辽宁省重点高中2025届高三下学期一模考试数学试卷（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的运算可得.
【详解】由题意可得 ，
所以 .
故选：B.
2. 若复数 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求得 ， ，然后得到结果.
【详解】 ， ，
∴ ，
故选：C
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3. 已知 ，点 D 满足 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图形结合向量的加法法则可得.
【详解】
.
故选：B
4. 圆台的上、下底面半径分别为 2 和 4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形
求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积.
【详解】如图，
则该几何体的轴截面如下：
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所以 ， ，
∵ 与圆 相切，点 切点，
∴ ，
过点 作 与点 ，
∴ ，∴ ，则 ，
即球的半径 ，∴这个球的表面积 ，
故选：D.
5. 已知实数 ，则使 和 最小的实数 分别为 的（ ）
A. 中位数；平均数 B. 中位数；中位数
C. 平均数；平均数 D. 平均数；中位数
【答案】A
【解析】
【分析】结合绝对值的几何意义和二次函数，根据中位数和平均数的定义判断即可.
【详解】 ，表示 11 个绝对值之和，
根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，
因为 11 为奇数，所以 取 的中位数时， 有最小值；
为关于 的
一元二次函数，
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故当 时， 有最小值，
即 为 的平均数时， 有最小值.
故选：A
6. 已知双曲线 ，作垂直于 x 轴的垂线交双曲线于 两点，作垂直于 y 轴的垂线交双曲线于
两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解.
【详解】设 ，
则 ，
则由 得： ，
化简得： ，
即 点的轨迹是 ，
故选：C
7. 若 ，若 为偶函数，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
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【分析】先令 解得 的值，再利用定义检验 为偶函数.
【详解】 ，
，
若 为偶函数，则 ，
左右两边同时乘以 得， ，即 ，
得 ，解得 ；
检验：当 时， ，
，则 ，故 为偶函数.
故选：A
8. 设函数 ，若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】找到 的零点可得 ，构造函数 ，由导数分析单调性找到最小值即可.
【详解】当 时， ，不满足 恒成立；
当 时，令 ，可得 或 ，
函数 的零点为 和 ，
因为 恒成立，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
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则 ，
所以 的最小值为 1.
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列函数中同时满足：①在 上是增函数；②最小正周期为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的解析式结合函数图像变换的规则逐个选项判断即可.
【详解】对于选项 A， 在 上是增函数，但不具有周期性，
不合题意，A 错误；
对于选项 B， 在 上是增函数，最小正周期为 ，
符合题意，B 正确；
对于选项 C， ，最小正周期为 ，但在 上是减函数，
不符合题意，C 错误；
对于 D 选项， 在 上是增函数，最小正周期为 ，符合题意，
D 正确.
故选：BD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 有两个零点 B. 在 上是增函数
C. 有极小值 D. 若 ，
【答案】BCD
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【解析】
【分析】令 ，得到出方程解的个数，然后判断 A 选项；对函数 求导，然后得到函数的递增
区间，判断 B 选项；由函数的单调区间得到函数的极值判断 C 选项；构造函数 ，由
导函数得到函数 的单调性，从而求出当 时， 的最小值，即能判断 D 选项.
【详解】令 ，即 ，∵ ，∴只有一个解 ，即函数 有一个零点，A 选项错
误;
，令 ， ，∵ ，∴ ，∴ 在 上是增函数，
B 选项正确；
在 上单调减，在 上单调递增，∴函数 有极小值 ，C 选项正确；
令 ， ， ，
令 ，则 ， ， ，
∴当 时， ，即 在 单调递增，∴ ，
即 ， 在 单调递增，∴ ，即 ，D 选项正确.
故选：BCD.
11. 已知点 Q 在圆 上， ，动点 满足：在 中，
．则（ ）
A. 记 的轨迹方程为轨迹： B. 的最大值为
C. 的最小值是 D. （点 O 为坐标原点）的最小值为 7
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，设点 坐标，然后表示出 ，即可建立方程，求得 的
轨迹方程，判断 A 选项；设点 在一象限，化简 ，由基本不等式求得 的最值，
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从而得到角的范围，判断 B 选项；由抛物线的性质化简得 ，由 的范围求得结果
判断 C 选项；由图可知当 在圆与 轴的左交点处时，此时 同时取最小，即可判断 D 选项.
【详解】由题意可知 ，设 ，过点 作 轴于点 ，如图：
则 ， ，
∴ ，即 ，∴ ，A 选项正确；
∵由对称性可假设点 在一象限，则 ，∵
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，∴ ，B 选项错误；
，∴ ，C 选项正确；
当 在圆与 轴的左交点处时，此时 同时取最小， ，∴ 的
最小值为：7，D 选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 中， ， ，则 ______.
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【答案】
【解析】
【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可.
【详解】由等比中项的性质可得 ，
设等比数列的公比为 ，
因为 ，
所以 ，
故答案为：6.
13. 已知 ，则 _________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由切化弦结合三角恒等变换和拆角可得.
【详解】由 可得 ，
，
，
，
，
.
故答案为： .
14. 如图 1，把一个圆分成 n（ ）个扇形，每个扇形用 k 种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有
种方法．
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如图 2，有 4 种不同颜色的涂料，给图中的 12 个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方
法共有_________种（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件可计算 八个空格染色问题，剩下的可用分步分类计数即可.
【详解】染色问题按以下步骤进行：
第一步：给 染色有 4 种方法；
第二步：给 染色，
若 与 的颜色均不同，则可用颜色有 3 种，
根据已知条件可知： 种；
若 与 其中一个的颜色相同，则有 种方法；
若 与 两个的颜色相同，则有 种方法
若 与 其中三个的颜色相同，则有 种方法；
若 与 颜色都相同，则有 种方法：
第三步：给 染色，因为 已经染了色，所以分以下两类:
当 与 同色，给 染色有： 种；
当 与 不同色，给 染色有： 种；
利用分类分步原理可得：总有： 种，
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态．某中学
的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若
从该班级中随机抽取 1 名学生，设 “抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”， “抽取的学生为
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女生”， ．
（1）求 和 ，并解释所求结果大小关系的实际意义；
（2）为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为 的
样本，利用独立性检验，计算得 ．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的
倍，使得能有 的把握肯定（1）中的判断，试确定 k 的最小值．
参考公式及数据： ， ．
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）答案见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）由对立事件的概率公式结合条件概率、全概率公式计算即可；实际意义由题干中结合所求概
率可得；
（2）完成列联表，计算卡方可得.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以由对立事件概率公式关系可得
代入 ，
所以 ，
由全概率公式可得 ，
即 ，
所以 .
说明学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关.
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【小问 2 详解】
完成列联表如下：
学生体验到心流 学生未体验到心流 合计
男生
女生
总计
，
所以 ，所以 的最值小值为 4.
16. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 ．
（1）求证： ；
（2）若 是锐角三角形，且角 A 的平分线交 BC 边于 D，且 ，求边 b 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到 ，再根据
角的范围即可证明；
（2）根据三角形形状及交的关系确定角 的范围，在 中利用正弦定理求得 关于角 的表达式，
构造函数 ，利用函数的单调性求解即可.
小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理有： ，
所以 ，
，
，
，
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因为 、 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，
所以有： ， ，或 ， （舍），
所以 得证.
【小问 2 详解】
因为 是锐角三角形， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 为 的平分线，且 ，
所以 ，所以 ，
在 中， ， ，
由正弦定理有： ，即 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ， ，
令 ， ，
根据函数解析式， 上单调递减，
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因为 ， ，所以 ，
所以 .
17. 已知函数 ．
（1）讨论函数 在区间 上的单调性；
（2）证明：函数 在 上有两个零点．
【答案】（1） 在 单调递增，在 单调递减．
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解，
（2）根据三角函数的性质，结合导数即可求解函数的单调性，即可求解.
【小问 1 详解】
由函数 ，可得 ，
当 时，令 ，可得 ，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 在 单调递增，在 单调递减．
【小问 2 详解】
，
则 ，
当 时， 故 ，此时 在 单调递增，
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当 时，记 ，则 ，
由于 ，则 故 ，因此 在 单调递减，由于
，故存在唯一的 使得 ，
当 单调递增，当 单调递减，
综上知： 在 单调递增，在 单调递减，
且 ，
因此 在 上有两个零点.
18. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点． 的面积为
；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题：
条件①： ；条件②： 点到平面 的距离为 ．
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）点 是矩形 （包含边界）内任一点，且 ，求 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件，确定底面三角形得边长，再利用空间向量的方法求二
个平面所成角即可；
（2）根据已知条件分析确定点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，设出点 坐标，根据已知条件求
出 ，利用空间向量的方法求出 与平面 所成角的正弦值表达式，根据 范围即可求解.
【小问 1 详解】
根据题意建立如图所示以 为坐标原点，
、 、 为 、 、 轴的空间直角坐标系，
设 ， ，
因为三棱柱 为直三棱柱，所以侧面 为矩形，
所以 为直角三角形， ，
因为三楼柱 为直三棱柱，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，又因为 ，
平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为直角三角形，因为 的面积为 ，
所以 ，
若选条件①： ，
， ， ， ， ，
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， ，因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
代入 ，解得 ，
所以 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
，设平面 的法向量为 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为： .
若选条件②： 点到平面 距离为 ，
， ， ， ，
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， ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ， ，令 ，
解得 ，所以 ，
因为 点到平面 的距离为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
代入 ，解得 ，
所以 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
，设平面 的法向量为 ，
，所以 ，令 ，
解得 ，所以 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
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所以 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为： .
【小问 2 详解】
取 中点 ，连结 、 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，
在 ， ，所以 ， ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
设 ，则 , ， ，
因为 ， ，所以 ，
整理得： ，
由（1）知，平面 的法向量为 ，
设 与平面 的夹角为 ，则
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，
因为 ，所以 ，
所以 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
19. 已知曲线 ，当 变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”．
（1）若“2~1 椭圆群”中的两个椭圆 ，对应的 分别为 ，如图所示，直线
与椭圆 依次交于 M，N，P，Q 四点，证明： ．
（2）当 时，直线 与椭圆 在第一象限内的交点分别为 ，设
．
（i）求证： 为等比数列，并求出其通项公式；
（ii）令数列 ，求证 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析， ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段 的中点与线段
中点重合，根据线段长度的减法可证得结论；
（2）（i）根据题意联立方程组，求出点 和 的横坐标，利用两点间距离公式求得 ，即证得结
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论并得到通项公式；（ii）由已知条件得到 ，利用放缩法构造出新数列的不等式，利用裂项相消法求
前 项和即可证得结论.
【小问 1 详解】
由题意，联立方程 可得 ，
，即 ，
由图可知，椭圆 与直线的交点为点 ，设 ，则 ，
同理，将 与直线联立可得： ，
，即 ，
可得 ，则线段 的中点与线段 中点重合，设为点 ，
即有 ，所以 ，即 .
【小问 2 详解】
（i）由题意，联立方程 可得 ，即 .
因为交点 在第一象限内，所以点 的横坐标 ，同理可得点 的横坐标 ，
则 .
所以，数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，其通项公式为 .
（ii）由（i）可知， ，则 .
设 ，
设 ，
由 时， ，可得 ，
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，
即 .
，
即 得证.
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