专题05 二次函数中的平移、旋转、对称 (五大题型)学生版-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题05 二次函数中的平移、旋转、对称 (五大题型)学生版-2025年中考数学压轴训练，共27页。试卷主要包含了 二次函数的平移变换，平移与增加性变化，二次函数的翻转问题的解题思路，二次函数图象的翻折与旋转等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
1. 二次函数的平移变换
2.平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
3.二次函数的翻转问题的解题思路：
①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；
②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；
③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；
④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转
题型一：二次函数中的平移问题
1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）．
（2）当的纵坐标为3时，求的值；
（3）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象求出的取值范围．
2．（2024•平原县模拟）已知抛物线．
（1）写出抛物线的对称轴： ．
（2）将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧），若的面积为4，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，，分别过点，的两条直线，交于点，且，与轴不平行，当直线，与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上．
3．（2024•和平区一模）已知抛物线，为常数．经过，两个点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）抛物线的顶点为 ；
（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线 ．
4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值．
5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为，且图象过点，过，两点作直线．
（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；
（2）将二次函数向左平移1个单位，得函数 ；函数与坐标轴的交点坐标为 ；
（3）在（2）的条件下，将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．
7．（2024•温州模拟）如图，直线分别交轴、轴于点，，抛物线经过点．
（1）求点的坐标和抛物线的函数表达式．
（2）若抛物线向左平移个单位后经过点，求的值．
8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数图象经过，、三点．
（1）求该二次函数解析式；
（2）将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式．
9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线经过点，判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）平移抛物线使其顶点仍在直线上，若平移后抛物线与轴交点的纵坐标为，求的取值范围．
10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
11．（2023•原平市模拟）（1）计算：；
（2）观察表格，完成相应任务：
任务一：补全表格；
任务二：观察表格不难发现，当时代数式的值与当时代数式的值相等，我们称这种现象为代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式，变形，得到③
，将与看成二次函数，则将的图象④ （描述平移方式），可得到的图象．若代数式参照代数式取值延后，延后值为3，则代数式⑤ ．
12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
【观察探究】：
方程的解为： ；
【问题解决】：
若方程有四个实数根，分别为、、、．
①的取值范围是 ；
②计算 ；
【拓展延伸】：
①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当时，直接写出自变量的取值范围 ．
13．（2023•花山区一模）已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求，的值；
（2）将抛物线向下平移个单位得到抛物线，存在点在上，求的取值范围；
（3）抛物线经过点，直线与抛物线相交于、（点在点的左侧），与相交于点、（点在点的左侧），求的值．
14．（2023•环翠区一模）已知抛物线经过点和点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当自变量满足时，求函数值的取值范围；
（3）将此抛物线沿轴平移个单位长度后，当自变量满足时，的最小值为5，求的值．
15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线的图象经过．
（1）求的值及抛物线的顶点坐标；
（2）当时，求的最大值与最小值的和；
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点．设点到轴的距离为，求关于的函数关系式，并直接写出当随的增大而减小时，的取值范围．
16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左边），与轴交于点，其中点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为，联结．
①如果，求四边形的面积；
②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标．
17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数，为常数）的图象经过点，点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交二次函数的图象于点，连接．
（1）求该二次函数的表达式及点的坐标：
（2）若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围；
（3）若为轴上且位于点下方的一点，为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的横坐标：若不存在，请说明理由．
18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
（2）当函数值时，自变量的取值范围： ；
（3）如图1，将函数的图象向右平移4个单位长度，与的图象组成一个新的函数图象，记为．若点在上，求的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点的坐标为，在上是否存在点，使得．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数的图象沿轴向右平移，再沿轴翻折，得到新函数的图象，则称函数是函数的“值衍生抛物线”．已知．
（1）当时，
①求衍生抛物线的函数解析式；
②如图1，函数与的图象交于，，两点，连接．点为抛物线上一点，且位于线段上方，过点作轴，交于点，交抛物线于点，求与存在的数量关系．
（2）当时，如图2，函数与轴交于，两点，与轴交于点，连接．函数与轴交于，两点，与轴交于点．点在抛物线上，且．请直接写出点的横坐标．
20．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且．求的值；
（3）平移抛物线，使其（备用图）顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．
21．（2023•米东区模拟）如图，已知二次函数，为常数）的图象经过点，点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，连结．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围．
22．（2023•驻马店二模）如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，已知点坐标为．
（1）求抛物线解析式及其顶点坐标．
（2）若将抛物线向右平移个单位，得新抛物线“”，若“”与坐标轴仅有两个交点，求值．
（3）若点为线段上一动点，过点作轴平行线，该平行线与“”交点为，请直接写出点的纵坐标的取值范围．
23．（2023•宝鸡二模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．将抛物线向右平移一个单位得到抛物线．
（1）求抛物线与的函数解析式；
（2）连接，探究抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二：二次函数中的翻折问题
24．（2024•江西模拟）已知二次函数经过，两定点（点在点的左侧），顶点为．
（1）求定点，的坐标；
（2）把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式；
（3）在（2）中，已知的面积为8．
①当时，求图象中的取值范围；
②若直线与图象从左到右依次交于，，，四点，若，求的值．
25．（2023•零陵区三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求、两点的坐标（用含的式子表示）；
（2）将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；
（3）已知直线，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为（包括点，，图象上恰有一个点到直线的距离为2，直接写出的取值范围．
26．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，，且平行于轴，与抛物线交于、两点在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
（1）当时，求点的坐标；
（2）连接、、，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
27．（2024•盐城模拟）已知抛物线为常数且与轴交于点．
（1）点的坐标为 ；对称轴为 （用含的代数式表示）；
（2）无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），则点的坐标为 ；
（3）若，且自变量满足时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；
（4）将点与点之间的函数图象记作图象（包含点、，若将在直线下方的部分保持不变，上方的部分沿直线进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，求的值．
28．（2023•扶余市二模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）如图，把原抛物线轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线轴上方的部分记作图形，在图形中，回答：
①点，之间的函数图象所对应的函数解析式为 ；
②当时，求的取值范围；
③当，且时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出的值．
29．（2023•余江区一模）已知抛物线
（1）当时，
①抛物线的顶点坐标为 ．
②将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 ．
（2）无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点左侧）的长度都不变，求的值和的长；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，，是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
30．（2023•越秀区校级三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，将二次函数图象中轴左侧部分沿轴翻折，保留其他部分得到新的图象．
（1）求的值；
（2）①当时，图与轴交于点，在的左侧），与轴交于点．当为直角三角形时，求的值；
②在①的条件下，当图象中时，结合图象求的取值范围；
（3）已知两点，，当线段与图象恰有两个公共点时，直接写出的取值范围．
题型三：二次函数对称问题
31．（2024•雁塔区校级二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）抛物线与抛物线关于直线对称，是抛物线的轴上方且在对称轴左侧的一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，点、关于抛物线的对称轴对称的点分别为、．试探究是否存在一点，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数的图象是．
（1）求关于点成中心对称的图象的解析式；
（2）当时，的最大值为5，求的值．
33．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于，连接，作直线．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标；
（3）将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的横坐标并写出其中一种情况的求解过程．
34．（2023•海安市模拟）已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．
（1）判断：①和；②和；③和，其中为关于的对称函数的是 （填序号）；
（2）若和为关于的对称函数．求、的值．
（3）若和为关于的对称函数，令，当函数与函数有且只有一个交点时，求的取值范围．
35．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线与轴于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线与抛物线关于轴对称，过点作轴交抛物线于点，是抛物线上的一个动点，连接、、、．若，求点的坐标．
36．（2023•灞桥区校级模拟）如图，顶点在轴负半轴上的抛物线与直线相交于点，，连接，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线的下方，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四：二次函数中的旋转问题
37．（2023•吉安县校级一模）已知抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）将该二次函数绕点旋转，求旋转后的二次函数解析式；
（3）设旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交点为，顺次连接、、、，求四边形的面积．
38．（2023•郏县一模）如图，直线与轴交于点，抛物线经过点，与轴的一个交点为在的左侧），过点作垂直轴交直线于．
（1）求的值及点的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别为点、．将抛物线沿轴向右平移使它过点，求平移后所得抛物线的解析式．
39．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标．
（2）如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式；
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
40．（2023•长春模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，点，并与轴有另一交点．
（1）依题，点的坐标是 ，点的坐标是 ．
（2）求抛物线的解析式．
（3）在直线下方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值．
（4）在轴上有一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段．直接写出线段与抛物线只有一个公共点时的取值范围．
题型五：二次函数中的几何变换
41．（2024•梧州模拟）九年级数学兴趣小组的同学研究发现若把二次函数的系数调换位置变成新的二次函数，且，这两个函数有一定的关连，于是命名它们为“互为对调函数”，根据这个规定，解答下列问题：
（1）若二次函数，则它的“对调函数”是 ，且此“对调函数”与轴的交点是 ；
（2）若、为非零实数，二次函数经过两个不同的点与点，请求出“对调函数” 的对称轴；
（3）在（2）中，“对调函数” 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出这两个定点坐标；若不经过，请说明理由．
平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
变换前
变换方式
变换后
口诀
y=a(x-h)²+k
绕顶点旋转180°
y= -a(x-h)²+k
a变号，h、k均不变
绕原点旋转180°
y= -a(x+h)²-k
a、h、k均变号
沿x轴翻折
y= -a(x-h)²-k
a、k变号，h不变
沿y轴翻折
y= a(x+h)²+k
a、h不变，h变号
0
1
2
2
①
7
7
2
②
2
已知二次函数的图象经过点，，．
求该二次函数的解析式．