福建省莆田市2025届高三下学期二模考试数学试题 含解析

这是一份福建省莆田市2025届高三下学期二模考试数学试题 含解析，共21页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，则（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算求出，然后由共轭复数概念和复数模公式可得.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
故选：C
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】.
故选：C.
3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量定义公式计算求解即可得解.
【详解】在方向上的投影向量是，
故选：A.
4. 设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】要判断“”与“等比数列为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“”能否推出“等比数列为递增数列”，以及“等比数列为递增数列”能否推出“”.
【详解】假设.对于等比数列，其通项公式为.
当，时，根据通项公式可得.
此时，等比数列不是递增数列.
这说明仅仅不能保证等比数列一定是递增数列，
所以“”不是“等比数列为递增数列”的充分条件.
假设等比数列为递增数列，那么.
由通项公式可得，，所以.
当时，不等式两边同时除以（因为，，不等号方向改变），
得到.例如当时，，解得.
这说明等比数列为递增数列时，不一定有，
所以“”不是“等比数列为递增数列”的必要条件.
则“”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
5. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选：B.
6. 已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ）
A. 2B. 5C. 8D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值.
【详解】因为函数在上单调，
所以，得.
又直线为的图象的对称轴，
所以，
得，当时，.
故选：B.
7. 为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下：
根据最小二乘法（即取最小），关于的回归直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，进行排除即可.
【详解】观察数据，可得与有关，故排除D.
又，.
所以回归直线方程必过点，所以排除AB.
故选：C
8. 设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（ ）
A. 0个B. 4个C. 8个D. 16个
【答案】B
【解析】
【分析】设，，表达出正方形边长，求出等号成立时，，得到答案.
【详解】，由勾股定理得，设，，
则，，
由对称性可知，，
所以，
当且仅当时，等号成立，此时不妨设点为点，则，
同理可得，，
经验证，在上，故该正方形与圆的公共点至多有4个.
故选：B
【点睛】关键点点睛：设出角度，由对称性得到正方形边长，求出取最大值时四点的坐标，得到答案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线交于两点，列结论正确的是（ ）
A. B. 渐近线方程为
C. 的最小值为4D. 内切圆圆心在直线上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的计算得出焦点及渐近线判断A，B，联立求解弦长计算判断C，结合圆的切线长定理、双曲线的定义判断D.
【详解】因为双曲线中，所以，所以，所以左焦点，故A正确；
渐近线方程为，故B错误；
双曲线，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，则；
当直线的斜率为：或时，
设直线的方程为，设，
联立，得，
则，，
所以，
由于或，则，即.
当直线的斜率为：时，过的直线交于两点，左右各有一个交点，，
当斜率为0时，取得最小值，最小值为，故C正确．
设圆分别与相切于点，则．
因为，所以．
令的横坐标为，则，即为双曲线的右顶点，
即内切圆圆心定直线上，
同理如果在双曲线左支上，可得内切圆圆心在定直线上，故D正确．
故选：ACD.
10. 在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ）
A. 为直角三角形B. 平面
C. 三棱锥的体积最大值为D. 三棱锥外接球的半径为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用线面垂直证明平面，然后可判断A；连接相交于点，连接，证明为的重心即可判断B；利用基本不等式求面积的最大值即可判断C；利用补形法求解可判断D.
【详解】对A，因为平面，平面，所以，
又是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以，所以为直角三角形，正确；
对B，连接相交于点，连接，
若平面，平面平面，平面，则，
因为为的中线，所以为的重心，，
因为为的中点，所以，与矛盾，故B错误；
对C，因为，得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，正确；
对D，将三棱锥补形成长方体，易知即为外接球的直径，
易得，外接球半径，正确.
故选：ACD
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，是极大值点
B. 存在实数，使得成立
C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过求导判断函数的单调性进而确定极值点即可判断A；代入函数进行化简验证等式即可判断B；根据函数在区间上的单调性得出关于的不等式，解之即可判断C；利用导数讨论函数的单调性，结合零点情况确定的取值范围即可判断D.
【详解】A：，令，得或.
当时，，令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，故A正确；
B：，
所以，
整理得，
所以，解得，即存在使得，故B正确；
C：若在上单调递减，则在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
又在上单调递减，其值域为，所以，故C错误；
D：由选项A知，当时，，
令，解得，所以函数又两个零点，不符合题意；
当时，，令或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，则，
解得或（舍去），所以，此时，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，且，则，
解得或（舍去），所以.
综上，的取值范围为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：解决本题选项D的关键是分类讨论取值范围，求出对应的极值，利用存在唯一的零点且建立不等式，解不等式即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中的常数项为_________．
【答案】12
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出通项公式，令指数为零找出常数项即可．
【详解】通项，令，得，
∴展开式的常数项为．
故答案为：12.
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
13. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m．
【答案】
【解析】
【分析】建立坐标系，先根据条件求抛物线的方程，再根据的值求即可.
【详解】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系.
设抛物线方程为：，由题意，抛物线过点.
所以，所以抛物线方程为：.
水面上升，则，此时或.
所以水面宽度为：.
故答案为：
14. 在中，，的面积为3，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可.
【详解】设，则，
由，得.
由余弦定理得，
令，则，
即（其中），
所以，即，
得，解得或，即或（舍去），
解得或（舍去），所以的最小值为4.
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理计算得到后，转化为，解不等式即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记为等差数列的前项和．已知．
（1）求的通项公式；
（2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和．
【答案】（1）；
（2）487
【解析】
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）列举法表示，得到的前20项，并分组求和，得到答案.
【小问1详解】
设公差为，
由题意得，
解得，
故；
【小问2详解】
，
，
故的前20项为，
故的前20项和为
.
16. 如图，在直三棱柱中，平面平面为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直即可得出线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦值即可.
【小问1详解】
如图，
在直三棱柱中，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以四边形是正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
【小问2详解】
因为平面，平面，所以.
又，，平面，平面，
所以平面，所以两两垂直，
以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，
所以，
设是平面的法向量，
则，所以，
取，则，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．
（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7．
（ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
（2）已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：
方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
【答案】（1）； （2）方案二
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）应用全概率公式计算求解；（ⅱ）应用贝叶斯公式计算求解．
（2）分析的取值，对于方案一，计算成本；对于方案二，利用规则得出对应概率列出分布列再求期望，比较即可判断求解．
【小问1详解】
（ⅰ）记事件A是“安静环境”，则是“嘈杂环境”，记事件B是“语音识别成功”.
所以；
（ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，则当天处于安静环境的概率；
【小问2详解】
设每次测试成本固定为，
设方案一和方案二测试成本分别为，
方案一：测试4次则测试4次；
方案二：可取，
，
，
随机变量的分布列如下表所示：
所以．
所以，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二．
18. 已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）设椭圆．若过直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）根据条件，列出方程求出，即可得出椭圆方程；
（2）（ⅰ）问题可转化为两弦中点重合，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式可得证；
（ⅱ）根据根与系数的关系及可得的关系式，再由三角形面积相等及点到直线的距离可得另外的关系式，据此联立即可求解.
【小问1详解】
由已知，可得，
因为，，
解得，
所以椭圆方程为
【小问2详解】
如图，
（ⅰ）证明：
要证，只需证明弦的中点与弦的中点重合.
当垂直于轴时，弦的中点都是坐标原点，故它们的中点重合，
此时
当不垂直于轴时，设直线的方程为，
由，得，
则，
所以弦中点的横坐标为，
同理可得，
所以弦中点的横坐标为
所以弦的中点与弦的中点重合，此时.
综上所述，
(ii)因为，所以，
又因为点在第一象限内，，
由(i)知，，所以,
又，所以，
化简得 ①
设到的距离为，C到的距离为，
假设的面积与的面积相等，则，
因为，所以，所以,
又，
因为，所以，
所以 ②
由①②解得，经检验符合题意，
所以
【点睛】关键点点睛：在求参数的过程中，根据，的面积与的面积相等，分别列出方程，再联立方程即可求出参数的取值.
19. 若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．
（1）求的单调区间：
（2）判断在上是否具有性质，并说明理由；
（3）当时，在上具有性质，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）具有，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后借助导函数的正负即可得原函数单调区间；
（2）由，则可分、，结合函数单调性进行讨论；
（3）由题意可得函数在时恒成立，结合导数讨论其单调性可得其在上单调递增，则有，再构造函数，结合导数研究其单调性，再结合则可得.
【小问1详解】
，
则当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
在上具有性质，理由如下：
由（1）知上单调递增，在上单调递减，
又，，故，
故当时，，有，，
故，
当时，，有，
综上，，恒成立，
即在上具有性质；
【小问3详解】
因为在上具有性质，
所以在时恒成立，
则在时恒成立，
即在时恒成立，
设，，
，
令，则，
设，，
则，
故在上单调递减，则，
故，故在上单调递增，
则，，
设，则，
令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，则，
又当时，，
故存在，使得，
即当时，，当时，，
又
，
令，
则，
故在上单调递减，则，
故，
故，则，即.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于理解所给新性质，将在上具有性质转化为在时恒成立，从而结合导数得到恒成立.母亲身高
164
166
166
166
168
女儿身高
165
165
166
167
167