辽宁省名校联盟2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省名校联盟2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xx2−2x−31”是“1x≤1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a10=a6+4，则S13=( )
A. 4B. 60C. 68D. 52
4.学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是( )
A. 12B. 16C. 13D. 23
5.若函数fx=lnx+x2−ax在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,1B. −∞,2 2C. −∞,2D. 1,+∞
6.设F1,F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点Pm,n在C上且PF1⋅PF2≤0，则m的取值范围是( )
A. − 72, 72B. − 72,−1∪1, 72
C. −2,2D. −2,−1∪1,2
7.对任意x,y∈R，都有fx+yfx−y=f2x−f2y，且fy不恒为0，函数gx=(1−x)2+sinx1+x2+fx，则g2+g−2=( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
8.已知AD=12AB=2，向量AP=λAD+1−12λAB，且AP的最小值为2 3，则PA⋅PB的最小值为( )
A. 12B. −12C. −1D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据x1、x2、⋯、xn，其平均数、中位数、方差、极差分别记为a1、b1、c1、d1，由这组数据得到新样本数据y1、y2、⋯、yn，其中yi=kxi+2025i=1,2,⋯,n，其平均数、中位数、方差、极差分别记为a2、b2、c2、d2，则( )
A. a2=ka1+2025B. b2=kb1+2025C. c2=k2c1D. d2=kd1
10.若n∈N∗，记φn为不超过n的正整数中与n互质(两个正整数除1之外，没有其余公因数)的正整数的个数，例如φ1=1,φ2=1,φ3=2,φ4=2，则下面选项正确的是( )
A. φ14=5B. φ16=8
C. 若p是质数，则φp=p−1D. φ2n+1≥φ2n
11.在正三棱台A1B1C1−ABC中，AB=2A1B1,P,D分别是线段B1C1,BC上的点，O1,O是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是( )
A. AA1⊥BC
B. 若BD=13BC,AA1//平面B1DM，则点M的轨迹长等于13AB
C. VA−CBB1C1=32VA1−ABC
D. 当PD⊥BC时，四点O1､O､D､P构成的图形为直角梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点Aa,2为抛物线x2=2pyp>0上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p= ．
13.设复数z1,z2满足z1=z2=1,z1−z2=−12+ 32i，则z1+z2= ．
14.y=(2csθ−csα)2+(sinθ−sinα−3)2的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图1，在▵ABC中，∠B=90∘，AC=3 5，D、E两点分别在AB、AC上，使ADDB=AEEC=DE=BD=2.现将▵ABC沿DE折起得到四棱锥A−BCED，在图2中AC= 29．
(1)求证：AD⊥平面BCED；
(2)求平面ABC与平面ACD所成角的正切值．
16.(本小题12分)
已知函数fx=x22+alnx−a+1x．
(1)求fx的单调递增区间；
(2)若a≥0,fx≥−e22对x∈1,+∞恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足 3bsinA1+csB=a
(1)求角B的大小；
(2)若b= 3，求▵ABC面积的最大值；
(3)求sinAsinC+sinBsinC+sinBsinA的取值范围．
18.(本小题12分)
甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
(1)求p1,q1和p2,q2；
(2)求证：{2pn+qn−1}是等比数列；
(3)求Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．
19.(本小题12分)
已知圆C1:x2+y2=1,C2:x2+y2=4,O为坐标原点，过圆C1上一动点G作圆C1的切线l1交圆C2于C,D两点，直线OG交圆C2于A,B两点．
(1)四边形ACBD的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；
(2)对平面上所有点进行如下变换x= 3x0y=y0,(即：原坐标x0,y0在这个变换下的新坐标为 3x0,y0)，圆C1、圆C2、直线l1分别变换成C3,C4,l2，点A,B,C,D,G变换成A1,B1,C1,D1,G1．
①写出C3,C4的方程，l2与C3是否相切，证明你的结论；
②四边形A1C1B1D1的面积是否是定值，请说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.ABC
10.BC
11.AC
12.2
13. 3
14.25
15.(1)在图1的▵ABC中，ADDB=AEEC=DE=BD=2，
所以，DE//BC，且AD=4，BC=32DE=3，
因为∠ABC=90∘，所以，∠ADE=90∘，则AD⊥DE，DE⊥BD，
在▵BCD中，∠CBD=90∘，BD=2，BC=3，则CD= BC2+BD2= 13，
在图2的▵ACD中，AD=4，CD= 13，AC= 29，
满足AD2+CD2=AC2，所以，AD⊥CD，
因为AD⊥CD，AD⊥DE，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCED，所以，AD⊥平面BCED．
(2)解法一：因为AD⊥平面BCED，DE⊥BD，
以点D为原点，DB、DE、DA的方向分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,4、B2,0,0、C2,3,0、D0,0,0，AB=2,0,−4，BC=0,3,0，
设平面ABC一个的法向量m=x1,y1,z1，则m⋅AB=2x1−4z1=0m⋅BC=3y1=0,
取x1=2，可得m=2,0,1，
设平面ACD的一个法向量为n=x2,y2,z2，DA=0,0,4，DC=2,3,0，
则n⋅DA=4z2=0n⋅DC=2x2+3y2=0，取x2=3，则n=3,−2,0，
设平面ABC与平面ACD所成角为θ，
则csθ=csm,n=m⋅nm⋅n=6 5× 13=6 65，
所以，sinθ= 1−cs2θ= 1−3665= 2965，tanθ=sinθcsθ= 296．
因此，平面ABC与平面ACD所成角的正切值为 296；
解法二：过B在平面BCED内作BF⊥CD，垂足为点F，
过点F在平面ACD内作FG⊥AC，垂足为点G，连接BG，
由(1)知AD⊥平面BCED，因为BF⊂平面BCED，则AD⊥BF，
因为BF⊥CD，AD∩CD=D，AD、CD⊂平面ACD，所以，BF⊥平面ACD，
因为AC⊂平面ACD，所以，BF⊥AC，
因为FG⊥AC，BF∩FG=F，BF、FG⊂平面BFG，所以，AC⊥平面BFG，
因为BG⊂平面BFG，则BG⊥AC，
所以，∠BGF为平面ABC与平面ACD所成的角，设∠BGF=θ．
在Rt△BCD中，∠CBD=90∘，BD=2，BC=3，CD= 13，
所以，BF=BC⋅BDCD=3×2 13=6 13，CF= BC2−BF2= 9−3613=9 13，
在Rt▵ACD中，AD=4，CD= 13，AC= 29，∠ADC=90∘，
所以，sin∠ACD=ADAC=FGCF，则FG=AD⋅CFAC=4×9 13 29=36 13× 29，
在Rt▵BFG中，tanθ=BFFG=6 13× 13× 2936= 296，
所以，平面ABC与平面ACD所成角的正切值为 296．
16.(1)解：由函数fx=x22+alnx−a+1x，其中x>0，
可得f′x=x+ax−a+1=x−a⋅x−1x，
当a