 ，所以 ，
令 ,解得 ，
故 的单调递增区间为 ；
依题意可得如下表格：
0
0 1 0 0
故 在区间 内的图象如下所示：
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【小问 2 详解】
若函数 在区间 上恰有一个零点，
即 在 只有一个交点，
， ，
结合（1）的图象易知：实数 m 的取值范围 .
18. 已知函数 .
（1）存在 使得不等式 有解，求实数 k 的取值范围；
（2）若函数 满足 ，若对任意 且 ，不等式
恒成立，求实数 m 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先判断 的单调性，由题意 ，由参数分离和二次函数的最值，可得 的范
围；
（2）由条件求得 ，运用换元法和基本不等式，计算可得 的最大值.
【小问 1 详解】
.对任意 ，
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有 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，因此 在 上递增.
因为 ，所以 ，即 在 时有解.
当 时， 的最大值为 2，所以 ；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，不等式 恒成立，
即 ，
令 ，则在 时 恒成立，
因为 ，由基本不等式可得： ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，则实数 的最大值为 .
19. 已知函数 .
（1）求方程 在 上的解集；
（2）设函数 ；
（i）证明： 在 有且只有一个零点；
（ii）在（i）的条件下，记函数 的零点为 ，证明： .
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可；
（2）（i）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii）然后利用换元法求
值域即可证明.
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【小问 1 详解】
所以 .
所以 或
当 时， ，则 ，又 ，所以 或 ，
当 ，则 ，又 .
所以 或 ，所以 或 ，
所以方程 在 上的解集为 .
【小问 2 详解】
（i）设 .
当 ，则 ，
此时 在区间 上单调递增，
又 在区间 上也单调递增，所以 在区间 上单调递增，
又
所以 在 时有唯一零点，
当 ，所以 ，
所以 在 上没有零点，
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综上， 在 有唯一零点 .
（ii）记函数 的零点为 ，
所以 ，且 ，所以 ，
所以 ，
令 ，因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以 .
【点睛】
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