江苏省无锡市锡山区锡北片2025届中考一模 数学试题（含解析）

这是一份江苏省无锡市锡山区锡北片2025届中考一模 数学试题（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．13C．−13D．﹣3
2．（3分）函数y=x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x＞2D．x≥2
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a6B．6a2﹣2a2＝3a2
C．a2•a4＝a6D．（2a2）3＝6a6
4．（3分）已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．34，35B．34，34C．35，34D．35，35
5．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A．24πcm2B．12πcm2C．6πcm2D．4πcm2
6．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．圆B．等腰三角形
C．菱形D．平行四边形
7．（3分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A．检测某城市空气质量
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C．检测一批节能灯的使用寿命
D．检测某批次汽车的抗撞能力
8．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角互补
9．（3分）如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点D，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣9C．﹣10D．﹣12
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为（ ）
A．125B．145C．7225D．3625
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填
11．（3分）计算：（x﹣2）2＝ ．
12．（3分）3月国内乘用车零售销量为2390000辆，这个数据用科学记数法可表示为 ．
13．（3分）分式方程1x=2x+1的解为 ．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P＝40°，则∠ABC的度数为 ．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于点F，则EF：FB的比值是 ．
16．（3分）一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 ．
17．（3分）如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝103，BE＝23，则BC＝ ．
18．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线AC与BD交于点M，且AM：MC＝1：2．若AB＝3，则BM＝ ；若BD＝6，则△ACD的面积最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.）
19．（8分）计算：
（1）|−4|−16+(12)−1；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）解不等式组：3x−3＞x+12(2x−1)≤5x−1．
21．（10分）3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小文一共随机抽取 名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于 度；
（2）补全条形统计图；
（3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是 ；
（4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有 名．
22．（10分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
（1）小明诵读《论语》的概率是 ；
（2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（10分）如图，A、D、B、F在一条直线上，DE∥CB，BC＝DE，AD＝BF．
（1）求证：△ABC≌△FDE；
（2）连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．
24．（10分）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
25．（10分）已知在△ABC中，∠A＞90°．
（1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O，使得⊙O与AB、BC所在直线相切，且与BC的切点为点C；（不写作法，但保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，已知AB＝3，BC＝6，⊙O的半径为2，则△ABC的面积为 ．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线与BC相交于点D，与⊙O过点B的切线相交于点E．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝6，BD＝3，求AD的长．
27．（10分）在▱ABCD中，AB=32，E是边BC上一点，将△ABE沿着AE翻折到△AFE，
（1）如图1，若E、F、D三点共线，
①求证：AD＝DE；
②若BC＝2，∠AFE＝∠CFE，求BE的长．
（2）如图2，若BC=135，点E是BC中点，CF＝1，求▱ABCD的面积．
28．（10分）如图，抛物线y=−12x2+bx与x轴交于点A（5，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若OCCD=54，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2025年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．13C．−13D．﹣3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（3分）函数y=x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x＞2D．x≥2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a6B．6a2﹣2a2＝3a2
C．a2•a4＝a6D．（2a2）3＝6a6
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a2+a2＝2a2，则A不符合题意，
6a2﹣2a2＝4a2，则B不符合题意，
a2•a4＝a6，则C符合题意，
（2a2）3＝8a6，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（3分）已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．34，35B．34，34C．35，34D．35，35
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可计算出这组数据的平均数和中位数．
【解答】解：数据：35，33，31，35，36按照从小到大排列是：31，33，35，35，36，
这组数据的平均数是：15（35+33+31+35+36）=15×170＝34，
中位数是：35，
故选：A．
【点评】本题考查中位数和算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数和中位数的计算方法．
5．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A．24πcm2B．12πcm2C．6πcm2D．4πcm2
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积为：12×2π×3×4＝12π（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
6．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．圆B．等腰三角形
C．菱形D．平行四边形
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
7．（3分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A．检测某城市空气质量
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C．检测一批节能灯的使用寿命
D．检测某批次汽车的抗撞能力
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A．检测某城市空气质量，适合抽样调查，故不符合题意；
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况，适合普查，故符合题意；
C．检测一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故不符合题意；
D．检测某批次汽车的抗撞能力，适合抽样调查，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
8．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角互补
【分析】根据矩形，菱形的性质即可解答．
【解答】解：对边平行，对角线互相平分是矩形，菱形都具有的性质，故A，B不符合题意，
对角互补是矩形具有，而菱形不具有的性质，故D不符合题意；
菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查矩形，菱形的性质，解题的关键是掌握矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直．
9．（3分）如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点D，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣9C．﹣10D．﹣12
【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DM＝DN＝DP，再根据角的对称性得出BN＝BP，由勾股定理求出AB，设ON＝a，利用四边形DMON是正方形，列方程求出a的值，确定点D坐标，进而求出k的值．
【解答】解：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，作DP⊥AB交AB的延长线于点P，
∵ON⊥OM，DM⊥OM，DN⊥OC，
∴四边形DMON是长方形，
∵AD平分∠OAB，DM⊥OM，DN⊥OC，
∴DM＝DN，
∴四边形DMON是正方形，
又∵BE平分∠ABC，DN⊥OC，DP⊥AP，
∴DN＝DP，
在Rt△AOB中，
AB=OA2+OB2=32+42=5，
由对称可得，AP＝AM，BP＝BN，
设ON＝a，则OM＝a，BN＝4﹣a＝BP，
∵AP＝AB+BP＝5+（4﹣a），AM＝OA+OM＝3+a，
∴5+4﹣a＝3+a，
解得a＝3，
即ON＝DM＝DN＝3，
∴点D（﹣3，3），
∴k＝﹣3×3＝﹣9，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握角平分线的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为（ ）
A．125B．145C．7225D．3625
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，连接HG并延长交CD于点E，过点H作HF⊥CD于点F，利用相似三角形的判定与性质得到∠DAP＝∠DHG＝定值，则点G在HE上运动，当CG⊥HE时，CG取得最小值；再利用勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】解：过点D作DH⊥AC于点H，连接HG并延长交CD于点E，过点H作HF⊥CD于点F，如图，
，
∵DG⊥PG，DH⊥AC，
∴∠DGP＝∠DHA＝90°，
∵∠DPG＝∠DAC，
∴△DGP∽△DAH，
∴DPDG=DADH，∠PDG＝∠ADH，
∴∠ADP＝∠HDG，
∴△ADP∽△HDG，
∴∠DAP＝∠DHG＝定值，
∴点G在HE上运动，当CG⊥HE时，CG取得最小值．
∵∠ADC＝90°，DH⊥AC，
∴△ADH∽△CDH，
∴∠DAH＝∠CDH，
∴∠DHG＝∠CDH，
∴HE＝DE，
∵∠DHG+∠EHC＝90°，∠HCD+∠CDH＝90°，
∴∠EHC＝∠HCD，
∴HE＝CE，
∴HE＝DE＝CE=12CD＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，
∴AC=AD2+CD2=10，
∵S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DH，
∴DH=AD⋅CDAC=245．
∴AH=AD2−DH2=325，
∴CH＝AC﹣AH=185，
∵HF⊥CD，AD⊥CD，
∴HF∥AD，
∴△CHF∽△CAD，
∴CHCA=HFAD，
∴18510=HF8，
∴HF=7225．
∵CG⊥HE，HF⊥CE，
∴S△CHE=12HE⋅CG=12CE⋅HF，
∴CG=CE⋅HFHE=3×72253=7225．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填
11．（3分）计算：（x﹣2）2＝ x2﹣4x+4 ．
【分析】利用完全平方公式展开即可．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：（x﹣2）2＝x2﹣2×2x+22＝x2﹣4x+4．
故答案为：x2﹣4x+4．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．
12．（3分）3月国内乘用车零售销量为2390000辆，这个数据用科学记数法可表示为 2.39×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2390000＝2.39×106．
故答案为：2.39×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）分式方程1x=2x+1的解为 x＝1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1＝2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P＝40°，则∠ABC的度数为 25° ．
【分析】先利用切线的性质得到∠OAP＝90°，则利用互余和计算出∠AOP＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠B的度数．
【解答】解：∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠AOPP＝90°﹣∠P＝50°，
∵∠AOP＝∠B+∠OCB，
而OB＝OC，
∴∠B=12∠AOP＝25°．
故答案为25°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于点F，则EF：FB的比值是 1：2 ．
【分析】证明△CEF∽△ABF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE∥AB，CD＝AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴EF：FB＝CE：AB．
∵CE＝ED，
∴CE：CD＝1：2，
∴EF：FB＝1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△CEF∽△ABF是解答本题的关键．
16．（3分）一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 y＝﹣3（x﹣2）2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的顶点式，结合开口方向求解即可．
【解答】解：该二次函数的表达式可以为y＝﹣3（x﹣2）2+1，
故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2+1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的顶点式．
17．（3分）如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝103，BE＝23，则BC＝ 1433 ．
【分析】过D作DF⊥AB于点F，由等腰三角形的性质得EF＝BF=3，设AE＝x，则AD＝103−x，AF＝AE+EF＝x+3，由等边三角形的性质得BC＝AB，∠A＝60°，则∠ADF＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得AD＝2AF，然后求出x=833，即可解决问题．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于点F，
∵DE＝DB，BE＝23，
∴EF＝BF=12BE=3，
设AE＝x，则AD＝103−x，AF＝AE+EF＝x+3，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝60°，
∴∠ADF＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝2AF，
即103−x＝2（x+3），
∴x=833，
∴BC＝AB＝AE+BE=833+23=1433，
故答案为：1433．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线AC与BD交于点M，且AM：MC＝1：2．若AB＝3，则BM＝ 5 ；若BD＝6，则△ACD的面积最大值为 8110 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质，找到边、角之间的关系，利用三角函数或勾股定理求解即可；列出△ACD的面积关于AB（或BC）的表达式，求其最大值即可．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC于E．
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴AC=ABsin∠BCA=322=32．
又∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠EBC＝45°，
∴BE＝CE=12AC=322．
∵CM=23AC=23×32=22，
∴EM＝CM﹣CE=22−322=22．
∴BM=BE2+EM2=(322)2+(22)2=5．
故答案为：5．
（2）过点D作DF⊥AC于F．设AB＝BC＝a．
S△ACD=12AC•DF．
AC=ABsin∠BCA=a22=2a，
DF＝MDsin∠FMD＝（BD﹣BM）sin∠FMD＝BDsin∠FMD﹣BMsin∠FMD，
∵∠BME＝∠FMD，
∴DF＝BDsin∠BME﹣BMsin∠BME＝6sin∠BME﹣BE．
∴S△ACD=12AC•DF=2a2（6sin∠BME﹣BE）．
BE=12AC=2a2，
∴EM＝CM﹣CE=23AC−12AC＝（23−12）AC=2a6．
∴BM=BE2+EM2=5a3．
∴sin∠BME=BEBM=31010，
∴S△ACD=2a2（9105−2a2）=−12（a−955）2+8110．
当a=955时，S△ACD最大值为8110．
故答案为：8110．
【点评】本题有一定难度，主要考查等腰直角三角形的性质，尤其第二空，计算量非常大，非常容易出错，对学生的运算能力要求很高．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.）
19．（8分）计算：
（1）|−4|−16+(12)−1；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
【分析】（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）|−4|−16+(12)−1
＝4﹣4+2
＝2；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2
＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2
＝2a2+b2．
【点评】本题考查了完全平方式，实数的运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）解不等式组：3x−3＞x+12(2x−1)≤5x−1．
【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
则x﹣1=±5，
所以x1=1+5，x2=1−5．
（2）3−3＞x+1①2(2x−1)≤5x−1②，
解不等式①得，x＞2；
解不等式②得，x≥﹣1，
所以不等式组的解集为x＞2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元一次不等式组，熟知配方法解一元二次方程的步骤及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21．（10分）3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小文一共随机抽取 100 名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于 72 度；
（2）补全条形统计图；
（3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是 3 ；
（4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有 175 名．
【分析】（1）根据“1棵”的人数及所占的百分比求出随机抽取的学生数，根据“4棵”的人数及调查的学生数求出4棵”所在的扇形的圆心角的度数；
（2）由（1）的结果即可补全条形统计图；
（3）利用中位数的定义求得中位数即可；
（4）根据全校学生数及不少于4棵的学生所占的百分比求出该学校获得“植树小能手”称号的学生人数．
【解答】解：（1）10÷10%＝100（名），
100﹣10﹣15﹣40﹣10﹣5＝20（人），
20100×360°＝72°，
故答案为：100，72；
（2）补全条形统计图如下：
（3）∵共有100个人，10+15+40＝65，
∴义务植树数量的中位数是3，
故答案为：3；
（4）500×20+10+5100=175（名），
故答案为：175名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（10分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
（1）小明诵读《论语》的概率是 13 ；
（2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》，
∴小明诵读《论语》的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有6种，
∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率=69=23．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，A、D、B、F在一条直线上，DE∥CB，BC＝DE，AD＝BF．
（1）求证：△ABC≌△FDE；
（2）连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．
【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△FDE；
（2）结合（1），用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．
【解答】证明：（1）∵AD＝BF，
∴AD+DB＝DB+BF，
∴AB＝FD，
∵DE∥CB，
∴∠ABC＝∠FDE，
∵BC＝DE，
∴△ABC≌△FDE（SAS），
（2）如图：
由（1）知△ABC≌△FDE，
∴∠CAB＝∠EFD，AC＝EF，
∴AC∥EF，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．
24．（10分）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【分析】（1）题目中的等量关系是：①每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，②3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（2）题目中的不等关系是：每天搬运的货物不低于1800吨，等量关系是：总费用＝A型机器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决．
【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，
x−y=203x+2y=460，
解得x=100y=80，
∴每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨；
（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），
100m+80（20﹣m）≥1800．
解得：m≥10．
w＝3m+2（20﹣m）
＝m+40．
∵1＞0，
∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10时，w有最小值，w小＝10+40＝50．
∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．
【点评】考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决
25．（10分）已知在△ABC中，∠A＞90°．
（1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O，使得⊙O与AB、BC所在直线相切，且与BC的切点为点C；（不写作法，但保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，已知AB＝3，BC＝6，⊙O的半径为2，则△ABC的面积为 275 ．
【分析】（1）过C点作BC的垂线l，再作∠ABC的平分线BP，BP交直线l于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作图，根据角平分线的性质得到OC＝OD，然后根据切线的判定方法得到⊙O与AB、BC所在直线相切；
（2）过O点作OD⊥BA于D点，CO的延长线交BA的延长线于点E，过A点作AH⊥CE于H点，如图，根据切线的性质得到OC⊥BC，OC＝OD＝2，再证明BD＝BC＝6，则AD＝3，接着证明△EDO∽△ECB，利用相似比可求出OE=52，DE=32，然后证明△EAH∽△EBC，利用相似比求出AH=185，最利用S△ABC＝S△BCE﹣S△ACE进行计算即可．
【解答】解；（1）如图，过C点作BC的垂线l，再作∠ABC的平分线BP，BP交直线l于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作图，
则⊙O为所作；
（2）过O点作OD⊥BA于D点，CO的延长线交BA的延长线于点E，过A点作AH⊥CE于H点，如图，
∵⊙O与BA，与BC相切于点C，
∴OC⊥BC，OC＝OD＝2，
∵BD=OB2−OD2，BC=OB2−OC2，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝BD﹣BA＝3，
∵∠EDO＝∠ECB，∠OED＝∠BEC，
∴△EDO∽△ECB，
∴EDEC=OEBE=ODBC，即DEOE+2=OE6+DE=26=13，
即3DE＝OE+2且3OE＝6+DE，
解得OE=52，DE=32，
∵AH∥BC，
∴△EAH∽△EBC，
∴AHBC=EAEB，即AH6=92152，
解得AH=185，
∴S△ABC＝S△BCE﹣S△ACE=12×92×6−12×92×185=275．
故答案为：275．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了切线的判定与性质．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线与BC相交于点D，与⊙O过点B的切线相交于点E．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝6，BD＝3，求AD的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠C＝90°，则∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠CAD，由切线的性质得∠ABE＝90°，则∠E＝90°﹣∠BAE，由∠CAD＝∠BAE，得90°﹣∠CAD＝90°﹣∠BAE，所以∠BDE＝∠E，则BE＝BD，所以△BDE是等腰三角形；
（2）设AE交⊙O于点F，连接BF，则∠AFB＝90°，由∠ABE＝90°，AB＝6，BE＝BD＝3，BF⊥DE，得AE=AB2+BE2=35，FD＝FE，由tanE=FEBE=BEAE=55，求得FE=55BE=355，则DE＝2FE=655，所以AD＝AE﹣DE=955．
【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠CAD，
∵BE与⊙O相切于点B，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BAE，
∵∠CAB的平分线与BC相交于点D，与BE交于点E，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴90°﹣∠CAD＝90°﹣∠BAE，
∴∠BDE＝∠E，
∴BE＝BD，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）设AE交⊙O于点F，连接BF，则∠AFB＝90°，
∵∠ABE＝90°，AB＝6，BE＝BD＝3，BF⊥DE，
∴AE=AB2+BE2=62+32=35，FD＝FE，
∵∠BFE＝90°，
∴tanE=FEBE=BEAE=335=55，
∴FE=55BE=55×3=355，
∴DE＝2FE＝2×355=655，
∴AD＝AE﹣DE＝35−655=955，
∴AD的长为955．
【点评】此题重点考查切线的性质、直角所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）在▱ABCD中，AB=32，E是边BC上一点，将△ABE沿着AE翻折到△AFE，
（1）如图1，若E、F、D三点共线，
①求证：AD＝DE；
②若BC＝2，∠AFE＝∠CFE，求BE的长．
（2）如图2，若BC=135，点E是BC中点，CF＝1，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）①由四边形ABCD是平行四边形，可得∠DAE＝∠AEB，根据将△ABE沿着AE翻折到△AFE，有∠AEB＝∠AEF，故∠DAE＝∠AEF，从而AD＝DE；
②证明∠ABE＝∠CFE，可得∠DCE＝∠DFC，故△CDE∽△FDC，有CDFD=DECD，即可得32FD=232，FD=98，求出EF＝DE﹣FD=78，从而BE=78；
（2）过F作FH⊥BC于H，过A作AK⊥BC于K，由E为BC中点，BC=135，将△ABE沿着AE翻折到△AFE，可得EF＝BE=1310=CE，∠AEB＝∠AEF=180°−∠FCE2=∠EFC＝∠ECF，设CH＝m，知12﹣m2＝（1310）2﹣（1310−m）2，解得CH=513，cs∠FCH=CHCF=513，即得KEAE=513，设KE＝5n，由（12n）2+（1310−5n）2＝（32）2，解得n=765，从而AK=8465，由平行四边形面积公式可得答案．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵将△ABE沿着AE翻折到△AFE，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴AD＝DE；
②解：∵将△ABE沿着AE翻折到△AFE，
∴∠ABE＝∠AFE，BE＝EF，
∵∠AFE＝∠CFE，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
∵∠CFE+∠DFC＝180°，
∴∠DCE＝∠DFC，
∵∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC，
∴CDFD=DECD，
∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB=32，
由①知DE＝AD＝2，
∴32FD=232，
∴FD=98，
∴EF＝DE﹣FD＝2−98=78，
∴BE=78；
（2）解：过F作FH⊥BC于H，过A作AK⊥BC于K，如图：
∵E为BC中点，BC=135，
∴BE＝CE=1310，
∵将△ABE沿着AE翻折到△AFE，
∴EF＝BE=1310=CE，∠AEB＝∠AEF=180°−∠FCE2，
∴∠EFC＝∠ECF=180°−∠FEC2，
∴∠AEB＝∠FCE，即∠AEK＝∠FCH，
设CH＝m，则EH=1310−m，
∵CF2﹣CH2＝FH2＝EF2﹣EH2，
∴12﹣m2＝（1310）2﹣（1310−m）2，
解得m=513，
∴CH=513，
∴cs∠FCH=CHCF=5131=513，
∴cs∠AEK＝cs∠FCH=513，即KEAE=513，
设KE＝5n，则AE＝13n，
∴AK=AE2−KE2=12n，BK＝BE＝KE=1310−5n，
∵AK2+BK2＝AB2，
∴（12n）2+（1310−5n）2＝（32）2，
解得n=765或n=−265（舍去），
∴AK＝12n＝12×765=8465，
∵BC•AK=135×8465=8425，
∴▱ABCD的面积为8425．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质和平行四边形性质．
28．（10分）如图，抛物线y=−12x2+bx与x轴交于点A（5，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若OCCD=54，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法，把点A（5，0）代入y=−12x2+bx中，求出b．得到表达式．
（2）过C，D作OA的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点D坐标．
（3）添加过三点的圆，利用45度圆周角，得到90度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设P的坐标，P既在抛物线上又在圆上，列方程，求出P的坐标．
【解答】解：（1）由已知得−12×25+b×5＝0，
b=52，
∴y=−12x2+52x．
（2）作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F．
当x＝1时，
m=−12×12+52×1＝2，
点B坐标为（1，2）．
设AB解析式为：y＝kx+b，
2=k+b，0=5k+b．，
解得k=−12，b=52．．
∴y=−12x+52．
∵OCCD=54，
∴OCOD=59．
∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F，
∴CE∥DF，
∴OCOD=OEOF=CEDF=59，
设E点坐标为（m，0），
∴点C坐标为（m，−12m+52），
点F坐标为（95m，0），
点D坐标为（95m，−910m+92）．
∵点D在抛物线上，
∴−12×（95m）2+52×95m=−910m+92，
∴9m2﹣30m+25＝0，
m1＝m2=53．
∴点D坐标为（3，3）．
（3）作过O、P、A三点的圆M，连接OM，AM，PM，作MN⊥OA于N，
∵∠OPA＝45°，
∴∠AMO＝90°，
∵OM＝AM，OA＝5，
又∵MN⊥OA，
∴ON＝AN＝MN＝2.5，
∴点M坐标为（2.5，﹣2.5），
∴AM＝OM=522，
∴PM=522，
设点P坐标为（x，y），
∴（x﹣2.5）2+（y+2，5）2＝（522）2，
∴x2﹣5x+y2+5y＝0，
∵y=−12x2+52x．
∴y2+3y＝0，
∴y1＝0，（不合题意舍去），y2＝﹣3．
∴y＝﹣3，
∴﹣3=−12x2+52x，
∴x1＝﹣1，x2＝6，
∴点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3）．
【点评】此题把抛物线和平行线，圆的知识结合在一起，综合性较强，难度较大，得分率较低．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
A
B
D
B
C
B
C