江苏省无锡市南长实验中学2025届中考一模 数学模拟试题（含解析）

这是一份江苏省无锡市南长实验中学2025届中考一模 数学模拟试题（含解析），共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）25的平方根是（ ）
A．±5B．5C．﹣5D．±5
2．（3分）函数y=x−3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3C．x＞3 D．x为任意实数
3．（3分）下列方程组的解为x=3y=1的是（ ）
A．x−y=2x+2y=4B．2x−y=5x+y=3
C．x+y=3x−y=2D．2x−y=5x+3y=6
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2B．a•a3＝a4C．（a3）2＝a5D．a6÷a3＝a2
5．（3分）将一次函数y＝﹣2x的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝﹣8xB．y＝4xC．y＝﹣2x﹣6D．y＝﹣2x+6
6．（3分）某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．7500（1﹣x）2＝10800B．7500（1+x）2＝10800
C．10800（1﹣x）2＝7500D．10800（1+x）2＝7500
7．（3分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．60°C．100°D．120°
8．（3分）下列命题中，假命题有（ ）
①互补的角是邻补角；②平移前后的两个图形面积相等；
③无理数的和也是无理数；④带根号的实数都是无理数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）将一边长为（a﹣1）cm的正方形A向右平移，使其通过一个长为（a+2）cm，宽为a cm（a＞1）的长方形区域B，设在正方形A向右平移的过程中，长方形区域B内被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．4a+1B．4a﹣1C．2a2+1D．2a2﹣1
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝2，④FG+GH=2GO，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．（3分）在实数范围内分解因式：4x2﹣6y2＝ ．
12．（3分）2023年10月7日，中国电信发布2023年中秋国庆双节假期文化和旅游市场情况．双节假期国内旅游出游826000000亿人次，826000000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）方程3xx+1=9x+1的解是 ．
14．（3分）已知圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 ．
15．（3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y=−14x的图象上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）．
16．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是 元．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数y=32x(x＞0)的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点A(−2，2)，B(22，22)的直线与曲线l相交于点C、D，则sin∠COD＝ ．
18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
（1）若该抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点，则m的值为 ；
（2）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，m的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）2tan45°﹣（2−1）0+（−12）﹣2； （2）（a+2b）2﹣（a+b） （a﹣b）．
20．（8分）（1）解方程：x（x﹣2）＝3； （2）解不等式组5+3x＞18x3≤4−x−22
21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）求∠AED的度数．
22．（10分）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
23．（10分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出的统计图，请根据统计图，完成以下问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ；
（2）在扇形统计图中，表示“书法类”部分的扇形的圆心角是 ；
（3）若该校七年级共有450名同学参加社团活动，请求出参加“文学类”活动学生的大致人数．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E，使∠BDE＝45°；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若CE＝1，BE＝5，则CD的长为 ．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD=185，sinF=35时，求OF的长．
26．（10分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
27．（10分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD．
（1）求证：ACAP=ABAD；
（2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；
（3）已知AB=2，设CP＝x，S△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式．
28．（10分）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求DBBA的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
2025年江苏省无锡市侨谊实验学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，
1．（3分）25的平方根是（ ）
A．±5B．5C．﹣5D．±5
【分析】直接利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：25的平方根是±5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方根，正确掌握平方根的定义是解题关键．
2．（3分）函数y=x−3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥3
C．x＞3D．x为任意实数
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：函数y=x−3中x﹣3≥0，
所以x≥3，
故选：B．
【点评】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）下列方程组的解为x=3y=1的是（ ）
A．x−y=2x+2y=4B．2x−y=5x+y=3
C．x+y=3x−y=2D．2x−y=5x+3y=6
【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解．
【解答】解：A、x=3y=1不是方程x+2y＝4的解，故该选项错误；
B、x=3y=1不是方程x+y＝3的解，故该选项错误；
C、x=3y=1不是方程x+y＝3的解，故该选项错误；
D、x=3y=1适合方程组中的每一个方程，故该选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了方程组的解的定义，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2B．a•a3＝a4C．（a3）2＝a5D．a6÷a3＝a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2，不符合题意；
B、原式＝a4，符合题意；
C、原式＝a6，不符合题意；
D、原式＝a3，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）将一次函数y＝﹣2x的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝﹣8xB．y＝4xC．y＝﹣2x﹣6D．y＝﹣2x+6
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x的图象向下平移6个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝﹣2x﹣6，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
6．（3分）某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．7500（1﹣x）2＝10800B．7500（1+x）2＝10800
C．10800（1﹣x）2＝7500D．10800（1+x）2＝7500
【分析】利用该阅览室2017年图书借阅总量＝该阅览室2015年图书借阅总量×（1+该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：7500（1+x）2＝10800．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．60°C．100°D．120°
【分析】根据平移直线AB至CD，可得AB∥CD，所以∠BMF＝∠2，根据对顶角相等得∠BMF＝∠1＝60°，所以∠2＝60°．
【解答】解：如图，
∵平移直线AB至CD，
∴AB∥CD，
∴∠BMF＝∠2，
∵∠BMF＝∠1＝60°，
∴∠2＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质和平行线的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和平行线的性质．
8．（3分）下列命题中，假命题有（ ）
①互补的角是邻补角；
②平移前后的两个图形面积相等；
③无理数的和也是无理数；
④带根号的实数都是无理数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据邻补角的定义、平移的性质、无理数的定义解答即可．
【解答】解：①互补的角不一定是邻补角，所以原命题是假命题，故符合题意；
②平移前后的两个图形面积相等，是真命题，故不符合题意；
③无理数的和不一定是无理数，如：2与−2的和是有理数，所以原命题是假命题，故符合题意；
④带根号的实数不一定是无理数，如4=2是有理数，所以原命题是假命题，故符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
9．（3分）将一边长为（a﹣1）cm的正方形A向右平移，使其通过一个长为（a+2）cm，宽为a cm（a＞1）的长方形区域B，设在正方形A向右平移的过程中，长方形区域B内被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．4a+1B．4a﹣1C．2a2+1D．2a2﹣1
【分析】当A完全在B之内时S有最小值＝a（a+2）﹣（a﹣1）2＝4a﹣1．
【解答】解：当A完全在B之内时S有最小值＝a（a+2）﹣（a﹣1）2＝4a﹣1；
故应选：B．
【点评】本题主要考查了图形移动中的最小值问题，解题关键是找准何时取得最小值．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝2，④FG+GH=2GO，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由正方形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，∠ABO＝∠ACB＝45°，证明△AOF≌△BOH，得出OF＝OH，①正确；
由∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，得出△AOF∽△BGF，②正确；
证明A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，证出∠GOH＝∠AEB，得出tan∠GOH＝tan∠AEB=ABBE=2，③正确；
过点O作OM⊥OG，交GH延长线于点M，证得∠FOG＝∠HOM，∠OMH＝∠OGF，由AAS证得△OMH≌△OGF得出OG＝OM，FG＝HM，则△GOM是等腰直角三角形，得出GM=2OG，即可得出FG+GH=2GO，④正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，∠ABO＝∠ACB＝45°，
∴∠AOF＝∠BOH＝90°，
∵BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG，
∴∠OAF＝∠OBH，
在△AOF和△BOH中，∠OAF=∠OBHOA=OB∠AOF=∠BOH，
∴△AOF≌△BOH（ASA），
∴OF＝OH，①正确；
∵∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，
∴△AOF∽△BGF，②正确；
∵点E是BC的中点，
∴AB＝BC＝2BE，
∵∠AOB＝∠AGB＝90°，
∴A、B、G、O四点共圆，
∴∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，
∵∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠GOH＝∠AEB，
∴tan∠GOH＝tan∠AEB=ABBE=2，③正确；
过点O作OM⊥OG，交GH延长线于点M，如图所示：
∵∠BOC＝∠GOM＝90°，
∴∠FOG＝∠HOM，
∵∠OMG+∠OGM＝90°，∠OGF+∠OGM＝90°，
∴∠OMH＝∠OGF，
由①正确得：OF＝OH，
在△OMH和△OGF中，∠FOG=∠HOM∠OGF=∠OMHOF=OH，
∴△OMH≌△OGF（AAS），
∴OG＝OM，FG＝HM，
∴△GOM是等腰直角三角形，
∴GM=2OG，
∵GM＝GH+HM＝GH+FG，
∴FG+GH=2GO，④正确；
正确的个数有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的位置）
11．（3分）在实数范围内分解因式：4x2﹣6y2＝ 2（2x+3y）（2x−3y） ．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（2x2﹣3y2）
＝2（2x+3y）（2x−3y），
故答案为：2（2x+3y）（2x−3y）．
【点评】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（3分）2023年10月7日，中国电信发布2023年中秋国庆双节假期文化和旅游市场情况．双节假期国内旅游出游826000000亿人次，826000000用科学记数法表示为 8.26×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值即可求解．
【解答】解：826000000＝8.26×108，
故答案为：8.26×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）方程3xx+1=9x+1的解是 x＝3 ．
【分析】解分式方程得结论．
【解答】解：去分母，得3x＝9，
∴x＝3．
经检验，x＝3是原方程的解．
故答案为：x＝3．
【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
14．（3分）已知圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 36πcm2 ．
【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再根据扇形面积公式、圆的面积公式计算即可．
【解答】解：∵圆锥的高为3cm，母线长为5cm，
∴圆锥的底面半径为：52−32=4（cm），
∴圆锥的表面积为：π×42+12×2π×4×5＝36π（cm2），
故答案为：36πcm2．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式、圆的面积公式是解题的关键．
15．（3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y=−14x的图象上，则y1 ＞ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】由k=−14＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合1＜2，即可得出结论．
【解答】解：∵k=−14＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
16．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是 53 元．
【分析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，
根据题意得：8y−x=37y−x=−4，
解得：x=53y=7．
故答案为：53．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数y=32x(x＞0)的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点A(−2，2)，B(22，22)的直线与曲线l相交于点C、D，则sin∠COD＝ 16481481． ．
【分析】由题意点A(−2，2)，B(22，22)，可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出C、D的坐标，根据勾股定理求得OC、OD的长，根据S△OCD＝S△OBC﹣S△OBD计算求得△OCD的面积，根据三角形面积公式求得CE的长，然后解直角三角形即可求得sin∠COD的值．
【解答】解：∵A(−2，2)，B(22，22)，
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，2），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′=−12x′+2，
由y′=−12x+2y′=32x′，解得x′=1y′=32或x′=3y′=12，
∴C（1，32），D（3，12），
∴S△OCD＝S△OBC﹣S△OBD=12•4•32−12•4•12=2，
∵C（1，32），D（3，12），
∴OC=12+(32)2=132，OD=32+(12)2=372，
作CE⊥OD于E，
∵S△OCD=12OD•CE＝2，
∴CE=83737，
∴sin∠COD=CEOC83737132=16481481，
故答案为16481481．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
（1）若该抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点，则m的值为 18 ；
（2）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，m的值为 ﹣1或﹣2 ．
【分析】（1）依据题意，令﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝x+1，从而x2﹣（2m﹣1）x+m2+m＝0，又抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点，从而Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+m）＝0，进而可以判断得解；
（2）分为点A在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点A作AG⊥DH，垂足为G，由∠ADH＝∠AHO可得到AGDG=AOHO，然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，令﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝x+1，
∴x2﹣（2m﹣1）x+m2+m＝0．
又∵抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+m）＝0．
∴m=18．
故答案为：18．
（2）∵顶点D在第二象限，
∴m＜0．
当点A在y轴的正半轴上，
如图（1）作AG⊥DH于点G，
∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），
∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）
∵∠ADH＝∠AHO，
∴tan∠ADH＝tan∠AHO，
∴AGDG=AOHO．
∴−m1−m−(−m2−m+1)=−m2−m+1−m．
∴m2+m＝0．
∴m＝﹣1或m＝0（舍）．
当点A在y轴的负半轴上，如图（2）．作AG⊥DH于点G，
∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），
∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）
∵∠ADH＝∠AHO，
∴tan∠ADH＝tan∠AHO，
∴AGDG=AOHO．
∴−m1−m−(−m2−m+1)=m2+m−1−m．
∴m2+m﹣2＝0．
∴m＝﹣2或m＝1（舍）．
综上所述，m的值为﹣1或﹣2．
故答案为：﹣1或﹣2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的顶点坐标，平移与坐标变换、二次函数的性质，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义列出关于m的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）2tan45°﹣（2−1）0+（−12）﹣2；
（2）（a+2b）2﹣（a+b） （a﹣b）．
【分析】（1）根据锐角三角函数、零指数幂的意义以及负整数幂的意义即可求出答案．
（2）根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×1﹣1+4＝5
（2）原式＝a2+4ab+4b2﹣（a2﹣b2）
＝4ab+5b2
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）（1）解方程：x（x﹣2）＝3；
（2）解不等式组5+3x＞18x3≤4−x−22
【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据解不等式组的方法，可得答案．
【解答】（1）解方程：x （x﹣2）＝3
x2﹣2x﹣3＝0
因式分解，得
（x﹣3）（x+1）＝0
于是，得
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1
（2）由①得x＞133，
由②得x≤6，
∴不等式组的解集是133＜x≤6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解得出（x﹣3）（x+1）＝0是解题关键．
21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）求∠AED的度数．
【分析】（1）由正方形的性质得AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，由等边三角形的性质得BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，则∠ABE＝∠DCE，即可证明△ABE≌△DCE，得AE＝DE；
（2）由（1）得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE＝x°，依题意得180﹣2x＝360﹣60﹣2（90﹣x），求出x，再用180﹣2x即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ECB﹣∠ECB，
∴∠ABE＝∠DCE，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠ABE=∠DCEBE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE；
（2）由（1）得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE＝x°，依题意得
180﹣2x＝360﹣60﹣2（90﹣x），
x＝15，
180﹣2×15＝150，
∴∠AED为150度．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCE是解题的关键．
22．（10分）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 13 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，
∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为29．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出的统计图，请根据统计图，完成以下问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 100 ；
（2）在扇形统计图中，表示“书法类”部分的扇形的圆心角是 72 ；
（3）若该校七年级共有450名同学参加社团活动，请求出参加“文学类”活动学生的大致人数．
【分析】（1）由体育类的人数除以所占的百分比即可求出调查的总学生数；
（2）由书法类的人数除以总人数求出百分比，乘以360即可得到结果；
（3）用总人数乘文学类的百分比即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：40÷40%＝100（名）；
答：本次抽样调查的样本容量为100；
故答案为：100；
（2）表示“书法类”部分的扇形的圆心角是20100×360°＝72°，
故答案为：72；
（3）450×30100=135（人），
答：该校七年级学生参加文学类社团的人数为135人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E，使∠BDE＝45°；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若CE＝1，BE＝5，则CD的长为 3或2 ．
【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D，则直线BD即为所求作的直l；作线段BD的垂直平分线MN和以BD为直径的⊙O，MN与半圆BCD的交点为F，连接DF，DF与BC的交点即为点E；
（2）作EF⊥BD于点F，设FE＝x，推出DE=2x，BF=25−x2，在Rt△CDE、Rt△BEF和Rt△BCD中，利用勾股定理得构造方程解答即可．
【解答】解：（1）直线l与点E如图所示：
（2）如图，作EF⊥BD于点F，
设FE＝x，
∵∠BDE＝45°，
∴∠DEF＝∠BDE＝45°，
∴FD＝FE＝x，
∴DE=2x，
在Rt△CDE、Rt△BEF和Rt△BCD中，由勾股定理得，
CD2＝DE2﹣CE2，BF2＝BE2﹣EF2，CD2＝BD2﹣BC2，
∵CE＝1，BE＝5，
∴BF=25−x2，
(2x)2−12=(x+25−x2)2−(1+5)2，
解得，x1=5，x2=−5（舍去），x3=102，x4=−102（舍去），
当x=5时，CD=2x2−1=2×5−1=3，
当x=102时，CD=2×104−1=2，
故答案为：3或2．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图：作一个角的平分线和作已知线段的垂直平分线，圆周角定理，勾股定理等知识，作出图形，添加辅助线构造直角三角形，利用勾定理是解答本的关键．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD=185，sinF=35时，求OF的长．
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1．
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：连接AD．如图所示：
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF=BDAB=35，
∴AB=53BD＝6，
∴OB＝OC＝3，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF=OCOF=35，
解得：OF＝5．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
26．（10分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润＝单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：30x+40y=380040x+30y=3200，
解得：x=20y=80．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，
根据题意得：w＝（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m＝10m+10000．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
∵在w＝10m+10000中，k＝10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m＝200时，w取最大值，最大值为10×200+10000＝12000，
∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．
27．（10分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD．
（1）求证：ACAP=ABAD；
（2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；
（3）已知AB=2，设CP＝x，S△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式．
【分析】（1）设AD与PB交于点K．由△AKB∽△PKD，推出△AKP∽△BKD，推出∠ADB＝∠APK，∠PAK＝∠DBK＝45°，推出∠ABD＝∠∠DBK＝90°，推出∠ABD＝∠ACP，由∠ADB＝∠APC，推出△ABD∽△ACP，即可解决问题．
（2）结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°．由（1）可知△AKP∽△BKD，即可推出∠PAK＝∠DBK＝45°．
（3）在Rt△ABC中，由AB=2，推出BC＝AC＝1，在Rt△ACP中，PA=AC2+PC2=1+x2，由△ABD∽△ACP，推出ACAB=PCBD，推出12=xBD，可得BD=2x，
根据S＝S△ABD+S△APD﹣S△ABP计算即可．
【解答】（1）证明：如图，设AD与PB交于点K．
∵CA＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵PA＝PD，∠APD＝90°，
∴∠PDK＝∠PAD＝∠ABK＝45°，
∵∠AKB＝∠DKP，
∴△AKB∽△PKD，
∴AKPK=BKDK，
∴AKKB=PKDK，
∵∠AKP＝∠BKD，
∴△AKP∽△BKD，
∴∠ADB＝∠APK，∠PAK＝∠DBK＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠ACP，
∵∠ADB＝∠APC，
∴△ABD∽△ACP，
∴ACAP=ABAD；
（2）解：结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°．
理由：由（1）可知△AKP∽△BKD，
∴∠PAK＝∠DBK＝45°，
∴在点P运动过程中，∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°
（3）解：在Rt△ABC中，∵AB=2，
∴BC＝AC＝1，
在Rt△ACP中，PA=AC2+PC2=1+x2，
∵△ABD∽△ACP，
∴ACAB=PCBD，
∴12=xBD，
∴BD=2x，
∴S＝S△ABD+S△APD﹣S△ABP=12•2•2x−12•1+x2•1+x2−12（1+x）•1=12x2+12x．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求三角形面积．
28．（10分）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求DBBA的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；
（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；
②根据△OCD∽△A′BD，得OCA′B=CDBD，则BDAB=CDOC，即BDAB的最小值就是CDOC的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，DBBA有最小值是22；
（3）解法一：根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为22：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论．
解法二：设BD＝t，根据OB＝3列方程可得t的值，计算A'D，AM的长，表示点M的坐标，计算BM的解析式，列方程可得结论．
【解答】（1）解：∵二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，
∴二次函数的解析式为：y=12（x﹣0）（x﹣4）=12x2﹣2x；
（2）①证明：如图1，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA′B=CDBD，
∵AB＝A'B，
∴BDAB=CDOC，
∴BDAB的最小值就是CDOC的最小值，
y=12x2﹣2x=12（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴OC＝22，
∴当CD⊥OA时，CD最小，BDAB的值最小，
当CD＝2时，BDAB的最小值为222=22；
（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴S△OCD：S△A'BD＝8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴S△OCDS△A′BD=（OCA′B）2＝8，
∴OCA′B=22，
∵OC＝22，
∴A'B＝AB＝1，
∴BF＝2﹣1＝1，
如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，
由翻折得：AA'⊥CH，
∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠BAH，
tan∠BCF＝tan∠GAA'，
∴BFCF=A′GAG=12，
设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，
在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，
∴a2+（2a﹣1）2＝12，
∴a1＝0（舍），a2=45，
∴BG＝2a﹣1=85−1=35，
∵A'G∥OQ，
∴△A'GB∽△QOB，
∴A′GOQ=BGOB，即45OQ=353，
∴OQ＝4，
∴Q（0，4），
设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，
∴m=43k+m=0，
解得：k=−43m=4，
∴直线A'B的解析式为：y=−43x+4，
∴−43x+4=12x2﹣2x，
3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x=2±2193，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是2±2193．
（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，
∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA′B=CDBD=ODA′D=22，
∵OC＝22，
∴A'B＝AB＝1，
设BD＝t，则CD＝22t，
∴A'D＝22−22t，OD＝22A'D＝8﹣8t，
∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝3，
∴8﹣8t+t＝3，
∴t=57，
∴A'D＝22−1027=427，
∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，
∴△A'BD≌△ABM（ASA），
∴AM＝A'D=427，
∵△AHM是等腰直角三角形，
∴AH＝MH=47，
∴M（247，−47），
易得BM的解析式为：y=−43x+4，
∴−43x+4=12x2﹣2x，
解得：3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x=2±2193，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是2±2193．
【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．
购进数量（件）
购进所需费用（元）
A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
C
B
B
C
B
D
购进数量（件）
购进所需费用（元）
A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200