辽宁省名校联盟2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

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命题人：辽宁名校联盟试题研发中心
审题人：辽宁名校联盟试题研发中心
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ， ，则
A. B.
C. D.
2. 若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ，若 ，则
A. B. C. D.
4. 若抛物线 上一点 到准线和对称轴的距离均为 4，则 的值为（ ）
A. 18 B. 4 C. 2 或 18 D. 4 或 9
5. 已知一个圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 若 同时满足：①三个内角成等差数列，②三边长成等差数列，则 （ ）
A. 是直角三角形 B. 是等边三角形
C. 是钝角三角形 D. 不存在
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7. 若函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知在数列 中， ，则 的前 项中的最大项为
（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 随机变量 服从参数为 的二项分布，即 ，其概率分布可用下图直观的表示，则（
）
A. B.
C. D.
10. 设 ，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若 表示正数 的整数部分，则
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11. 在棱长为 1 的正方体 中， 为平面 内一点（含边界）， 为平面 内
一点（含边界），则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则点 轨迹为圆的一部分
B. 若 ，则点 轨迹为椭圆的一部分
C. 若点 到 与到 的距离相等，则点 轨迹为抛物线的一部分
D. 若点 到 的距离为 1，则点 轨迹为双曲线的一部分
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应点 轨迹的离心率为__________.
13. 已知函数 ，若 ，则 的最大值为__________.
14. 数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后
又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点
为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是 0 个就是 2 个（要想一笔画成，
若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的
不同路径方法有__________种.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，曲线 在 处的切线斜率为 2.
（1）求 值；
（2）求不等式 的解集.
16. 设 是各项都为正数 递增数列，已知 ，且 满足关系式 .
（1）求 及数列 的通项公式；
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（2）令 ，求数列 的前 项积 .
17. 如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点 位于底面 两侧，底面边长为 是棱 的中点，
平面 平面 ，且正四棱锥 的体积是正四棱锥 体积的 3 倍.
（1）求证： ；
（2）若点 满足 ，求平面 与平面 所成角 正弦值.
18. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的
可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正
常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为 ，一个乙型部件的可靠度为 ，且
，系统能正常运行称为试验成功.
（1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒 9 件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在
内甲型部件可以正常工作.
盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42
盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34
盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64
盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57
盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59
盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度 ；
（ii）若 取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作
的概率；
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（2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的
部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化
方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
19 已知向量 绕着原点 沿逆时针方向旋转 角可得到向量
.
（1）求点 绕着原点 沿逆时针方向旋转 得到的点 的坐标；
（2）已知曲线 的方程为 ，点 是曲线 上任意一点.
（i）是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请
说明理由；
（ii）设直线 过定点 与曲线 交于点 ，直线 过定点 与曲线 交于点 ， ，且 ，求
四点构成的四边形面积的最小值.
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