福建省莆田市2025届高三下学期二模考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省莆田市2025届高三下学期二模考试数学试卷（Word版附解析），文件包含福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷原卷版docx、福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 已知，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件
5. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ）
A. 2B. 5C. 8D. 11
7. 为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下：
根据最小二乘法（即取最小），关于的回归直线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（ ）
A. 0个B. 4个C. 8个D. 16个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线交于两点，列结论正确的是（ ）
A. B. 渐近线方程为
C. 的最小值为4D. 内切圆圆心在直线上
10. 在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确是（ ）
A. 为直角三角形B. 平面
C. 三棱锥的体积最大值为D. 三棱锥外接球的半径为定值
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，是的极大值点
B. 存在实数，使得成立
C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中的常数项为_________．
13. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m．
14. 在中，，的面积为3，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记为等差数列的前项和．已知．
（1）求的通项公式；
（2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和．
16. 如图，在直三棱柱中，平面平面为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．
（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7．
（ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境概率；
（2）已知当前每次测试成功概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：
方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
18. 已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19. 若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．
（1）求的单调区间：
（2）判断在上是否具有性质，并说明理由；
（3）当时，在上具有性质，证明：．母亲身高
164
166
166
166
168
女儿身高
165
165
166
167
167