专题05 二次函数中的平移、旋转、对称 (五大题型)教师版-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题05 二次函数中的平移、旋转、对称 (五大题型)教师版-2025年中考数学压轴训练，共81页。试卷主要包含了 二次函数的平移变换，平移与增加性变化，二次函数的翻转问题的解题思路，二次函数图象的翻折与旋转等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
1. 二次函数的平移变换
2.平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
3.二次函数的翻转问题的解题思路：
①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；
②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；
③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；
④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转
题型一：二次函数中的平移问题
1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）．
（2）当的纵坐标为3时，求的值；
（3）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象求出的取值范围．
【分析】（1）令，求出点坐标根据平移得出结论；
（2）将的纵坐标为3代入求出即可；
（3）由对称轴为直线得出，当时，解得，，结合图象得出结论；
【解答】解：（1）在中，令，则，
，
将点向右平移2个单位长度，得到点，则．
（2）的纵坐标为3，
，
．
（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
解得，，
当时，结合函数图象可得，抛物线与恰有一个公共点，
综上所述，的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
2．（2024•平原县模拟）已知抛物线．
（1）写出抛物线的对称轴： ．
（2）将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧），若的面积为4，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，，分别过点，的两条直线，交于点，且，与轴不平行，当直线，与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．
（2）根据抛物线的顶点坐标在原点上可设其解析式为，然后将点的坐标代入求得的解析式，于是可设的坐标为且，过点、分别作轴的垂线，利用可求得的值，于是可求得点的坐标．
（3）设，，，，联立抛物线与直线的方程可得出，．
再利用直线、直线分别与抛物线相切可求得直线、直线的解析式，再联立组成方程组可求得交点的纵坐标为一定值，于是可说明点在一条定直线上．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：．
故答案为：．
故答案为：．
（2）抛物线平移到顶点是坐标原点，得到抛物线，
可设抛物线的解析式为：
点有抛物线上，
，
解得：．
抛物线的解析式为：．
点在抛物线上，且在点的左侧，
设点的坐标为且，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为点、．
，
又，
，
解得：，
不合题意，舍去），则，
．
（3）设，，，，联立方程组：
，
整理得：，
，．
设过点的直线解析式为，联立得方程组，
整理得．①
过点的直线与抛物线只有一个公共点，
△，
．
由①式可得：，
解得：．
．
过点的直线的解析式为．
用以上同样的方法可以求得：过点的直线的解析式为，
联立上两式可得方程组，
解得，
，．
点在定直线上．（如图）
【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．
3．（2024•和平区一模）已知抛物线，为常数．经过，两个点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）抛物线的顶点为 ；
（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线 ．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；
（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；
（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．
【解答】解：（1）抛物线 经过，两个点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（Ⅱ）抛物线，
抛物线的顶点为，
故答案为：；
（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线，即．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标，然后切成直线的解析式，求出点的坐标，再根据求出的面积；
（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点关于对称轴的对称点，求出的长度即可；
【解答】解：（1）把，代入，
则，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）抛物线交轴于点，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
设交于点，如图：
则点的坐标为，
，
，
（3），
对称轴为直线，
令点关于对称轴的对称点为，
，
，
抛物线向左平移个单位经过点，
．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．
5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
【分析】（1）化成顶点是即可求解；
（2）根据平移的规律得到，把原点代入即可求得的值．
【解答】解：（1），
抛物线的顶点坐标为．
（2）该抛物线向右平移个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为，
新抛物线经过原点，
，
解得 或 （舍去），
，
故的值为3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．
6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为，且图象过点，过，两点作直线．
（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；
（2）将二次函数向左平移1个单位，得函数 ；函数与坐标轴的交点坐标为 ；
（3）在（2）的条件下，将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．
【分析】（1）将点，点坐标代入抛物线解析式即可求出、值，再转化为顶点式即可；
（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到解析式，令求出与轴的交点坐标即可；
（3）利用待定系数法求出直线解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去，根据判别式为0解出值即可．
【解答】解：（1）将点，点坐标代入抛物线解析式得：
，解得，
抛物线解析式为．
抛物线解析式为：．
（2）将二次函数向左平移1个单位，得函数，
令，则，解得，，
平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，．
故答案为：，，，．
（3）设直线的解析式为，将，点代入得：
，解得，
直线解析式为：．
将直线向下平移个单位后的解析式为，与函数联立消去得：
，整理得：，
直线与抛物线有唯一交点，
△，解得．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．
7．（2024•温州模拟）如图，直线分别交轴、轴于点，，抛物线经过点．
（1）求点的坐标和抛物线的函数表达式．
（2）若抛物线向左平移个单位后经过点，求的值．
【分析】（1）由题意可得点、的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；
（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入的坐标求解即可．
【解答】解：（1）令，则，
，
令，则，
解得，
，
抛物线经过点，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2），
抛物线向左平移个单位后得到，
经过点，
，
解得，
故的值为或．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．
8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数图象经过，、三点．
（1）求该二次函数解析式；
（2）将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．
【解答】解：（1）把，、代入，
得：，
解得：，
该二次函数的解析式为；
（2）若将该二次函数图象平移后经过点，且对称轴为直线，
设平移后的二次函数的解析式为，
将点代入，得，
解得，．
将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．
9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线经过点，判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）平移抛物线使其顶点仍在直线上，若平移后抛物线与轴交点的纵坐标为，求的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式，然后代入点判断即可；
（3）设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，根据题意得出，得出的最大值．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）点不在直线上，
理由：
直线经过点，
，
，
，
把代入得，，
点不在直线上；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，
设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，有最大值为．
．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．
（2）将抛物线与轴的交点平移到原点即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
，
所以抛物线的顶点坐标为．
（2）令得，
，
解得，．
又因为将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，
所以，
解得．
故的值为3．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．
11．（2023•原平市模拟）（1）计算：；
（2）观察表格，完成相应任务：
任务一：补全表格；
任务二：观察表格不难发现，当时代数式的值与当时代数式的值相等，我们称这种现象为代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式，变形，得到③
，将与看成二次函数，则将的图象④ （描述平移方式），可得到的图象．若代数式参照代数式取值延后，延后值为3，则代数式⑤ ．
【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；
（2）①把分别代入代数式，即可求得；
②根据代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数、平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式参照代数式取值延后，延后值为3的的代数式．
【解答】解：（1）原式
；
（2）任务一：将代入；代入，
故答案为：①2，②；
任务二：将代数式，变形，得到，将与看成二次函数，则将的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到的图象．若代数式参照代数式取值延后，延后值为3，则代数式．
故答案为：①2；②；③；④向右平移1个单位；⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．
12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
【观察探究】：
方程的解为： ；
【问题解决】：
若方程有四个实数根，分别为、、、．
①的取值范围是 ；
②计算 ；
【拓展延伸】：
①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当时，直接写出自变量的取值范围 ．
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察探究：
①由图象可知，当函数值为时，直线与图象交点的横坐标就是方程的解．
故答案为：或或．
（2）问题解决：
①若方程有四个实数根，由图象可知的取值范围是．
故答案为：．
②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以．
故答案为：0．
（3）拓展延伸：
①将函数的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数的图象，
②当时，自变量的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
13．（2023•花山区一模）已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求，的值；
（2）将抛物线向下平移个单位得到抛物线，存在点在上，求的取值范围；
（3）抛物线经过点，直线与抛物线相交于、（点在点的左侧），与相交于点、（点在点的左侧），求的值．
【分析】（1）根据对称轴公式以及当时，用待定系数法求函数解析式；
（2）根据（1）可知抛物线，再由平移性质得出抛物线解析式，然后把点代入抛物线，再根据方程有解得出的取值范围；
（3）先求出抛物线解析式，再求出，，，坐标，然后求值即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得；
（2）由（1）知，抛物线，
将其向下平移个单位得到抛物线，
抛物线的解析式为，
存在点在上，
，即有实数根，
，
解得，
的取值范围为；
（3）抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为，
把代入到中，
得，
解得或，
，，，，
把代入到中，
得，
解得或，
，，，，
，
，
．
【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．
14．（2023•环翠区一模）已知抛物线经过点和点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当自变量满足时，求函数值的取值范围；
（3）将此抛物线沿轴平移个单位长度后，当自变量满足时，的最小值为5，求的值．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先求出及时的函数值，结合函数的性质得到答案；
（3）设此抛物线沿轴向右平移个单位后抛物线解析式为，利用二次函数的性质，当，此时时，，即，设此抛物线沿轴向左平移个单位后抛物线解析式为，利用二次函数的性质得到，此时时，，即，然后分别解关于的方程即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点和点，
，
解得，
此抛物线的解析式为；
（2）当时，，
当时，，
，
函数图象的顶点坐标为，
当时，的取值范围是；
（3）设此抛物线轴向右平移个单位后抛物线解析式为，
当自变量满足时，的最小值为5，
，即，
此时时，，即，解得， （舍去）；
设此抛物线沿轴向左平移个单位后抛物线解析式为，
当自变量满足时，的最小值为5，
，即，
此时时，，即，解得， （舍去），
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．
15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线的图象经过．
（1）求的值及抛物线的顶点坐标；
（2）当时，求的最大值与最小值的和；
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点．设点到轴的距离为，求关于的函数关系式，并直接写出当随的增大而减小时，的取值范围．
【分析】（1）把代入抛物线解析式求得的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；
（2）根据抛物线的性质知：当时，有最大值为4，当时，有最小值为．然后求的最大值与最小值的和；
（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当时，，．
当时，，．
【解答】解：（1）抛物线的图象经过，
当时，，
解得．
．
顶点坐标为；
（2），
抛物线开口向下．
当时，有最大值为4．
当时，．
当时，．
当时，有最小值为．
最大值与最小值的和为；
（3）由题意知，新抛物线的顶点为，
．
当时，，
化简得：．
又，
．
．
当时，
解得；，
，
抛物线开口向下．
当时，，．
当时，，．
综上所述（或．
当时，随的增大而减小．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．
16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左边），与轴交于点，其中点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为，联结．
①如果，求四边形的面积；
②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①依据题意画出图形，利用，，的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点，坐标，再利用四边形的面积解答即可；
②依据题意画出图形，利用，，的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点坐标和线段，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段，则结论可求．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，经过点，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）①，
．
设抛物线的对称轴交轴于点，
．
令，则，
，
．
令，则，
解得：或，
．
如果，需将抛物线向左平移，设交轴于点，平移后的抛物线对称轴交轴于点，如图，
点的坐标为，
．
由题意：，
，
．
，
，
由题意：，
，
．
轴，，
四边形为平行四边形，
，
．
，
四边形的面积；
②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，，如图，
当点在轴的下方时，
设平移后的抛物线的对称轴交轴于，由题意：．
，
，
，
，
．
，，
．
，
，
，
；
当点在轴的上方时，此时为点，
，
，
，
，．
综上，当时，点的坐标为或，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数，为常数）的图象经过点，点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交二次函数的图象于点，连接．
（1）求该二次函数的表达式及点的坐标：
（2）若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围；
（3）若为轴上且位于点下方的一点，为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的横坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点，点代入，即可求解；
（2）求出平移后的抛物线的顶点，再求出直线的解析式，当顶点在直线上时，，当点在上时，，则；
（3）设，，，分三种情况讨论：当为菱形对角线时，，，点横坐标为1；②当为对角线时，，，点横坐标为2；③当为菱形对角线时，，，点横坐标为．
【解答】解：（1）将点，点代入，
，
解得，
，
，
顶点；
（2）由题可得平移后的函数解析式为，
抛物线的顶点为，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
当顶点在直线上时，，
，
轴，
，
当点在上时，，
，
；
（3）存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，，
点在点下方，
，
点在第四象限，
，
①当为菱形对角线时，，
，
解得（舍或，
点横坐标为1；
②当为对角线时，，
，
解得，
点横坐标为2，不符合题意；
③当为菱形对角线时，，
，
解得（舍或，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为1或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： （答案不唯一） ；
（2）当函数值时，自变量的取值范围： ；
（3）如图1，将函数的图象向右平移4个单位长度，与的图象组成一个新的函数图象，记为．若点在上，求的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点的坐标为，在上是否存在点，使得．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出时，对应的值，再结合图象写出的取值范围即可；
（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为，根据题意可知时，点在抛物线的部分上，再求的值即可；
（4）分两种情况讨论：当点在抛物线的部分上时，设，由，求出点坐标即可；当点在抛物线的部分上时，设，由，求出点坐标即可．
【解答】解：（1），
故答案为：（答案不唯一）；
（2），
当时，解得或，
当时，，
故答案为：；
（3），
抛物线向右平移4个单位后的解析式为，
当时，点在抛物线的部分上，
；
（4）存在点，使得，理由如下：
当点在抛物线的部分上时，设，
，
解得或，
，
，
，；
当点在抛物线的部分上时，设，
，
解得或，
，
，
，；
综上所述：点坐标为，或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．
19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数的图象沿轴向右平移，再沿轴翻折，得到新函数的图象，则称函数是函数的“值衍生抛物线”．已知．
（1）当时，
①求衍生抛物线的函数解析式；
②如图1，函数与的图象交于，，两点，连接．点为抛物线上一点，且位于线段上方，过点作轴，交于点，交抛物线于点，求与存在的数量关系．
（2）当时，如图2，函数与轴交于，两点，与轴交于点，连接．函数与轴交于，两点，与轴交于点．点在抛物线上，且．请直接写出点的横坐标．
【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；
②利用待定系数法求得直线的解析式，设，则得到，，利用的代数式分别表示出，的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；
（2）利用函数解析式求得点，，，，，的坐标，进而得出线段，，，，，的长，设直线的解析式为，设直线交轴于点，过点作于点，用的代数式表示出线段．，的长，利用，得到，列出关于的方程，解方程求得值，将直线的解析式与衍生抛物线的函数解析式联立即可得出结论．
【解答】解：（1）①，
当时，将二次函数的图象沿轴向右平移个单位得：．
此时函数的顶点坐标为．
再沿轴翻折，得到新函数的顶点坐标为．
沿轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反，
沿轴翻折，得到新函数的解析式为．
衍生抛物线的函数解析式为；
②，，两点在抛物线上，
，．
，，，．
直线的解析式为．
如图，设，
轴，
，．
，
，
．
．
与高相等，
．
与存在的数量关系：；
（2）点的横坐标为4或．理由：
当时，函数的衍生抛物线的函数解析式为．
令，则，
．
．
令，则，
解得：或5．
，．
．
．
．
令，则，
．
．
令，则，
解得：或3．
．
．
．
设直线交轴于点，过点作于点，如图，
设直线的解析式为，
令，则，
，．
，
．
．
，，
．
，
．
，
．
解得：或．
直线的解析式为或．
或．
，或，．
点的横坐标为4或．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求得一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，配方法求抛物线的顶点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
20．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且．求的值；
（3）平移抛物线，使其（备用图）顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）分四种情况讨论：当时，此时，，求得；当时，此时，，求得；当时，，，不符合题意；当时，，，不符合题意
（3）由题意可得，当只有一个实数根时，直线与抛物线有一个交点；当时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点．
【解答】解：（1），
，
令，则，
，
轴，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）当时，，
当时，，
当时，即，此时，，
，
解得；
当时，此时，，
，
解得；
当时，，，
，
解得（舍或（舍；
当时，，，
，
解得（舍或（舍；
综上所述：或．
（3）设直线的解析式为，
，
解得，
，
抛物线的顶点的横坐标为，
，
当只有一个实数根时，直线与抛物线有一个交点，
△，
解得，
当抛物线经过点时，，
解得或，
当时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
综上所述：或时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，分类讨论是解题的关键．
21．（2023•米东区模拟）如图，已知二次函数，为常数）的图象经过点，点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，连结．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围．
【分析】（1）将点和点坐标代入二次函数关系式，从而求得，，进而求得关系式及点坐标；
（2）求出的关系式，将代入，进而求得的范围．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
二次函数的解析式是：，
，
点；
（2），，
直线的解析式是：，
当时，，
， ，
．
【点评】本题考查了求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关相似三角形和函数的基础知识．
22．（2023•驻马店二模）如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，已知点坐标为．
（1）求抛物线解析式及其顶点坐标．
（2）若将抛物线向右平移个单位，得新抛物线“”，若“”与坐标轴仅有两个交点，求值．
（3）若点为线段上一动点，过点作轴平行线，该平行线与“”交点为，请直接写出点的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先求出平移后的抛物线解析式为，再根据抛物线的性质推出：抛物线“”必过原点，由此代入原点坐标求解即可；
（3）由（2）得抛物线“”的函数解析式为，求出点的坐标，进而得到，由轴，得到，则，根据抛物线的性质求出抛物线，当时，，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）将代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
抛物线解析式为，
把抛物线解析式化为顶点式得：，
顶点坐标为；
（2）抛物线向右平移个单位得新抛物线“”，
抛物线“”的函数解析式为，
抛物线“”的开口向下，顶点坐标在轴上方，
抛物线“”与轴必有2个交点，且与轴有1个交点，
抛物线“”与坐标轴有且仅有两个交点，
抛物线“”必过原点，
将原点坐标，代入中得：，
解得或（舍去）；
（3）由（2）得抛物线“”的函数解析式为，
在中，令，则，
解得或，
，
点在线段上运动，
，
轴，
，
，
在中：
当时，；
当时，；
当时，；
在中，当时，，
点在抛物线图象上，且，
．
【点评】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线的平移问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．（2023•宝鸡二模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．将抛物线向右平移一个单位得到抛物线．
（1）求抛物线与的函数解析式；
（2）连接，探究抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点、代入解析式求出的解析式，再根据平移规律代入求解即可得到答案；
（2）设点的坐标为，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案．
【解答】解：（1）将、代入抛物线中，得：
，
解得，
抛物线的函数解析式为：；
，
的函数解析式为：；
（2）抛物线的对称轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
由（1）可知的对称轴为，可设点的坐标为，
，，
，，，
①当时，，
解得：，
点的坐标为或；
②当时，，
解得：，，
点的坐标为或；
③当时，，
解得：，
点的坐标为；
综上，抛物线的对称轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或或．
【点评】本题主要考查了二次函数动点特殊三角形问题，属于二次函数综合题，解答本题的关键是先求出解析式，设点分类讨论等腰三角形的腰．
题型二：二次函数中的翻折问题
24．（2024•江西模拟）已知二次函数经过，两定点（点在点的左侧），顶点为．
（1）求定点，的坐标；
（2）把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式；
（3）在（2）中，已知的面积为8．
①当时，求图象中的取值范围；
②若直线与图象从左到右依次交于，，，四点，若，求的值．
【分析】（1）将原函数可化为，令，即可得到定点坐标；
（2）根据翻折的性质即可得到解析式；
（3）①根据自变量的取值范围，结合图象求出最值即可；
②根据题意确定图象与直线交于点，，与直线交于点，，然后表示出，，根据题意列方程解题即可．
【解答】解：（1）原函数可化为，
可得该函数图象恒过两点，，
故定点为，．
（2）直线就是轴，
折叠即为沿轴向上折叠，
解析式为；
（3）①，
对称轴，代入得
的面积为8，
，
．
，
，
图象向上翻折部分的函数解析式为．
，顶点在之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，；当时，的最小值为0．
在图象中，的取值范围为．
②若直线与图象从左到右依次交于，，，四点，
图象与直线交于点，，可得，
；
与直线交于点，，
，则．
，
，即，
两边平方解得．
【点评】本题考查二次函数与轴交点坐标，二次函数的图象和性质，翻折的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．（2023•零陵区三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求、两点的坐标（用含的式子表示）；
（2）将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；
（3）已知直线，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为（包括点，，图象上恰有一个点到直线的距离为2，直接写出的取值范围．
【分析】（1）令，用表示出的值，要注意点在点的左侧求出两点坐标；
（2）求出新函数函数值随的变化规律，根据题意列出关于的不等式，求出的取值范围；
（3）求出的坐标，明确图象的位置，判断图象与哪条直线相交，根据题意列出关于的不等值，求出的取值范围．
【解答】解：（1）令，，
解得或，
点在点的左侧，
，．
（2）二次函数对称轴为：，
经翻折后函数的变化为：
当时，函数的函数值随的增大而减小，
当时，函数的函数值随的增大而增大，
当时，函数的函数值随的增大而减小，
当时，函数的函数值随的增大而增大，
若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，
则，解得，
或，解得．
综上：或时，当时，这个新函数的函数值随的增大而减小．
（3）当时，，
，
当点在点的左侧，那么图象在轴的上方，
图象上恰有一个点到直线的距离为2应过直线，
令，解得或，
恰有一个点到直线的距离为2，
，
解得；
当点在点的右侧，那么图象在轴的下方，
图象上恰有一个点到直线的距离为2应过直线，
令，解得或，
恰有一个点到直线的距离为2，
，
解得．
综上：当或时，图象上恰有一个点到直线的距离为2．
【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数中图象的性质，考查学生对二次函数特殊点的坐标的灵活运用，本题常作为考试题出现，难度中上，解决问题的关键是找准临界点，利用特殊点列出正确的不等式即可求出答案．
26．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，，且平行于轴，与抛物线交于、两点在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
（1）当时，求点的坐标；
（2）连接、、，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
【分析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．
【解答】解：（1），
抛物线的顶点坐标，
，点和点关于直线对称，
点的坐标为；
（2）抛物线的顶点与的顶点关于直线对称，
，抛物线，
当时，，
①当时，如图1，过作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
直线轴，
，
，，
，
，
，
点在的图象上，
，
或，
当时，得，，此时，点和点重合，舍去，当时，符合题意；
将代入得，
②当，如图2，过作交的延长线于，
同理，，
，
，
，
，
，
当在的图象上，
，
解得或，
，
，此时，，符合题意；
将代入得，，
③易知，当，此种情况不存在；
综上所述，所对应的函数表达式为或；
（3）由（2）知，当时，，
此时，的面积为1，不合题意舍去，
当时，，此时，的面积为3，符合题意，
由题意得，，取的中点，
在中可求得，在中可求得，
当，，三点共线时，取最小值，最小值为．
【点评】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析，综合应用．
27．（2024•盐城模拟）已知抛物线为常数且与轴交于点．
（1）点的坐标为 ；对称轴为 （用含的代数式表示）；
（2）无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），则点的坐标为 ；
（3）若，且自变量满足时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；
（4）将点与点之间的函数图象记作图象（包含点、，若将在直线下方的部分保持不变，上方的部分沿直线进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，求的值．
【分析】（1）令，求得对应的值即可求得点的坐标；利用二次函数的性质即可求得抛物线的对称轴；
（2）利用的系数为0，求得对应的值，将值代入解析式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，用待定系数法解答即可；
（4）利用分类讨论的方法分①当时和②当时两种情况讨论解答，结合图象，利用轴对称的性质和待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）令，则，
；
抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；；
（2）抛物线，
又无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），
，
，
当时，，
，
故答案为：；
（3），
抛物线开口方向向下．
由（1）知：抛物线的对称轴为直线，
①若，则，与矛盾，不合题意；
②若，则，
此时，抛物线的顶点为图象最高点，
即当时，函数的值为2，
，
解得：或（不合题意，舍去）．
；
③若，则，
此时，点是满足时，图象的最高点，
，
此种情况不存在，
综上，满足条件的抛物线的表达式为；
（4），
将点沿直线进行翻折后得到的对称点的坐标为，
点到直线的距离为1．
①当时，
图象上仅存在两个点到直线的距离为2，
此时，抛物线的顶点的纵坐标为，
，
解得：，
或（不合题意，舍去），
；
②当时，
图象上仅存在两个点到直线的距离为2，
此时，抛物线的顶点的纵坐标为4，
，
解得：或．
，
．
不合题意，舍去．
综上，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，的值为或．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的翻折，轴对称的性质，函数的极值，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
28．（2023•扶余市二模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）如图，把原抛物线轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线轴上方的部分记作图形，在图形中，回答：
①点，之间的函数图象所对应的函数解析式为 ；
②当时，求的取值范围；
③当，且时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出的值．
【分析】（1）将，代入，即可求得其解析式和顶点坐标；
（2）根据顶点的变换（关于轴对称）和变换后开口向下，可以写出变换后的函数解析式；
（3）根据二次函数的图象和性质分类讨论进行求解．
【解答】解：（1）将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
，
点的坐标为．
（2）①变换后的顶点为，
，
故答案为：；
②当时，；
当 时，，
的取值范围为；
③当时，得：
，
解得：（舍去），
当时，得：
，
解得：（舍去），；
由，得：
，，
当时，
或，
解得：（舍去），，（舍去），；
当时，
，
解得：（舍去）；
的值为 或 或．
【点评】本题主要考查二次函数解析式的求法及其性质和图象的变换等，综合性较强，数形结合分类讨论是解决问题的关键．
29．（2023•余江区一模）已知抛物线
（1）当时，
①抛物线的顶点坐标为 ．
②将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 ．
（2）无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点左侧）的长度都不变，求的值和的长；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，，是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由题意可得抛物线解析式为，即可求解；
②设抛物线上任意一点，则点关于轴对称的点为，将点代入即可求解；
（2）由抛物线经过定点，可得当时，的长度不变；
（3）设抛物线抛物线上任意一点，点关于的对称点为，将点代入，可求抛物线的解析式为，分别求出，，再由，，可得，求出的值即可．
【解答】解：（1）①，
，
抛物线的顶点为，
故答案为：；
②设抛物线上任意一点，
则点关于轴对称的点为，
，
抛物线的解析式为，
故答案为：；
（2），
抛物线经过定点，
当时，的长度不变，
当时，，
解得或，
，，
；
（3）存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设抛物线抛物线上任意一点，
点关于的对称点为，
，
抛物线的解析式为，
，
，
，
，
与为正方形的对角线，
、关于对称，
，
，
，
．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形翻折的性质，正方形的性质是解题的关键．
30．（2023•越秀区校级三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，将二次函数图象中轴左侧部分沿轴翻折，保留其他部分得到新的图象．
（1）求的值；
（2）①当时，图与轴交于点，在的左侧），与轴交于点．当为直角三角形时，求的值；
②在①的条件下，当图象中时，结合图象求的取值范围；
（3）已知两点，，当线段与图象恰有两个公共点时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的对称轴直接可求的值；
（2）①求出，，，，再求出，的中点坐标为，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；
②求出抛物线与直线的交点为，，再求出关于轴对称的抛物线解析式为当时，解得（舍或，抛物线与直线的交点为，结合图象可得或或时，；
（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）已知二次函数图象的对称轴为直线，
；
（2）如图1：①令，
解得或，
在的左侧，
，，，，
，的中点坐标为，
为直角三角形，
，
解得（舍或；
②，
，
令，
解得或，
抛物线与直线的交点为，，
关于轴对称的抛物线解析式为，
当时，解得（舍或，
抛物线与直线的交点为，
或或时，；
（3）关于轴对称的抛物线解析式为，
如图2，当经过点时，，
解得，
，当时，，
与线段有一个交点，
时，当线段与图象恰有两个公共点；
如图3，当经过点时，，
此时图象与线段有三个公共点，
时，线段与图象恰有两个公共点；
如图4，当经过点时，，
此时图象与线段有两个公共点，
当的顶点在线段上时，，
解得，
此时图象与线段有一个公共点，
时，线段与图象恰有两个公共点；
综上所述：或时，线段与图象恰有两个公共点．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形翻折的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
题型三：二次函数对称问题
31．（2024•雁塔区校级二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）抛物线与抛物线关于直线对称，是抛物线的轴上方且在对称轴左侧的一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，点、关于抛物线的对称轴对称的点分别为、．试探究是否存在一点，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，进而化成顶点式，从而求得的坐标；
（2）求出直线解析式为，再求出抛物线与抛物线关于直线对称的解析式，设，则，，，由题意可知得到关于的方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）抛物线经过，，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）存在一点，使得四边形为长宽之比是的矩形，
，，
直线为，
抛物线与抛物线关于直线对称的解析式，
设，则，
点、关于抛物线的对称轴对称点分别为、．
，，
四边形为长宽之比是的矩形，
或，
整理得或，
解得，或，，
是抛物线的轴上方且在对称轴左侧的一点，
，
或，
即点的横坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，正方形的性质，根据题意得到关于的方程是解题的关键．
32．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数的图象是．
（1）求关于点成中心对称的图象的解析式；
（2）当时，的最大值为5，求的值．
【分析】（1）先求出的顶点坐标，由中心对称得出的顶点坐标，又由于和的开口方向相反，且开口大小相同，故值相同，因此可确定解析式．
（2）由于的开口向下，且对称轴位于内，故顶点纵坐标为5，则的值便可求出．
【解答】解：（1）依题得，，且，
故图象的顶点为，由对称性可知，图象的顶点为，
且其开口方向与的相反，
，
即；
（2）当时，抛物线的开口向上，对称轴为，
若，则当时，取得最大值，
由得，．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知关于定点中心对称时抛物线的解析式的求法是解题的关键．
33．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于，连接，作直线．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标；
（3）将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的横坐标并写出其中一种情况的求解过程．
【分析】（1）将点，，代入抛物线，利用待定系数法解答即可得解；
（2）首先利用待定系数法求得直线的解析式为；设，进而求得，的坐标，利用两点间的距离公式得到，，从而得到，利用二次函数的性质解答即可；
（3）首先求得新抛物线的解析式为，过点作轴于点，设，分别求得，；进一步证得，推导出，即，解得，从而得到点的横坐标．
【解答】解：（1）将点，，代入抛物线，可得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点，代入，可得：
，
解得，
直线的解析式为，
设，
轴交于，
点的纵坐标为，
点的横坐标为，，
轴交轴于，，，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时点坐标为；
（3），，，
，，
，
将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，
原抛物线向右，向上平移了2个单位长度，
新抛物线的解析式为，
如图2，过点作轴于点，
设，
则，，
，
又，
，
，
，
，即，
整理得，
解得，
点的横坐标为或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了抛物线的平移、旋转、对称，二次数的图象与性质，待定系数法求二元一次方程式，一元一次方程式，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形．
34．（2023•海安市模拟）已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．
（1）判断：①和；②和；③和，其中为关于的对称函数的是 （填序号）；
（2）若和为关于的对称函数．求、的值．
（3）若和为关于的对称函数，令，当函数与函数有且只有一个交点时，求的取值范围．
【分析】（1）根据中点公式可得，然后逐个函数进行判断；
（2）①根据，将函数解析式代入求解；
（3）根据，求出，，的值，然后由得到，根据开口方向、对称轴及与轴的交点，结合函数与函数有且只有一个交点列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）①，
和关于对称，
②，
和关于对称，
③，，
和不关于对称，
故答案为：①②．
（2）和为关于的对称函数，
，
，
解得．
（3）和为关于的对称函数，
，
，
解得，
，
函数的开口向上，对称轴为直线，与轴的交点为，
函数与函数有且只有一个交点，
，
解得．
令，则，
函数与函数有且只有一个交点，
△，即，
解得，
故的取值范围是或，．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握函数关于对称的特征，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
35．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线与轴于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线与抛物线关于轴对称，过点作轴交抛物线于点，是抛物线上的一个动点，连接、、、．若，求点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出的解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式求出点的坐标，再根据轴交抛物线于点，求出点坐标，然后求出；再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出抛物线的解析式，以及用待定系数法求出直线的解析式，设点为，过点作轴的垂线交于点，则点，，然后分三种情况判断出，然后解方程求出的值即可．
【解答】解：（1）把点，代入得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）点是抛物线与轴的交点，
，
轴，抛物线的对称轴为直线，
，
，
．
，
抛物线的顶点为，
关于轴的对称顶为，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设点为，过点作轴的垂线交于点，
则点，
，
当时，；
当时，；
当时，；
，
，
解得或，
或．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，解题关键是求出抛物线、的解析式．
36．（2023•灞桥区校级模拟）如图，顶点在轴负半轴上的抛物线与直线相交于点，，连接，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线的下方，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解求得；
（2）先计算的面积，根据，可得的面积，在轴上取一点，使，过点作的平行线交平移后的抛物线于点，求得点的坐标，即可求得直线的解析式，与平移后的抛物线解析式联立，解方程组即可求得点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为，
抛物线经过点，，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
，
，
在轴上取一点，使，过点作的平行线交平移后的抛物线于点，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
将抛物线向下平移3个单位长度，得到，
令，整理得，
解得或，
点的坐标为或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，三角形的面积，求得点的纵坐标是解题的关键．
题型四：二次函数中的旋转问题
37．（2023•吉安县校级一模）已知抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）将该二次函数绕点旋转，求旋转后的二次函数解析式；
（3）设旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交点为，顺次连接、、、，求四边形的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求得解析式及顶点坐标即可；
（2）首先利用旋转的性质求得旋转后抛物线的顶点的坐标为，然后利用代定系数法求得解析式；
（3）首先得到四边形为平行四边形，进而得到的面积以及四边形的面积．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为，将点代入得，
二次函数解析式为，
故抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为；
（2）设旋转后抛物线的顶点坐标为，
点为顶点和的中点，
点的坐标为，旋转前后图形的形状不变，开口相反，
，故旋转后的抛物线解析式为；
（3）四边形的面积为40；
点与点，点与点均关于点成中心对称，
四边形为平行四边形，
点坐标为，，
的面积，
四边形的面积为．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，旋转的性质等，解答本题的关键是明确四边形为平行四边形．
38．（2023•郏县一模）如图，直线与轴交于点，抛物线经过点，与轴的一个交点为在的左侧），过点作垂直轴交直线于．
（1）求的值及点的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别为点、．将抛物线沿轴向右平移使它过点，求平移后所得抛物线的解析式．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得值，令，解一元二次方程即可求得点的横坐标；
（2）利用旋转不变性，求得点，的坐标，利用待定系数法即可求得结论．
【解答】解：（1）令，则．
解得：．
．
抛物线经过点，
．
．
抛物线的解析式为．
令，则．
解得：或．
在的左侧，
．
（2）当时，，
．
，，
．
将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别为点、，
，．
，．
，
设沿轴向右平移过点的抛物线的解析式为，
．
．
平移后所得抛物线的解析式为或．
即或．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，抛物线的平移，利用待定系数法是确定函数解析式的重要方法．
39．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标．
（2）如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式；
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①先求顶点绕点旋转后的对应点为，此点为旋转后抛物线的顶点，由此求解析式即可；
②先求，，再求．
【解答】解：（1）将，，代入，
，
解得，
抛物线的表达式为，
，
；
（2）①点绕点旋转后的对应点为，
旋转后抛物线的顶点为，
旋转，
抛物线开口大小不变，开口方向向下，
旋转后的抛物线的表达式为；
②当时，，
解得或，
，
，
，
．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象旋转的性质，矩形的性质是解题的关键．
40．（2023•长春模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，点，并与轴有另一交点．
（1）依题，点的坐标是 ，点的坐标是 ．
（2）求抛物线的解析式．
（3）在直线下方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值．
（4）在轴上有一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段．直接写出线段与抛物线只有一个公共点时的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特点，用代入法求点的坐标．（2）用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式．（3）把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．（4）根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点，恰好在抛物线上时的值，从而得到的取值范围．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，．
当时，，，
点的坐标是，点的坐标是．
故答案为：，．
（2）抛物线经过点，点，
依题得，
解得．
．
（3），
作轴于点，交直线于点，
设点横坐标为，
，
，
则，
抛物线上，，，，，
．
．
．
当时，四边形面积最大值为8．
四边形面积最大值为8．
（4）如图：
，
点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
当点在抛物线上时，，
解得．
当点在抛物线上时，，
解得或2．
当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点评】此题（1）（2）是基础题型，（3）不规则图形的面积利用割补法是难点．（4）图形的旋转结合坐标特征，比较新颖，培养学生综合代数几何的综合运用能力．
题型五：二次函数中的几何变换
41．（2024•梧州模拟）九年级数学兴趣小组的同学研究发现若把二次函数的系数调换位置变成新的二次函数，且，这两个函数有一定的关连，于是命名它们为“互为对调函数”，根据这个规定，解答下列问题：
（1）若二次函数，则它的“对调函数”是 ，且此“对调函数”与轴的交点是 ；
（2）若、为非零实数，二次函数经过两个不同的点与点，请求出“对调函数” 的对称轴；
（3）在（2）中，“对调函数” 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出这两个定点坐标；若不经过，请说明理由．
【分析】（1）利用“互为对调函数”的规定即可求得，进一步求得与轴的交点；
（2）由二次函数经过两个不同的点与点，得出，求得，则的“对谓函数” 的对称轴是直线；
（3）由（2）可知：，即可得出“对调函数”为，而，即可求得“对调函数” 的图象经过的两个定点是，，．
【解答】解：（1）二次函数，则它的“对调函数”是，且此“对调函数”与轴的交点是；
故答案为：，；
（2）二次函数经过两个不同的点与点，
，
，
，
，（不合题意，舍去），
，
又的“对谓函数” ，
所以它的对称轴是直线，
即所求的对称轴是直线；
（3）由（2）可知：，而“对调函数”为，
，
，
当时，，
有，
或，
所以“对调函数” 的图象经过的两个定点是，，．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，明确新规定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
变换前
变换方式
变换后
口诀
y=a(x-h)²+k
绕顶点旋转180°
y= -a(x-h)²+k
a变号，h、k均不变
绕原点旋转180°
y= -a(x+h)²-k
a、h、k均变号
沿x轴翻折
y= -a(x-h)²-k
a、k变号，h不变
沿y轴翻折
y= a(x+h)²+k
a、h不变，h变号
0
1
2
2
①
7
7
2
②
2
已知二次函数的图象经过点，，．
求该二次函数的解析式．